Wyprowadzenie równania momentu siły wewnętrznej

W ostatniej notce udowodniłem istnienie Momentu sił wewnętrznych w mechanice BS.

https://www.salon24.pl/u/przestrz/832589,moment-sily-wynikajacy-z-pochodnej-kretu

Podziękowania też dla czytelnika Wiktora Wektora za próbę rozwiązania tych równań i wyprowadzenie kilku linijek:)

    Istnienie wewnętrznych momentów sił nie jest nowym odkryciem, a jest faktem który fizykom jest dobrze znany. Wzmianki o jego istnieniu są w podręcznikach lub innych materiałach, ale niestety nie udało mi się dotrzeć do ich opisu i analizy. Ponieważ nigdzie nie mogłem tego znaleźć więc zrobiłem to sam od podstaw.

    W poprzedniej notce nie umiałem jeszcze dokończyć tych równań. Minęło parę dni leniuchowania (niestety nie umiałem się zmobilizować do niczego) i trzeba wracać do pracy (tej realnej), a wolnym czasie (którego nie mam zbyt wiele) dokończyć dzieła.

    Przypomnę że zakładamy za prawdziwe prawo zachowania momentu pędu podczas mechaniki obrotu BS. Wtedy

dL/dt=0                 (1)

Wiemy że

L= Iω                 (2)

wstawiając do równania (1) mamy

d(Iω)/dt= ω(dI/dt) + Iɛ =0     (3)

zauważmy że

M= Iɛ                     (4)

Wiemy że podczas mechaniki obrotu BS dochodzi do zmiany momentu bezwładności w czasie. To jak się nam objawia pokazuje równanie

dI/dt=-M/ω             (5)

    Zmiana momentu bezwładności w czasie (jaki zachodzi podczas obrotu BS) jest ujemnie proporcjonalna do powstałego momentu sił wewnętrznych i odwrotnie proporcjonalna do prędkości kątowej.

Możemy więc teraz opisać czym jest moment sił wewnętrznych

M=-ω(dI/dt)             (6)

Idziemy dalej i wyciągamy pochodną z dI/dt.

M=-ω(dmr^2)/dt             (7)

Ponieważ masa m jest stała w czasie, więc możemy ją wyciągnąć przed pochodną i liczymy tylko pochodną z dr^2/dt. Otrzymujemy

M=-ωm(2r(dr/dt))=-2ωmrv        (8)

ponieważ pęd to

p=mv                 (9)

To mamy teraz

M=-2ωrp        (10)

I tu ostatnio Wiktorem Wektorem się zawiesiliśmy. Rozwiązanie okazało się dość proste, tylko trzeba było sobie przypomnieć Keplera i jego prędkość polową.

dA/dt=r(dr/dt)/2= (r x v) /2 = (r x p)/2m             (11)

Warto tutaj przypomnieć że, prawo zachowania momentu pędu jest zachowane gdy prędkość polowa jest stała w czasie

S=dA/dt= constans                             (12)

Opisujemy więc zależność momentu pędu od prędkości polowej. Ponieważ

L = r x p = r x mv                        (13)

Używając równania (11) iloczyn wektorowy r x v jako podwójna prędkość polowa

r x v = 2S                                 (14)

Mamy teraz następujący wzór na wektor krętu

L=m(r x v)=m2S=2mvr(sina)            (15)

a – kąt między wektorami v, r.

W równaniu (7) mamy dr^2/dt i jest to wzór na podwójną prędkość polową wynikającą z drugiego prawa Keplera. Mając to na uwadze i podstawiając wzór na kręt (15) do równania (8) mamy

M=-ωL             (16)

a to jest już mój wzór na moment siły który można zapisać jako

M=-ω x L                (17)

Pełne wyprowadzenie M=ωIω można znaleźć w linku poniżej.

http://readgur.com/doc/245457/mechanika-bry%C5%82y-sztywnej-cz%C4%99%C5%9B%C4%87-ii-mechanika-bry%C5%82y-sztywne...

    Udowodniłem więc nie tylko istnienie momentu sił wewnętrznych ale też poprawność wzoru (17). Przedstawiam jeszcze raz wizualizacje tego wektora momentu sił wewnętrznych.