Jaki moment pędu ma orbital?

Jedną z bardziej niezrozumiałych cech elektronu w atomie jest to, że może mieć zerowy orbitalny moment pędu. Takie są stany dla których liczba kwantowa l=0, nazywa się je orbitalami typu s.

Trudno przejść do porządku dziennego nad tym, że elektron znajduje się wokół jądra, porusza się, nie oddala się od jądra, no i w tym wszystkim nie okrąża jądra. Traktując elektron jak klasyczny punkt materialny – tym bardziej, że jak się spytać jakiego teoretyka, to będzie utrzymywał, że według dzisiejszej wiedzy elektron ma zerowe wymiary ☺ – nie można tego poskładać do kupy. Ale, jeśli zgodzimy się, że funkcja falowa prawdziwie opisuje elektron, to przykład tego „niemożliwego ruchu” po prostu elektronu nie dotyczy.

Zostawię jednak problemy punktowości elektronu i rozciągłości funkcji falowej – zajmę się natomiast problemem czy można jakoś sprawdzić ten zerowy moment pędu? Ogólniej: czy w ogóle można zmierzyć, jaki jest moment pędu elektronu w atomie? Czy istnieje jakieś potwierdzenie, że wynosi „tyle a tyle”, czy może „wyszło tak z obliczeń” i nikt do tej pory nie sprawdził wyników teoretycznych, tylko wszyscy przyjęli, że tak jest?

Przyznam, że nie znam doświadczeń, które takiego pomiaru dokonują bezpośrednio, ale nie oznacza to, że takich doświadczeń kiedyś nie będzie[1], a może już są?

W modelu kwantowym moment pędu wyrażany jest przez liczby kwantowe l, m i s. Rozsupłując prawie-gordyjski węzeł widm atomowych, fizycy określili ile te liczby są równe. Skąd jednak wiadomo, że odnoszą się do tytułowej wielkości, a nie jakiejś innej? Poniżej podam dwa przykłady, które m.in. potwierdziły sens fizyczny tych liczb.

Spin i moment orbitalny.

Jak rozróżnić jeden moment pędu od drugiego?

Elektrony mają wewnętrzny moment pędu – spin – i orbitalny, który klasycznie wiążemy z tym, że obiekt krąży po orbicie. Obie wartości są niewielkie – rzędu stałej Plancka. Jak się do nich dobrać? Pośród kilku możliwości, chyba najbardziej spektakularnie, poprzez efekt Zeemana, odkryty w końcówce XIX wieku. Polega on na tym, po zanurzeniu się atomów w pole magnetyczne zmienia się ich widmo. Zmiana widma wynika z tego, że w polu magnetycznym zmieniają się energie konfiguracji elektronowych.

Tak więc zestaw elektronów ma swoje pole magnetyczne – wprowadza się wielkość, zwaną momentem magnetycznym μ, która opisuje, jak duże pole magnetyczne wytwarzają wokół siebie elektrony. Energia oddziaływania „powłokowego magnesika” w polu B jest równa:

ΔE = –μ∙B

Fizycy od razu połączyli μ z momentem pędu, opierając się na modelu Bohra, gdzie ładunek na orbicie krążył sobie tworząc miniaturowy prąd. Skoro tak, to niewytłumaczalne były sytuacje w których coś do gadania miał spin – te przypadki nazwano nawet anormalnym zjawiskiem Zeemana, ale wspominam o tym tylko z racji historycznych, bo z dzisiejszego punktu widzenia nie ma w nim nic anormalnego. Wróćmy do relacji między μ a momentem pędu.

Analiza momentu magnetycznego spinowego pokazuje, że pole magnetyczne „wytwarzane” przez spin jest dwa razy większe od orbitalnego pola magnetycznego. Czyli składowa orbitalnego momentu pędu l = 1ħ objawi się tak samo jak składowa spinu s = (1/2)ħ. Wydaje się, że nie ma możliwość rozróżnienia który jest który, skoro wytwarzają „takie samo” pole. Na szczęście tylko „wydaje się”.

Jak się przelicza efekt Zeemana? W modelu trzeba pododawać do siebie wszelkie momenty pędu wszystkich elektronów biorących udział w zabawie – czyli dla tych z ostatniej orbity. Nie wnikam jak to dodawanie się robi w kwantówce – w każdym razie nieco inaczej niż dla „zwykłych” wektorów. Wtedy mamy trzy liczby nieujemne określające:

L – wielkość sumarycznego orbitalnego moment pędu,
S – wielkość sumarycznego spinowego moment pędu
J – moment całkowity tzn. orbitalny i spinowy.

Jeśli suma dla naszego układ elektronów wynosi J, to po zanurzeniu w pole magnetyczne energia oddziaływania może przyjąć 2J+1 wartości. Energia oddziaływania jest proporcjonalna do składowej równoległej do pola, a składowa momentu pędu może mieć wartości:

–Jħ, –(J+1)ħ, …(J–1)ħ, Jħ

Nazywa się to rozszczepienie poziomu i objawia się tym, że bez zewnętrznego pola mamy jedną linię widmową, a po włożeniu do pola kilka. W każdym razie, dzięki zliczeniu ilości poziomów można poznać doświadczalnie sumaryczny moment pędu J[2].

