Niedoceniony matematyk amator

Bywa tak, że zaznajamiając się z podręcznikową wiedzą, nie zdajemy sobie sprawy, jak czasami burzliwe zdarzenia związane są z wypranymi z emocji wzorami. Zaglądając głębiej okazuje się, że uczeni schowani za fasadą twierdzeń i dowodów, byli jednak normalnymi ludźmi „z krwi i kości”. Pokazuje to dzisiejsza opowiastka.

Historię tę opowiadał największy oryginał Instytutu Fizyki Teoretycznej we Wrocławiu prof. Zbigniew Oziewicz. Przy okazji omawiania algebr Grassmanna wspomniał o ich twórcy. Grassmann mieszkał w Szczecinie. Od najmłodszych lat interesował się matematyką (oraz wieloma innymi dziedzinami wiedzy). Był samoukiem.

O co chodzi w algebrze Grassmanna? Otóż Grassmann zastanawiał się, w jaki sposób można mnożyć wektory. Intuicja była następująca: kiedy mamy prostokąt i mnożymy jego boki przez siebie, to w wyniku dostaniemy pole prostokąta. Dość niepoprawnie można powiedzieć, że „mnożąc” dwa odcinki otrzymamy prostokąt. A bardziej poprawnie i to nie dla odcinków tylko dla wektorów? Co będzie wynikiem takiego „mnożenia”? Jakiś „dwuwymiarowy” wektor? Tak właśnie. A może mnożyć dalej by utworzyć „wielowymiarowe” wektory? Twory takie nazywa się wielowektorami i wbrew pozorom spotyka się je we współczesnej fizyce.

Mnożenie Grassmanna dziś zapisuje się takim dziwnym znaczkiem: ∧ Żeby nabyć jakieś intuicje przyjmijmy, że mnożąc dwa wektory przez siebie dostaniemy coś, co będzie rysowane jako równoległobok wyznaczony przez te wektory:

Stąd prosty wniosek, że wektor pomnożony przez siebie da zero (tworzy „zerowy romb”). Zobaczmy co nam to da:

0 = (w+z)∧(w+z) = w∧w + w∧z + z∧w + z∧z

pamiętając, że w∧w=0 i z∧z=0 dostaniemy, że mnożenie wektorów jest antysymetryczne – jest to charakterystyczna cecha tej operacji.

w∧z = -z∧w

Warunek ten geometrycznie oznacza, że dwuwektory w∧z i z∧w różnią się tzw. orientacją, co wdzięcznie na rysunku zaznaczyłem zawijasem ze strzałką.

Po przemnożeniu dwóch wektorów mamy tzw. dwuwektor. Można mnożyć dalej. Jeśli nasza wyjściowa przestrzeń z wektorami miała wymiar 3, to bardziej pilni studenci matematyki czy fizyki zauważą, że można będzie utworzyć co najwyżej trójwektory, bo z racji antysymetrii każdy czterowektor będzie zerowy.

Ale wróćmy do głównego bohatera opowiadania. Jak już napisałem był samoukiem, a matematyka była jego wielką pasją. Pomimo głębokiej wiedzy, jaką zdobył, nie miał formalnego wykształcenia matematycznego. Jego kariera matematyka skończyła się na uzyskaniu pozwolenia na nauczanie w gimnazjum dla młodszych roczników. Niezrażony tym spisał wyniki swoich prac i wydał książkę. Niestety inwestycja okazała się nietrafiona. Praca nie została zauważona przez ogół matematyków. Nasz samouk postanowił zaznajomić z jej treścią jednego z francuskich uczonych, nie znał jednak adresu, więc wysłał ją do Cauchy’ego z prośbą o przekazanie. Ten nie dość, że tego nie zrobił, to jeszcze kilka lat później opublikował fragmenty wyników Grassmanna jako swoje. Można powiedzieć, że jako jedyny z ówczesnych matematyków zrozumiał idee, które „wyprzedziły” swój czas.

Marna to pociecha dla ich autora. Grassmann walczył jednak o swoje, zarzucając plagiat. Żeby rozstrzygnąć wątpliwości Akademia Francuska powołała komisję śledczą. W jej składzie był m.in. Cauchy, nie dziwota więc, że żadnego plagiatu nie stwierdzono. Była to jeszcze jedna przyczyna, przez którą Grassmann coraz mniej zajmuje się matematyką a coraz więcej czasu inwestuje w inne swoje hobby, czyli w badania językoznawcze, szczególnie sanskrytu. No i w tej dziedzinie został uznany przez środowiska naukowe. Stał się sławnym i szanowanym filologiem, dopuszczonym do akademickich godności.

Opowiastka ta, jest jeszcze jednym przykładem na to, że niezależnie od naszych zainteresowań i pasji, warto jednak uczyć się języków :).

Uwagi:

• Cauchy – niby wielki uczony a okazał się świnią.
• O pracach Grasmanna pisał już prof. Eine i (ciutkę wspomniał) prof. Jadczyk.
• Gdzie można spotkać mnożnie Grassmanna?
  - "szkolne" mnożenie wektorowe ma je „w sobie ukryte”;
  - składanie operatorów kreacji (albo anihilacji) fermionów;
  - tensory całkowicie antysymetryczne to nic innego jak właśnie wielowektory
  - jeszcze jeden przykład, ale to w następnej notce.