Do moich uczniów z przyszłości - list 1

Witam :-)

  Na początek potrzebny jest nierozciągliwy sznurek, umiejętność      zawiązywania węzła zwykłego zwanego supeł lub półsztyk, trzy paliki i    trochę płaskiego terenu np. łąka.

Na sznurku robimy w jednakowych odległościach  węzły, a w oka węzłów wkładamy paliki i wciskamy  je w grunt. Można wybierać dowolne węzły w taki  sposób by sznurek był zawsze naciągnięty, a  jeden z palików przechodził przez pierwszy i  ostatni węzeł jednocześnie.

W ten sposób powstają  Trójkąty całkowite, a  więc takie w których długości boków są  wielokrotnościami odcinka jednostkowego, można  więc te boki opisać za pomocą liczb całkowitych  dodatnich.

Na temat trójkątów Pitagorasa i trójek pitagorejskich jest sporo materiału w Internecie zwłaszcza w języku angielskim. Między innymi strona:

http://en.wikipedia.org/wiki/Formulas_for_generating_Pythagorean_triples

gdzie podano wzory do generowania  trójek pitagorejskich, a więc zestawów trzech takich liczb całkowitych (a, b, c) dodatnich, które spełniają równanie a² + b² = c²

 

Padają nazwiska: Euklides, Pitagoras, Platon, Leonardo z Pizy i bardziej współcześni: Dickson, Fibonacci, Kartezjusz, Stifel,  Berggren – ale czytając te teksty odczuwam niedosyt nie dlatego, że nie wspomniano tam nazwiska ojca algebry Diofantosa z Aleksandrii,  (choć Dickson analizuje równania diofantyczne),

ale ten niedosyt wynika z braku desygnatów.

Ludzie piszą o liczbach nie podając desygnatów, a od tego dostaję zamętu... ;)

 

Znalazłem taki fragment na stronie

http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#Distribution_of_triples

który mnie zainteresował:

 

 

Podpis pod rysunkiem brzmi:

scatter plot of the legs (a,b) of the first Pythagorean triples with a and b less than 4500.

 

To jest konkret of the legs  [odnogi]  ja nazwałem słowem łańcuszki

Jest też podana literatura do tych badań:

Albert Fässler, American Mathematical Monthly

Manuel Benito and Juan L. Varona

 

O co chodzi?

 

Ano chodzi o to by badać prawa rządzące światem arytmetycznym tak jak złotnik bada złoto, fizyk bada siły i prędkości, chemik bada skład, a kucharka smak.

 

Praw rządzących światem liczb nie wymyśla się poprzez tworzenie założeń, lecz odkrywa przez badanie desygnatów.

Takim desygnatem jest właśnie prezentowany powyżej wykres:

wykres punktowy odnóg (a, b) początkowych trójek pitagorejskich przy ai b mniejszych niż 4500.

Cały czas chodzi o to równanie  a² + b² = c² 

 

Ja to zrobiłem tak:

 

b	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
a
0	0|0	0|1	0|2	0|3	0|4	0|5	0|6	0|7	0|8	0|9	0|10	0|11	0|12	0|13	0|14	0|15	0|16
1
2
3					3|4
4				4|3
5													5|12
6									6|8
7
8							8|6									8|15
9													9|12
10
11
12						12|5				12|9							12|16
13
14
15									15|8
16													16|12

 

Ponumerowałem w arkuszu kalkulacyjnym lewą kolumnę  a  i górny wiersz b    kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi rozpoczynając od zera, a następnie językiem formuł napisałem tekst takiej treści:

Jeżeli pierwiastek z  a² + b² jest liczbą całkowitą to wpisz a|b 

 

W ten sposób uzyskałem Tabelę częściowo wypełnioną zawierającą puste pola i pola niepuste z opisem dwóch przyprostokątnych trójkąta Pitagorasa.

 

Gdyby taką Tabelę rozciągnąć w nieskończoność – to zawierałaby wszystkie możliwe trójkąty Pitagorasa. Arkusz kalkulacyjny nie ma takich możliwości, ale umysł potrafi to sobie wyobrazić:

Tabela  N² Kartezjusza posiadająca nieskończenie wiele wierszy i nieskończenie wiele kolumn – cała jest wypełniona podaną wyżej formułą. W takiej Tabeli żaden trójkąt Pitagorasa nie jest pominięty. 

 

 

Na Rys.3  widać jak rozkładają się początkowe trójkąty pitagorejskie wpisane w Tabelę. Dorysowana linia niebieska dzieli Tabelę po przekątnej na dwie częściA iB

W części A są wszystkie tP w których a>b, w części B są wszystkie tP w których b>a.

Każda para a|b z części A ma swoją  b|a w części B.

 

Przykładowa para  tP: 4|3 i 3|4

 

Na rysunku widać też jak powstają promienie o wspólnym początku w polu 0|0.

Każdy punkt tP leży na jakimś promieniu, a odstęp pomiędzy sąsiadującymi punktami na promieniu jest stały dla danego promienia.

 

Przykładowy promień:

4|3 – 8/6 – 12|9 – 16|12 – 20|15 ...

 

Liczby będące na początku promienia mają nazwę: pierwotne trójki Pitagorasa.

a  i  b  są podane, a c można wyliczyć. :)

 

A oto kilka figur elementarnych których nazwy będę wymieniał w kolejnych listach:

Oś symetrii, pary a|b i b|a, promienie, oraz łańcuszki.

Drugi list będzie dotyczył łańcuszków.

 

 

 

 trickster Edward Robak* z Nowej Huty