Zanim przystąpimy do dalszej części opowieści przypomnijmy sobie zadanie z jabłkami i gruszkami co to Jaś i Małgosia poszli kupować. Każde z nich kupiło trochę jednego i trochę drugiego, każde z nich zapłaciło co należy, a ty uczniu policz ile kosztowały kilogram gruszek i kilogram jabłek. Zadanie odnajdywania S i L jest co prawda bardziej skomplikowane, ale zasadniczo chodzi o to samo. Trzeba znaleźć drugie równanie.

I tu pojawia się właściwość o jakiej wspomniałem na wstępie: Energia oddziaływania jest dwa razy większa dla spinu, w porównaniu do momentu orbitalnego. Czyli jeśli J = 1 ale składa się tylko z momentu spinowego, to efekt rozszczepienia będzie dwa razy większy niż gdyby J = 1 miało się składać tylko z momentu orbitalnego. Jeśli na sumaryczny moment pędu wchodzi i jeden i drugi, to odpowiedni współczynnik proporcjonalności – nazywa się go współczynnikiem Landégo – zawiera się między 1 i 2. To pozwoli na sprawdzenie ile w J jest S a ile L.

To tak z grubsza, bo przecież potem trzeba jeszcze to J, L i S „rozłożyć” na poszczególne elektrony, więc roboty jest sporo. Niemniej „się da”.

Reguły wyboru

Skoro w poprzednim punkcie mierzyliśmy własności magnetyczne, a nie mechaniczne – bo moment pędu objawia się poprzez oddziaływania z polem magnetycznym, czy to zewnętrznym czy pochodzącym od innych elektronów – to czy mówienie w tym kontekście o pomiarze momentu pędu będzie uczciwe? Może używanie tego pojęcia to tylko takie chciejstwo fizyków?

W trakcie prac nad badaniem widm powstały dwa zakazy które regulowały, które konfiguracje i zmiany między nimi są dozwolone, a które nie. Zakaz Pauliego to pierwsze prawidło. Drugie, autorstwa polskiego fizyka Wojciecha Rubinowicza, dotyczy możliwych zmian konfiguracji. Przy przejściu układu elektronów o wyższej energii do stanu o energii niższej, powinno następować uwalnianie energii – obserwowane na przykład jako widmo. Otóż okazuje się, że nie wszystkie potencjalne „przeskoki” są realizowane w rzeczywistości. Ograniczenia dotyczą właśnie liczb kwantowych l, m i s, a dokładniej sumy tych liczb opisujących zestaw elektronów czyli J, L i S.

Ograniczenie to okazało się dość fundamentalne i jest przejawem zasady zachowania momentu pędu, tyle, że wyrażonej dla przypadku elektronów w atomie. Na schemacie widać „reakcję” zmiany konfiguracji:

(konfiguracja elektronowa początkowa) →
(konfiguracja elektronowa końcowa)+(foton)

Tak dzieje się dla zdecydowanej większości emisji pola e-m. Przejścia z emisją większej ilości fotonów są możliwe, ale mniej prawdopodobne. Gdybyśmy do powyższego schematu odnieśli zasadę zachowania momentu pędu, to jasne się stanie, że całkowity moment pędu zmieni się o tyle, ile wynosi moment pędu fotonu. I mimo, że ściśle rzecz biorąc nie jest to spin, to tak właśnie często nazywa się moment pędu fotonu. Upraszczając można powiedzieć, że jego wartość jest równa ±ħ. O tyle też może zmienić się całkowity moment pędu konfiguracji elektronów określony przez J, L i S. A więc gadanie fizyków o mechanicznym momencie pędu nie jest czcze.

* * *

Podsumowując: podane przykłady powinny nas przekonać, że poprawnie rozpoznajemy momentu pędu składowych atomu, opisywanym przez liczby J, L i S a więc również przez l, m i s dla pojedynczych elektronów[3].

Pomimo uproszczeń i wyrzucenia z treści notki większości stosowanego formalizmu, pogadanka do najłatwiejszych nie należała, więc w kolejnej odsłonie cyklu będą rządzić obrazki.

[1] Podobnie kiedyś sądziłem, że interpretacja probabilistyczna kwadratu funkcji falowej |Ψ(r)|² elektronu w atomie też jest tylko chciejstwem teoretyków i nie da się tego sprawdzić, bo atom jest zbyt malutki. Ale niedawne prace Anety Stodolnej pokazały, że się jednak myliłem. Nauczyło mnie to, że nie można lekceważyć pomysłowości fizyków.

[2] Jakby to było takie proste, jak napisałem… Rozszczepieniu może ulec zarówno poziom o większej energii jak i ten o mnijeszej, więc linii z jednej linii widmowej może narodzić się dośc dużo „podlinii”. Na dodatek nie wszystkie przejścia są możliwe, ze względu na reguły wyboru. Łamigłowka.

[3] Gwoli ścisłości należy powiedzieć, że po uwzględnieniu oddziaływania między elektronami, stany poszczególnych elektronów (o ile da się je wydzielić z funkcji falowej termu) nie są już w ogólności funkcjami własnymi operatorów odpowiednich momentów pędu. Są nimi jedynie w przybliżeniu, które opisałem śladowo dwa odcinki temu. Przybliżenie to jednak nie zmienia zasadniczo charakteru orbitali.