Twierdzenia limitacyjne – mało znane ograniczenia naszej racjonalności

Jeden z ciekawszych filozofów, Artur Schopenhauer, napisał dzieło, którego treść widzieć można jako „uzasadnienie” tytułu. Mowa, oczywiście, o „Świat jako wola i wyobrażenie”, książce, którą doceniono lata po śmierci jej autora. Tytułowa „wola”, to nasz „napęd”; coś co kieruje naszym postępowaniem, a „wyobrażenie”, to tworzony przez nas obraz świata, który dziś  - być może nie nie do końca poprawnie -  nazwalibyśmy wiedzą. Ograniczenia naszego wpływu na wolę wykazywał już sam Schopenhauer, twierdząc, że nie jest ona wolna. Dyskusje na ten temat toczą się do dziś, a ostatnio opinię Schopenhauera potwierdzają m.in. neurolodzy. Wydaje  się, że ostatnim argumentem obrońców wolnej woli jest argument „praktyczny”; gdyby jej nie było, nie moglibyśmy mówić o odpowiedzialności i kogokolwiek karać, bo to nie on kierowałby swym postępowaniem. Podobne problemy rozważali wiele wieków wcześniej m.in. Ojcowie Kościoła. Za pierwszego wątpiącego w poprawność naszej wizji, schopenhauerowskiego wyobrażenia, świata uważa się Platonaⁱ. Jego metafora cieni na ścianie jaskini jest chyba pierwszym w miarę spójnym opisaniem sytuacji, w szczególności ograniczeń, tego co dziś nazwalibyśmy wiedzą. Do adekwatności tej naszej wiedzy ludzie krytycznie podchodzili chyba zawsze, a kartezjuszowskie „myślę, więc jestem” czy kantowska „rzecz sama w sobie” mają w historii budowy opisów rzeczywistości miejsce zarezerwowane pewnie do końca Wszechświata i jeden dzień dłużej. Razem z nierównościami Heisenberga czy Bella. Wspomniane ograniczenia dotyczą jednak tylko jednego sposobu powiększania naszej wiedzy; tego poprzez kontakt podmiotu poznającego z tzw. rzeczywistością. To domena tzw. nauk empirycznych; fizyki, biologii, astronomii (przepraszam jeśli kogoś tu uraziłem) i podobnych miłośników „twardego stania na ziemi”, np. medyków lub socjologów. Ludzie ci z matematyki korzystają – jeśli w ogóle – zwykle jako narzędzia wykonywania przeróżnych, często bardzo skomplikowanych, rachunków. Z – nawet bardzo szeroko rozumianej – logiki, przynajmniej wprost, korzystają raczej  rzadko. Tę (zastosowanie logiki) drogę/metodę powiększania wiedzy wykorzystują zwykle matematycy i tzw. fizycy teoretyczni, których od matematyków odróżnić nie jest łatwo. W tej notce napiszę trochę o ograniczeniach nieempirycznego poznawania świata. Dedykuję ją wszystkim „używaczom” zwrotów „przecież to logiczne!”, „logika Watstonie!” i podobnym oraz blogerom przywołującym w jakikolwiek sposób logikę na uzasadnienie swoich, często hejterskich, wypowiedzi. Nie mam ambicji (kwalifikacji chyba też nie) pouczania kogokolwiek, a poniższy tekst daleki jest od ścisłości koniecznej do adresowania takich celów. Być może uda mi się jednak zachęcić co bardziej kumatych (a chyba sporo takich, pewnie trochę zniechęconych, w Salonie jest; np. fizycy czy inżynierowie) do używania logiki w „dyskusjach” pod rozmaitymi „gorącymi” notkami. Jeśli nie zamiast, to może chociaż obok, inwektyw, wyzwisk, pomówień czy inszych, podobnych, sposobów argumentowania.

