Większa i mniejsza połowa

Nauczyciele – szczególnie matematyki, choć nie tylko – chętnie się uaktywniają, gdy dziecko (albo i dorosły) użyje zwrotu „mniejsza połowa” czy „większa połowa”. No bo jak dziecko ma wybrać sobie jeden z dwóch kawałków czekolady, to niechybnie wybierze większy, mówiąc: „Wezmę sobie tę większą połowę”. Zwykle wtedy odzywa się belferski duch i możemy usłyszeć: „Połowa nie może być większa lub mniejsza. Połowy są równe.” Niby racja. Ale jednak nie.

Bo mówiąc „połowa” możemy mieć na myśli z grubsza dwie rzeczy.

Matematyka

Po pierwsze możemy mówić o liczbie 1/2. I rzeczywiście jak weźmiemy dwie takie liczby (a właściwie to jedną):

1/2 = 1/2

to obie są równe. Równanie

1/2 > 1/2

jest rażąco nieprawdziwe. Ale to nie jedyne znaczenie słowa „połowa”.

Wspomnienie sklepowe – rzeczywistość

Pamiętam jak w dawnych czasach (lata 70-te) w sklepach stały wagi szalkowe, wykorzystywane do odważania sprzedawanych towarów. Zanim pojawiły się kłopoty z cukrem można było zażyczyć sobie kupno pół kilograma cukru. Wtedy sprzedawca brał papierową torebkę, kładł na szalkę i odsypując cukier z kilogramowej porcji, odważał połowę. Ci, co nie są w stanie wyobrazić sobie, że takie rzeczy były kiedyś możliwe, niech przypomną sobie, jak ostatnio kupowali pół chleba w osiedlowym sklepiku.

Niezależnie czy będziemy dzielić kilogram cukru czy chleb, można zadać pytanie: Czy owe odmierzone/podzielone „połowy” są równe?

Niby są. Z dokładnością jaką oferuje waga – dla cukru, lub „na oko” dla chleba. Gdybyśmy jednak użyli bardziej dokładnych wag to zawsze okaże się, że

albo

W przeciwnym razie musielibyśmy zapewnić, że liczba cząsteczek sacharozy jest jednakowa w obu porcjach. I jeszcze taki sam warunek musiałby być spełniony dla wszystkich innych substancji. A gdyby na którąś z porcji spadł paproszek kurzu to należałoby go wliczać do wagi czy nie? A może odbywają się tam jakieś reakcje fizyczne – choćby pochłanianie wody rozpuszczonej w powietrzu – nie mówiąc o chemicznych. Objęcie dwóch porcji cukru kontrolą z dokładnością do pojedynczych cząsteczek jest niemożliwe.

Czyli to co kupujemy, nie jest czymś, co moglibyśmy bez zastrzeżeń opisać liczbą 1/2. Dochodzimy do straszliwego wniosku: Połowy, jakimi dysponujemy w praktyce, nigdy nie są równe! Zawsze któraś z nich jest większa lub mniejsza. Chyba że są w ogóle nieporównywalne: Można wszak wyobrazić sobie butelkę napoju alkoholowego (roztwór wody z alkoholem plus dodatki), która po rozdzieleniu „na połowy” i odczekaniu pewnego czasu w różnych warunkach – alkohol szybciej paruje od wody – wpakuje nas w jeszcze większe kłopoty przy porównywaniu „połówek”. Jedna „połówka” będzie na przykład miała większą wagę, a druga objętość. A przecież i jedno i drugie naczynie było napełniane z tej samej butelki!

Wesołe badanie połowienia rzeczy, można by ciągnąć dalej, ale podsumuję je poważnie: Liczba 1/2 nie istnieje w świecie rzeczywistym. Jest abstrakcyjnym tworem, który nasz rozum szczęśliwie umie objąć. A przynajmniej tak mu się wydaje :) Bo 1/2 ani żadna inna liczba w sposób ścisły nie odpowiada żadnemu fragmentowi rzeczywistości, w którą przecież nie wierzą tylko solipsyści.

Jak tu żyć?

Wygodnie. Ponieważ świat codzienny koniecznie chce posługiwać się matematyką, nie powiemy „Proszę o część chleba, która odpowiada abstrakcyjnej liczbie 1/2, w ramach możliwej do osiągnięcia dokładności”. Po to ludzkość wymyśliła ułamki, żeby właśnie nimi opisywać rzeczy, które nie posiadają własności ułamków. Niemniej jeśli ktoś potraktuje nas tekstem „Nie ma większej połowy, bo połowy są równe” z czystym sumieniem możemy odpowiedzieć „Równe połowy nie istnieją w rzeczywistości”.