ile jest liczb rzeczywistych rzeczywiście...

Słowo 'ile' to zaimek pytający, choć nie zawsze bo może być i wskazujący np. ile Polaków tyle poglądów - a więc jeśli nie ma znaku zapytania to trzeba się domyślić o co chodzi autorowi: czy pyta, czy twierdzi. :-)

Pojęcie liczby rzeczywiste jest rzeczownikiem i określa jakiś tam zbiór zawierający liczby o charakterystycznych własnościach odróżniających ten zbiór od innych zbiorów, przy czym pojedynczy element takiego zbioru ma tę własność, że da się go wyznaczyć jako PUNKT na osi liczbowej Kartezjusza. Wikipedia ujmuje to tak: 

Odnośnik do słowa 'ciało' dotyczy  Kategorii: Teoria ciał  i dostarcza informacji, że ciałem zbiorów, funkcji czy dziedzin funkcji zajmował się m.in.  Galois, Riemann, Dedekind, Dirichlet, oraz angielscy matematycy, francuscy matematycy i amerykańscy algebraicy, a gdzieś tam w tle przy konstrukcji liczb rzeczywistych pojawiają się nazwiska  Cantor, Cauchy i Tarski.  

Oś liczbowa  jako interpretacja geometryczna zbioru liczb rzeczywistych

Co z tego może wyciągnąć zwykły zjadacz chleba jak ja? Ano może wyciągnąć, że:

1. liczby rzeczywiste to są takie punkty na osi liczbowej, których jest tak dużo iż tworzą ciało, a ciało ma tę własność, że nie ma w nim dziur, a więc obojętnie jakie cięcie tej osi zostanie dokonane, to punkt przecięcia będzie liczbą rzeczywistą i nie ma możliwości by oś z linią cięcia nie miały wspólnego punktu,
2. na osi liczbowej są wszystkie punkty tworzące zbiór liczb rzeczywistych  ℛ  i żadnego nie brakuje, nie ma więc możliwości wyznaczyć takiego punktu, którego by wcześniej nie było,
3. punkty leżące poza osią liczbową nie należą do zbioru liczb rzeczywistych  ℛ.

Z punktu 1. wynika, że punkt będący liczbą rzeczywistą na osi liczbowej musi mieć styczność (kontakt, styk, dotyk, graniczenie, łączność) z punktami przyległymi (poprzednik i następnik), bowiem gdyby tej relacji nie było, to liczby rzeczywiste nie byłyby spójne i nie tworzyłyby ciała.

Z punktu 2. wynika, że zbiór liczb rzeczywistych  ℛ  jest zbiorem PEŁNYM, a więc posiada stałą ilość elementów go tworzących, bo skoro wszystkie punkty są i żadnego nie brakuje, to ilość ta jest niezmiennikiem i jest liczbą arytmetyczną.

Z punktu 3. wynika, że zbiór  ℛ  nie jest zbiorem największym, skoro nie zawiera wszystkich elementów. Punkty z poza osi liczbowej tworzą zbiory większe od  ℛ  i względem  ℛ  są liczbami zespolonymi (liczby z innego wymiaru). 

Każdy punkt będący liczbą rzeczywistą musi mieć swoją NAZWĘ aby odróżniać się od innych punktów, a ta nazwa występuje tylko JEDEN raz w całym zbiorze. Według nazw (po uproszczeniu do najprostszej postaci)   można dokonać klasyfikacji liczb rzeczywistych na:

1. liczby całkowite dodatnie i ujemne (np. a;  b)
2. ułamki będące proporcją dwóch liczb całkowitych a/b (np. 3,23, 7/15) 
3. liczby niewymierne, a więc takie których nie da się zapisać w postaci ułamka a/b (np. √2, π, ln 5, sin22)

Najłatwiej ze zbioru liczb rzeczywistych  ℛ  wydzielić podzbiór liczb całkowitych dodatnich, które od zarania dziajów mają nazwę: liczby naturalne, a zbiór nazwano ℕ. Zbiór ten na osi liczbowej rozpoczyna się od liczby JEDEN, bowiem JEDEN to nazwa pierwszego odcinka (nie ma odcinka ZERO), a kolejne liczby ze zbioru ℕ są o +1 większe od poprzednika. Liczba JEDEN jest pierwszą liczbą naturalną na osi liczbowej obojętnie w jakim systemie zapisu ta oś jest opisana. W cywilizacji zachodniej współcześnie używa się systemu zapisu dziesiętnego.