Racjonalność Racjonalność bywa rozumiana rozmaicie, ale prawie zawsze uważa się, że ważną jej składowa jest jakiś związek z logiką. Ludzie lubią wierzyć, że opisanie świata matematyką/logiką jest racjonalne. Ten tekst jest o pewnym typie ograniczeń naszej racjonalności. Jest to próba przybliżenia treści znanych od prawie stu lat trzech z pięciu twierdzeń znanych jako twierdzenia limitacyjne. W matematyce ich znaczenia nie da się przecenić; zamknęły one jednoznacznie dyskusję nad sensem prób tzw. finitystycznegoⁱⁱ opisywania pewnych znanych i pozornie prostych sytuacji. Są jednak i konsekwencje filozoficzne (np. ich autor łączył je z rozważaniami o istnieniu Boga), a niektórzy prawnicy dostrzegają też ich znaczenie dla (filozofii) prawa. Teksty o tych twierdzeniach pisane są zwykle w raczej hermetycznym języku matematyki lub (rzadko) na poziomie zakładającym niejawnie jakąś „rozsądną” biegłość w filozofii. W pierwszym przypadku celem jest zwykle pokazanie nowych konsekwencji lub, np. sposobu artykułowania tych twierdzeń, w drugim bardzo luźne zasygnalizowanie ich istnienia. Ten tekst niczego nowego do problematyki twierdzeń limitacyjnych nie wnosi, ale zawiera informacje pozwalające, jak sądzę, „załapać” o co w nich chodzi.

Wiedza. Dobrej, takiej w miarę uniwersalnej, definicji pojęcia wiedzy nie ma. Przynajmniej ja takowej nie znalazłem. Dla potrzeb tego tekstu umówimy się, że wiedzą jest po prostu wszystko co wiemy. Parafrazując Engelsa określimy język jako pewien – jeden z wielu - sposób istnienia wiedzy. To sposób najczęściej przez nas stosowany i darzony największym  zaufaniem, bo jest praktycznie jedyną postacią wiedzy, którą potrafimy przekazywać i w miarę racjonalnie – za pomocą logiki – przetwarzać. Możemy wiedzę widzieć jako pewien zbiór wypowiedzi. Jest to spore ograniczenie pojęcia wiedzy, bo wykluczamy w ten sposób wszystko, co werbalnie wyrażalne nie jest; odczucia, instynkty czy choćby „wiedzę magiczną” (przeczucia, pewne postaci deja vu, intuicję, etc.). A wiele z tych rodzajów (zdobywania) wiedzy jest ostatnio przez naukę traktowanych równie poważnie, jak np. mechanika.
 
Jak z wiedzy korzystamy? Najprościej byłoby po prostu brać z niej wszystko czego potrzebujemy. Czasem (np. gdy potrzebujemy daty bitwy pod Grunwaldem czy tekstu piosenki „Łolaboga co się dzieje”) wystarczy uruchomić Googla. Trochę gorzej jest gdy, np., po zrobieniu zakupów trzeba za nie zapłacić. Sklep nie ma listy zakupów z przypisaną do każdego z nich jego wartością. Tego w naszej wiedzy nie ma. Ale mamy informację o wartości zakupów jednostkowych (to cennik przypisujący jednostce, np. sztuce, każdego towaru jej wartość zwaną zwykle ceną towaru) i sposób wywiedzenia z niej oraz zawartości naszego koszyka wartości całego zakupu. To najprostszaⁱⁱⁱ arytmetyka. Ten podział naszej wiedzy na pewną informację i metodę jej przetwarzania ma w sklepie uzasadnienie ekonomiczne; lista wartości wszystkich możliwych zakupów byłaby nie do ogarnięcia^iv. Jeśli jednak liczba (rodzajów) towarów jest skończona, to i cennik jest skończony niezależnie od liczby egzemplarzy (ilości) takich towarów. Nawet gdyby ilość ta nie była skończona (bo np. byłyby stale produkowane nowe sztuki), to i tak każdemu zakupowi potrafimy przypisać jego wartość. I tak też jest z wiedzą „w ogóle”, a za odpowiadającą arytmetyce  metodę przetwarzania wiedzy robi logika. No i z wiedzy korzystamy w ten sposób, że wybieramy jakiś skończony i odpowiednio fajny zbiór wypowiedzi, nazywamy je aksjomatami (to nasz „cennik”) i przy pomocy logiki wywodzimy z nich inne wypowiedzi podobnie jak z ceny i informacji o koszyku zakupów obliczaliśmy ich (zakupów) wartość. Podejście takie nazywa się aksjomatycznym (metodą aksjomatyczną). Dla matematyki jest ono typowe, ale wbrew powszechnym przekonaniom, matematyka nie jest jedynym obszarem gdzie się aksjomatów używa. Aksjomaty, to po prostu ta część naszej wiedzy, w którą lokalnie, w konkretnych rozumowaniach, musimy uwierzyć. Rezultaty wszystkich możliwych rozumowań opartych o te same aksjomaty nazywamy teorią. Jest to zbiór wszystkich wyrażeń dających się wywieść z aksjomatów podobnie jak sklep widzimy raczej jako zbiór wszystkich możliwych zakupów, a nie tylko zakupów jednostkowych. W nauce gada się o wielu logikach, ale tak naprawdę korzysta tylko z jednej. Będziemy więc mówić o niej po prostu „logika”^v. W tej sytuacji nie ma sensu każdorazowo tę logikę wspominać i  teorie często identyfikuje się z ich aksjomatami.

