Jest w tych kamyczkach jakieś tajemnicze piękno ponadczasowe, co jak syreni śpiew przyciąga umysły badaczy do krainy LOGOS, która jest odwieczna, wieczna, niezmienna, a jedyne co można to badać i dziwować się prostotą - taką samą dla starożytnych, współczesnych jak i przyszłych myślicieli, którzy do niej zawędrują... Także mnie trójki pitagorejskie skusiły, więc zająłem się nimi "po swojemu". )

    Około 1,310 wyników (0,39 s) 

 

 

 

O co tu chodzi? 

               

Chodzi o budowanie kwadratów z kamyczków.

Każdy kwadrat zawiera tyle samo wierszy 'w' co kolumn 'k', a ilość kamyczków jest wielokrotnością np. siedem wierszy po siedem kamyczków, razem 7*7 co można zapisać jako 7 do kwadratu (7²).

W ogólności kwadrat o boku n to n*n kamyczków (en razy en).

Kwadrat jest równocześnie sumą postępu arytmetycznego

n² = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1)

 

 

Badając kwadraty ułożone z kamyczków starożytni mędrcy zauważyli, że każdy kwadrat można rozłożyć na dwie części, z których część A jest kwadratem, a część B jest resztą.

O te reszty B chodzi. Z niektórych reszt można ułożyć kwadrat, z niektórych dwa kwadraty itd.

Teoria Teoria– z gr. theoría- oglądanie, rozważanie.  System  pojęć, definicji  aksjomatów itwierdzeń ustalających  relacje między tymi pojęciami i aksjomatami, tworzący  spójny system pojęciowy opisujący jakąś wybraną fizyczną lub abstrakcyjną dziedzinę. - http://pl.wikipedia.org/wiki/Teoria

A więc Teoria to system pojęć tworzących spójny system pojęciowy. - a z tego -  Jeśli jakiś system pojęć jest niespójny -to- nie jest teorią. ... a kiedy system pojęć nie jest spójny?    Kompatybilność - (ang. compatibility, pol. zgodność) - oznacza współistnienie w sposób harmonijny http://pl.wikipedia.org/wiki/Kompatybilność    System pojęć nie jest spójny gdy słowa mylą desygnaty słowa nie mają desygnatów słowa są niejednoznaczne   Desygnatem słowa (słów) może być   rzecz poznawalna zmysłowo konstrukcja myślna oparta na pewnikach

Teoria (logika) Wlogice matematycznej teorią nazywamy niesprzecznyzbiór zdań. Jeśli jednak badamy to zagadnienie z punktu widzenia semantyki, a nie syntaktyki, to potrzebujemy twierdzenia o istnieniu modelu, które w 1931 roku udowodnił austriacki logik i matematyk Kurt Gödel. Mówi ono, że każda spójna teoria (tzn. taka w której nie istnieje dowód sprzeczności) ma model i umożliwia badanie własności dowolnej teorii przy użyciu metod teorii modeli. - http://pl.wikipedia.org/wiki/Teoria_(logika)

W ogólności model = desygnat, a spójność  to zgodność słowa z desygnatem.

 

model

 

     +   kamienie      ===       spójność

   DESYGNAT         +      SŁOWO      =    PRAWDA O RZECZY

 

Mamy więc ten kwadrat C ułożony z n*n kamyczków, wydzielamy z niego kwadrat mniejszy A i pytamy: 

czy z reszty B da się ułożyć kwadrat? 

 b =  √(c+a)(c-a)

 

 

Zestawy liczb  będących trójkami pitagorejskimi podzielono na dwie grupy w ten sposób, że ze zbioru zawierającego wszystkie trójki pitagorejskie wydzielono te, które nie mają wspólnego podzielnika i te trójki uzyskały nazwę: trójki pitagorejskie pierwotne, a liczby je tworzące mają nazwę "liczby względnie pierwsze" (względem siebie są pierwsze bo nie mają wspólnego podzielnika).

 

 

 

 

 

animacja ze strony  http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple

licencja: GNU Licencja Wolnej Dokumentacji

 

Odpowiednikiem arytmetycznych (kamyczkowych) trójek pitagorejskich w GEOMETRII są trójkąty pitagorejskie tworzone na płaszczyźnie Euklidesa według miary długości boków Kartezjusza.