Tak jak zbiór liczb rzeczywistych  ℛ  jest zbiorem PEŁNYM i posiada stałą ilość elementów go tworzących, a więc jest liczbą arytmetyczną  -  tak również jego podzbiór ℕ  jest zbiorem PEŁNYM, w którym żadnej nazwy tworzonej algorytmem n+1 nie brakuje, a ostatnią w tym zbiorze liczbę, bądącą granicą zbioru nazwano nieskończonością choć zbiór jest skończony i nadano tej nieskończoności symbol ∞. Przyjęto też, że w szeregach nazywanych nieskończone jest  ∞ elementów, a w szczególności tyle właśnie jest miejsc po przecinku ułamka dziesiętnego.

Mając te dane można policzyć ile jest zapisywanych dziesiętnie liczb rzeczywistych na osi liczbowej, ale wcześniej przyczynek historyczny. Pierwszym w historii nowożytnej człowiekiem, który odkrył iż są zbiory liczniejsze od nieskończoności  ∞  liczb naturalnych był Georg Cantor (1845 - 1918), który wykazał, że liczb rzeczywistych w przedziale pomiędzy zerem a jedynką jest więcej niż nieskończoność  ∞ . Tę ilość nazwał continuum o symbolu  ℂ .  Rozumowanie Cantora było proste: skoro zbiór potęgowy 2^n > n to 2^ ∞  > ∞ i wykazał to za pomocą obmyślonej przez siebie metody przekątniowej.

A ile dokładnie liczb rzeczywistych jest w tym przedziale [0, 1]? W dziesiętnym systemie zapisu jest ich dokładnie 10^∞ , a więc ℂ w dziesiętnym systemie  zapisu jest większe od zbioru potęgowego Cantora. ℂ  jest równe  2^ ∞  w dwójkowym systemie zapisu.

Wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich na osi liczbowej w dziesiętnym systemie zapisu jest ∞*10^∞  a więc nie wszystkie liczby które da się zapisać tym sposobem są na osi liczbowej, bo da się zapisać  10^∞*10^∞ a przecież 10^∞*10^∞ > ∞*10^∞  .

Jeśli ktoś czytając powyższe uśmiechnie  się rozumiejąc to co napisane, to warto było napisać, a jeśli nie to nic nie szkodzi. Tekst jest trudny bo obala stereotypy, a nie każdy przecież jest gotowy by patrzeć prawdzie prosto w jej wybałuszone oczy. :)

Edward Robak* z Nowej Huty

Uzupełnienie: 17 sierpnia 2012

Przeliczanie zbioru liczb rzeczywistych  ℛ  rozpocząłem w rozmowie z Dedą na wątku blogera  George Waleski  A może ciepło to energia fotonów?  . Poniższe posty zniknęly z tego bloga, a są ważne, bo pokazują metodę błądzenia, więc je dla formalności skopiuję. :-)

@deda

 | 14.08.2012 22:29 

@Robakks

"Prosty rachunek pokazuje, że tym sposobem można zapisać 10*∞^2
a połowa wiersza w Tabeli N^2 Kartezjusza to tylko ∞/2.
Banał. :)"

A może się pomyliłem?
Może to nie jest 10*∞^2 lecz ∞*10^∞ ?
Może piszę z pamięci i na dodatek bezmyślnie?

hmm... trzeba by sprawdzić na mniejszej ilości i zastosować do liczby większej, wszak ∞ to porządna liczba arytmetyczna. :-)

ROBAKKS 62 5614 | 14.08.2012 22:52

http://3567.salon24.pl/433869,a-moze-cieplo-to-energia-fotonow#comment_6465032

@Robakks

Wychodzi, że R(10) = 10^∞ * 10^∞
czynnik minus 1 ?
To może (9)² ?
To by mi się nawet podobało. ;)

Ale chyba coś pokręciłem. Jutro sprawdzę? :-)

ROBAKKS 62 5615 | 14.08.2012 23:00

http://3567.salon24.pl/433869,a-moze-cieplo-to-energia-fotonow#comment_6465076 

A to jutro zaskutkowało zmianą ilości wątków z 62 na 63  :)

image do posta: 20.08.2012 21:52