Jaki jest związek teorii z rzeczywistością?  Najprościej mówiąc chodzi o znaczenie wyrażeń naszego języka/teorii, czyli jasne określenie o czym gadamy. Robimy to z grubsza biorąc tak:
1. umawiamy się, że wiedzę tworzymy wyłącznie ze zdań prostych lub ich połączeń spójnikami „i”, „lub” „jeżeli .. to .. (czytanym czasem jako „pociąga”) oraz „nieprawda, że”.
2. każdemu używanemu (jako podmiot lub dopełnienie) rzeczownikowi przypisujemy pewien przedmiot, a każdemu orzeczeniu pewien związek (relację, czynność).
Można dokładnie opisać jakie warunki mają te przypisania spełniać, ale jest to bardzo długie i bardziej - proste w istocie - intuicje zaciera, niż pomaga zrozumieć o co chodzi. Nie powinniśmy po prostu nigdy dojść do sytuacji,  gdzie np. w zdaniu „Ola je bułkę” słowu „Ola” przypiszemy jakiś samolot (zakochany pilot mógł go tak nazwać), słowu ”je” czynność jedzenia (to związek między przedmiotem (tu osobą) jedzącym, a przedmiotem zjadanym (tu bułką)), a słowu „bułka” jakiegoś podpisującego się takim nickiem osobnika. Ola ma być kobietą/dziewczynką, a bułka pieczywem.
Opisane wyżej przypisanie nazywa się interpretacją (języka) teorii. Ustala ona jak rozumieć występujące w wyrażeniu słowa i pozwala w ustalonej sytuacji przypisać każdemu wyrażeniu teorii jego wartość logiczną; ocenę prawdy lub fałszu. Tak rozumianą prawdziwość wyrażeń teorii/języka nazywamy semantyczną. Kawałek rzeczywistości, gdzie jakaś wypowiedź jest prawdziwa nazywamy modelem^vi tej wypowiedzi. W przypadku wspomnianej wyżej wypowiedzi o Oli interpretacja przypisująca słowu „Ola” konkretną dziewczynkę mającą faktycznie na imię Ola, słowu „je” czynność jedzenia, a słowu „bułka” konkretną kajzerkę jest modelem tej wypowiedzi. Obiekt, który jest modelem każdego wyrażenia jakiejś teorii nazywamy modelem tej teorii.
No i trzeba wreszcie określić co rozumiemy przez rzeczywistość. Umawiamy się, że wszystko o czym mówimy istnieje wyłącznie w naszej świadomości jako zjawiska zwane fenomenami, które są naszymi wyobrażeniami noumenów, pewnych realnych^vii rzeczy samych w sobie. Stajemy więc na gruncie fenomenologii, jednego z ciekawszych stanowisk w filozofii. Na zarzut, że bywa ona widziana jako sztuczna, nieintuicyjna (Przecież widzę ten kwiat! To po co gadać o jego fenomenie?) i co tam jeszcze złego ludzie wymyślą, rzec można, że niczego lepszego nie mamy i odesłać do Kartezjusza, Kanta, Huserla czy Heideggera.