 

Są znane różne sposoby tworzenia trójek pitagorejskich, a najstarsze pochodzą ze starożytności. Znane w Egipcie i Babilonii usystematyzowane przez Euklidesa, Pitagorasa, Platona, Herona, zalgorytmizowane przez ojca algebry Diofantosa - były także obiektem badań nowożytnych myślicieli: Leonarda z Pizy, Fibonacciego, Stifela, Ozanama,  Fermata, Kartezjusza, Dicksona i in.

Jest w tych kamyczkach jakieś tajemnicze piękno ponadczasowe, co jak syreni śpiew przyciąga umysły badaczy do krainy LOGOS, która jest odwieczna, wieczna, niezmienna, a jedyne co można to badać i dziwować się prostotą - taką samą dla starożytnych, współczesnych jak i przyszłych myślicieli, którzy do niej zawędrują... Także mnie trójki pitagorejskie skusiły, więc zająłem się nimi "po swojemu". )

 

Pamiętam ile radochy sprawiało mi odkrywanie innych niż 3-4-5 trójek pitagorejskich i tworzenie zestawień. Jako dziecko robiłem to ołówkiem na papierze. Później po latach gdy znów wróciłem do tego zagadnienia - ołówek i papier zastąpił arkusz kalkulacyjny. Mam w komputerze kilka plików w których pełno jest takich tabel j.w. i gdy dziś patrzę na te liczby i cyferki to zastanawiam się: "o co chodziło?".  Wtedy wiedziałem, a w pamięci pozostały jakieś przebłyski, jakaś myśl niedokończona, jakaś wizja... :) Nie podchodziłem oczywiście metodą kamyczkową (arytmetyka, algebra Diofantosa) lecz trygonometryczną, bo tak mnie uczono, że trójki pitagorejskie dotyczą trójkątów prostokątnych, a ta nauka zaczęła się już w wieku przedszkolnym, gdy starszy kolega pokazał mi jak za pomocą sznurka z węzłami wyznaczyć kąt prosty... :-)

A jakie są obwody trójkątów  pitagorejskich? 

12	30	56	90	132	182	240	306	380
40	70	108	154	208	270	340	418	504
84	126	176	234	300	374	456	546	644
144	198	260	330	408	494	588	690	800
220	286	360	442	532	630	736	850	972
312	390	476	570	672	782	900	1026	1160
420	510	608	714	828	950	1080	1218	1364

Są zawsze parzyste

 Są zawsze parzyste

 Są zawsze parzyste

- a więc tylko jedna z liczb tworzących trójkę pitagorejską pierwotną jest parzysta.

.(¯`·..ஜ۩۞۩ஜ..·´¯).

Znalazłem w tych swoich notatkach takie formuły:

liczby x i z są nieparzyste						liczba x jest parzysta
liczba y jest parzysta						liczby y i z są nieparzyste
x = (2w-1)(2w+2k-1)						x =2w(w+2k-1)
y =2k(k+2w-1)						y = (2k-1)(2w+2k-1)
z = (2w+k-1)^2 + k^2						z = (w+2k-1)^2 + w^2
z-x = 2*k^2						z-x = (2k-1)^2
z-y = (2w-1)^2						z-y = 2*w^2
w	k	2				w	k	2
	nr łańcuszka parzysty						nr łańcuszka nieparzysty
n	a	b	c	c-a		n	x	y	z	z-x
1	5	12	13	8		1	8	15	17	9
1	5	12	13			1	8	15	17
2	21	20	29			2	20	21	29
3	45	28	53			3	36	27	45

Dwa symetryczne wzory do generowania  trzech liczb (a,b,c lub x,y,z) będących polami kwadratów.

Różnica  tylko w parzystości: liczby  b parzyste i liczby x parzyste, ale każda trójka ma swoją reprezentację przy zmianie kolejności np. z pierwszego wzoru dla w=12 k=2, 

621

100

629

daje podobną trójkę w drugim wzorze 

100

621

629

dla w=2 k=12

 

---

Mógłbym rozwijać tę myśl, badać te trójki i sprawdzać, co z tego wynika - ale nie będę.

Ta forma demonstracji przemyśleń w postaci notki - nie sprawdziła się. Na ok. 90 notek opublikowanych - w żadnej nie zobaczyłem potwierdzeń, które byłyby pretekstem do kontynuacji i rozwijania wspólnych uzgodnień. 

NON FINITO

ADIEU

Edward Robak* z Nowej Huty

AVE...