Idealny kwadrat

Niech żyje nieskończona moc wyobraźni!
Szeregowy, Pingwiny z Madagaskaru

Pewnego razu szedłem sobie z dziesięcioletnim synem po świnoujskim deptaku (zdjęcie powyżej). Dziecię, patrząc na starannie wykonane płyty chodnikowe, zadało o mi pytanie czy można zrobić idealny kwadrat. Zgodnie ze swoją wiedzą odpowiedziałem, że nie. Bo przecież nawet takie całkiem porządne płyty, jakie mamy pod nogami, wcale nie są równe. Gdzieś tam są wykruszone – więc krawędzie nie są idealnie proste. „A jakby mieć maszynę, co wytnie je dokładnie”. Ale takiej maszyny nie ma, bo nawet najlepsze szlifierki zostawią jakieś zadziory i nierówności. Co grosza nawet gdybyśmy mieli kontrolę nad każdym atomem – co akurat w praktyce jest niemożliwe, bo na długości kilkunastu centymetrów mieści się ich około miliarda – to uzyskany brzeg będzie „zrobiony” z atomów, a te nie utworzą idealnej prostej. Gdyby tak było, same musiałyby być idealnymi sześcianami (prostopadłościanami).

(to zdjęcie znalezione w internecie już po spacerze) Wspinając się na szczyty dokładności można uzyskać niby-idealną powierzchnię. Nawet jak uda się „wyrównać” tarasowość warstw atomowych (też praktycznie niemożliwe) to i tak pozostają „nierówności” pochodzące od samych atomów. „Zdjęcie” specjalnie przygotowanej powierzchni (111) Au pochodzi z Zakładu Fizyki Doświadczalnej Uniwersytetu Jagiellońskiego.

Idealne figury geometryczne istnieją w matematyce – można powiedzieć istnieją w naszych myślach. W „realu” takich nie ma. „A w komputerze? Mogę sobie narysować idealny kwadrat. Ma na pewno kąty proste i na pewno jednakowe boki” zapytał syn.

Na ekranie boki wyglądają na bezzadziorowe, ale ekran też jest zrobiony z konkretnego materiału i jak się bliżej przyjrzeć to też pojawia się nierówności – tłumaczyłem. „Ale mi chodzi o kwadraty w środku komputera. Przecież jeśli namalowałem kwadrat w Paintcie, to wewnątrz komputera jest to zapisane dokładnie. I ten kwadrat w komputerze jest już idealny”. Muszę przyznać, że argument brzmi nęcąco. Bo czyż bajty zapisane w pamięci komputera nie są właśnie rzeczywistą realizacją matematycznej abstrakcji?

Komputer nie tworzy kwadratu, tylko pozwala na jeden ze sposobów zapisu. W końcu matematycy też potrafią na papierze zapisać odpowiednie dane opisujące kwadrat. Wzorem matematycznym, czyli w postaci równań:

Tego rysunku nie pokazałem synowi, choćby z tego powodu, że nie da się tego zrobić na spacerze. Zresztą nie przerabiał jeszcze w szkole dwóch osi liczbowych na jednym obrazku.

Jak różni matematycy (i nie tylko, bo na przykład uczniowie też) umówią się co oznaczają używane symbole, to mogą wtedy uznać, że takie równania „tworzą” kwadrat. Mogą nawet narysować sobie rysunek kwadratu. Ale nie będzie on prawdziwym, istniejącym w matematyce kwadratem, ale właśnie jego rysunkiem. Podobnie dane w komputerze: dane też trzeba sobie zinterpretować. Oczywiście przy pomocy jakiegoś programu komputerowego, by wyświetlić rysunek na monitorze.

Mały przyznał, że ciężko przeżył nieistnienie w świecie materialnym idealnych geometrycznych figur i brył ☺.

* * *

Przyznam się, że trochę dziecię oszukałem, bo analogia: dane komputerowe – wzór matematyczny, nie obejmuje bitmap, ale grafikę wektorową. Ale grzech był niewielki, bo figury w Paintcie są odpowiednikiem kawałka siatki o współrzędnych całkowitych ℤxℤ, a nie płaszczyzny ℝxℝ. A z siatki to już na pewno nie zrobimy kwadratu. Zaczynamy mieć jednak nadzieję/podejrzenie, że skoro mamy współrzędne całkowite, to może jednak da się utworzyć rzeczywiste odwzorowanie matematycznej abstrakcji w przypadku dyskretnym. Bo ta „bitmapowa” akurat jest dyskretna, więc wystarczy użyć zwykłych, przeliczalnych przedmiotów. Ale o tym w kolejnym odcinku.