Jedną z ważniejszych (najważniejszą?) – nie tylko w matematyce – teorii jest opisanie liczb naturalnych. To liczby 1, 2, 3, …, których używamy do najprostszych rachunków i numerowania (np. ludzi w kolejce do lekarza). Jest kilka takich opisów, ale w matematyce używa się zwykle aksjomatycznej teorii liczb naturalnych zaproponowanej przez Giuseppe Peano (opis można „wyguglać”). Teorią tą zainteresował się austriacki matematyk Kurt Goedel^viii. No i wykazał, że liczby te takie całkiem „naturalne” nie są i mają dwie niesympatyczne własności. Zacznijmy jednak od sympatycznej. W 1929 roku pokazał, że każda teoria niesprzeczna (tj. taka, że z jej aksjomatów nie da się wywieść zarówno jakiegoś zdania, powiedzmy p, jak i jego zaprzeczenia „nieprawda, że p”) ma model. To tzw. twierdzenie o pełności. A ponieważ opis istniejącego obiektu sprzecznym być nie może, to teoria jest niesprzeczna dokładnie wtedy, gdy ma model. I teoria Peano liczb naturalnych jest niesprzeczna. Goedel pokazał jednak, że wspomnianej wyżej niesprzeczności teorii nie da się wykazać jej „własnymi środkami”, tj. wywieść z jej aksjomatów. To twierdzenie Goedla o niesprzeczności. Nie bardzo więc wiadomo jak  - bez oglądania się na naszą fenomenologiczną rzeczywistość - tę niesprzeczność teorii Peano pokazać. Zapytajmy jeszcze o jakość opisu liczb naturalnych teorią Peano. Chcielibyśmy, aby był to opis dokładny, w tym choćby sensie, że każdą prawdziwą wypowiedź o nich da się z aksjomatów Peano  wywieść. Tego, niestety, również zrobić się nie da. I Goedel pokazał, że istnieją (bardzo nienaturalne) wypowiedzi o liczbach naturalnych, które w naszym standardowym ich rozumieniu, tzn. modelu aksjomatów Peano prawdziwe są, ale z aksjomatów wywieść się ich nie da. Innymi słowy nie da się tych liczb naturalnych tak całkiem zupełnie/dokładnie przez aksjomaty opisać. To twierdzenie Goedla o niezupełności.
Nasz rodak, Alfred Tarski, pokazał coś jeszcze „gorszego”; udowodnił, że w żadnej niesprzecznej teorii nie da się jej środkami zdefiniować pojęcia prawdy, tzn. określić kiedy wyrażenie/zdanie tej teorii jest, a kiedy nie jest prawdziwe. To twierdzenie Tarskiego o niedefiniowalności prawdy.

Trzy ostatnie twierdzenia łączy wspólna idea ich dowodów. Jest to wykombinowana przez Goedla metoda numerowania występujących w wyrażeniach teorii wypowiedzi/słów^ix. Twierdzenia te wraz z dwoma innymi ograniczeniami możliwości opisywania świata przez teorie aksjomatyczne nazywane są twierdzeniami limitacyjnymi.

Po co są nam te twierdzenia limitacyjne potrzebne? Twierdzenia limitacyjne należą do tzw. metamatematyki, tej części wiedzy, dla której przedmiotem poznania jest matematyka. Można powiedzieć, że ich sens polega na pewnego rodzaju pokazywaniu jej (matematyki) słabości i obniżaniu zaufania matematyków do efektów swojej pracy. Najprościej mówiąc, twierdzenia limitacyjne pokazują poważne i nieusuwalne ograniczenia zasadniczej dla matematyki metody aksjomatycznej. Kłopot polega na tym, że traktują one o tym kawałku matematyki, bez którego trudno wyobrazić sobie funkcjonowanie  współczesnej nauki.     

W normalnym codziennym, życiu o twierdzenia limitacyjne – podobnie jak i inne ograniczenia „matematyczne”, np. twierdzenie Arrowa^x o nieistnieniu dobrej ordynacji wyborczej – raczej się nie potkniemy. Twierdzenie Arrowa powinno akurat interesować polityków gadających o uczciwych wyborach, ale większość z nich o niczym takim nie  słyszała i słyszeć nie chce. No i słusznie. Wiadomo przecież, że jak my wygrywamy, to wybory były uczciwe, a jak oni to nieuczciwe. I żadna matematyka niczego tu nie wnosi. Nie wnoszą te twierdzenia również  niczego do pracy np. inżyniera (w tym i „społecznego”, tzn. propagandysty) ani np. literata. Bez tych twierdzeń i samochody będą jeździć, a samoloty latać i schabowy na obiad, a piwo na kolację, smakować będą tak samo. Normalny człowiek ma jednak – dziś już coraz rzadziej – momenty, gdzie czasem zastanowi się gdzie jest i jak się w istniejącej rzeczywistości określić/znaleźć. I w takich sytuacjach twierdzenia te bywają użyteczne, np. jako hamulec dla nadmiernej wiary w naukę. Wielu filozofów (m.in. Leibniz, kiedy pisał swoja Teodyceę.) kojarzyło liczby naturalne z Bogiem i stawiało rozmaite dziwne pytania, np. o przyczynę dla której Bóg toleruje zło. Pytająca o to Leibniza królowa Prus zmarła zanim ukończył on swoje dzieło. Czy oznacza to, że pytanie straciło na aktualności? Na to pytanie każdy odpowiedź znaleźć musi sam.

A tak z innej beczki biorąc, to twierdzeniami limitacyjnymi zaczynają interesować się specjaliści od sztucznej inteligencji, którzy wracają do rozważań na temat „mechaniczności” ludzkiego umysłu i możliwości symulowania jego działania przez program komputerowy. Ale to już całkiem inna bajka.

Uwagi końcowe Na temat twierdzeń limitacyjnych dostępnych jest sporo bardzo różnych materiałów. Od omówień motywacji po rozważania na temat historii podobnych rozważań i znaczenia tych twierdzeń dla współczesnej nauki i szeroko rozumianej filozofii. Dziś wiele bardzo dobrych opracowań znaleźć można w Internecie, dokąd – zamiast ew. bibliografii – zainteresowanego czytelnika odsyłam.

i. Nie jest to, oczywiście, sugestia, że Platon prace Schopenhauera znał. To tylko taki wygodny „skrót”.

ii. Tzn. przy pomocy skończonej liczby „narzędzi”.

iii. Łatwo się mówi „najprostsza”. Podobno prawdziwy humanista nawet wypłaty przy kasie policzyć nie potrafi. A ja poznałem kiedyś uczniów 7 klasy, którzy naprawdę mieli z takimi rachunkami kłopot.

iv. Gdyby sklep miał tylko osiem sztuk różnych towarów zakupów można by zrobić 23 = 8, a gdyby było to np. 64, to (zob legenda o szachach) 264 co jest podobno liczba większą niż liczba ziaren pszenicy w królestwie Persji w średniowieczu

v. Gdybyś, drogi Czytelniku (do czego Cie zachęcam, bo wygląda na to, że np. ze względu na rozwój AI będzie to ważne), chciał poczytać o logice coś poważnego, to na logikę tą gadać tam będą „rachunek predykatów pierwszego rzędu”

vi. Warto zauważyć, że często (np. nagminnie w ekonomii) modelem nazywa się nie opisywany przez wypowiedź kawałek rzeczywistości, lecz właśnie opis takiego obiektu, tj. pewne wyrażenie, które jest prawdziwe przy interpretacji „w tym obiekcie”. Dla matematyka modelem równania 2x=1 „w liczbach wymiernych” jest liczba ½ („w liczbach naturalnych” równanie to modelu nie ma), a ekonomista o tej samej sytuacji powie, że to równanie 2x=1 jest modelem (jednym z wielu) liczby ½.

vii. Z tą realnością to różnie bywa. Np. fenomenowi/pojęciu „pegaz” żaden realny, taki materialny, skrzydlaty koń nie odpowiada.

viii. Życiorys, uważanego przez wielu ludzi za najwybitniejszego logika XX wieku, Goedla i powody, dla których zainteresował się on liczbami naturalnymi, to materiał na dwie odrębne prace. Tu nie ma miejsca by o tym pisać

ix. Dokładniej mówiąc chodzi o symbole specjalnego języka formalnego; wspomnianego wyżej rachunku predykatów.