W pierwszej notce zastanawiałem się, jak dwie kule oddziaływują grawitacyjnie na obserwatora znajdując się w różnych pozycjach. Przeanalizowaliśmy dwie sytuacje z ustawieniem w linii współliniowej i w linii prostopadłej do obserwatora. Okazało się, że te dwie pozycje nie są równorzędne i układ współliniowy z obserwatorem wywiera większy wpływ grawitacyjny na niego. W układach podwójnych gwiazd tego typu oddziaływania na pewno mają wpływ na kształtowanie się układów planetarnych i dysków wokoło powodując efekty rezonansowe.
Różnice pomiędzy dwoma ustawieniami fazowymi zanikają wraz z odległością. Jeżeli te dwie kule to będą dwie czarne dziury obracające się wokół siebie w odległości 300 kilometrów od siebie i 1m *10 24od nas, to efekt będzie bardzo mały z uwagi zarówno na niezwykle mały cos kąta jak i kwadrat odległości.
Jednakże przy bardzo dużej prędkości, przy której prędkość kul jest porównywalna z prędkością światła, pojawią się efekty relatywistyczne. Rozpatrzmy schemat, w którym obserwator znajduje się w bardzo dużej odległości - takiej, że cos α →1 (cos kąta pomiędzy liniami łączącymi obiekty z obserwatorem), a prędkość orbitalna kul wynosi 1/3c –prędkości przy jakiej wg naukowców biorących udział w zarejestrowano zlanie się dwóch czarnych dziur w eksperymencie LIGO. Możemy więc sobie darować tym razem cosinusy i różnice odległości w ustawieniu statycznym względem dalekiego obserwatora, a te same fazy – współliniową i prostopadłą rozróżnijmy obliczając dla każdej z nich sumę oddziaływania grawitacyjnego w uwzględnieniem czynnika Lorentza ϒ .
Zgodnie z Teorią Względności masa relatywistyczna m=ϒm0 . Zaznaczyć tutaj należy, że wcale nie jest oczywiste, że determinuje ona oddziaływanie grawitacyjne pomiędzy dwoma obiektami relatywistycznymi. Dla m=ϒm0 m nie zależy od kierunku prędkości. Zdaniem Leva B. Okuna oddziaływanie takie jest zdeterminowane przez tensor energii i pędu.
Tensor naprężenia energii– Tij jest prawą stroną równania OTW i w zapisie macierzowym wygląda tak:
T00
|
T01
|
T02
|
T03
|
T10
|
T11
|
T12
|
T13
|
T20
|
T21
|
T22
|
T23
|
T30
|
T31
|
T32
|
T33
|
gdzie 1,2,3 odpowiadają współrzędnej x,y,z a 0 oznacza ct - iloczyn czasu i prędkości światła. W często zresztą parametrzy tensosa zapisuje się w bardziej naturalnym zapisie inżynierskim np. Tctx , Txx itd.
Część o indeksach dolnych 1,2,3 jest podobna do tensora naprężenia. Część z indeksem 0 to nowość wprowadzona w OTW w postaci współrzędnej czasowej. T0j oznacza energię wyrażonąjako strumień pędu. W internecie trudno mi znaleść rozpisane przykłady tego tensora dla przypadków innych niż „idealny pył” lub „idealny płyn”.
Tensor w założeniu ma być niezmienniczy, to znaczy ma być taki sam dla każdego obserwatora, a to oznacza, że dla nas jako jednego z wielu obserwatorów istotne mogą być tylko niektóre jego elementy.
Na pewnym forum: https://www.quora.com/Relativity-physics-Does-relativistic-mass-have-gravity ktoś zadał proste pytanie, które również i mnie trapi:
„Czy relatywistyczna masa jest masą grawitacyjną?”
Odpowiedzi udzielił Frank Heile, Doktor fizyki z Stanford University.
Co do T00 to się zgadzam.
Problem ze zrozumieniem sprawia mi T0j = Ti0 = γ m0v2
Według angielskiej wikipedii człony T0j = Ti0oznaczają:
„The flux of relativistic mass across the xi surface”czyli strumień masy rekatywistycznej przez pole przekroju. Dla mnie to powinno być γm0v a nie γm0v2 ,ale może są tu jakieś zagadnienia, których nie znam.
Ostatecznie Frank Heile nie udzielił całkowitej odpowiedzi na pytanie, bo na końcu napisał:
„ In addition when you are considering the case of a massive highly relativistic particle with an energy, E, travelling past a stationary particle (or star or black hole) with a rest-mass comparable to E, then the non-linear equations of general relativity are too complicated to solve analytically so not much can be said about the "force" of gravity in this case.”
Dodając na końcu, kiedy rozpatrujesz przypadek masywnej i bardzo relatywistycznej cząstki (obiektu) z energią E przemieszczającej się obok stacjonarnego obiektu z masą restkową porównywalną z E, wtedy nieliniowe równania OTW są zbyt skomplikowane by rozwiązać je analitycznie, więc nie jestem w stanie wypowiedzieć się na temat oddziaływania grawitacyjnego w takim przypadku.
Podsumowywując - próbując zrozumieć jak tensor naprężenia-energii opisuje oddziaływanie grawitacyjne pomiędzy obiektami poruszającymi się z prędkością relatywistyczną, mam wrażenie, że brnę donikąd. Szczególnie trudności sprawia mi fakt, że we wszystkich znanych mi przykładach przy nawiązaniu tylko do kwadratu prędkości możemy wyrazić jedynie wartość dodatnią. A co jeśli obiekty oddalają się od siebie?
Tutaj intuicja podpowiada mi, że powinienem tymczasowo porzucić pojęcie masy relatywistycznej i spróbować uzyskać poprawne wyniki oddziaływania grawitacyjnego dla stałej masy spoczynkowej mo przeskalowanej przez relatywistyczny efekt doplerowski. Grawitacja ma co prawda charakter ciągły i nie nie sposób jej wprost wyrazić przy pomocy efektu dudnienia, ale pęd jest pochodną po czasie, więc przy założeniu skończonej prędkości rozchodzenia się grawitacji, siła odziaływania musi ulegać przekształceniom doplerowskim:
(na podstawie ang. Wikipedii)
Łatwo policzyć, że dla obiektu zbliżającego się do nas z v=1/3c częstotliwość
Fs/fo = pierwiastek (4/3)/(2/3)) =pierwiastek z 2= 1,414
Oddalającego się od nas z v= - 1/3c, częstotliwość Fs/f0=1/pierwiastek z 2 = 0,707
A jaka będzie wartość efektu doplerowskiego dla obiektów poruszających się w poprzek?
Policzmy pitagorasem wg rysunku. Obiekt porusza się z prędkością β wyrażoną w jednostkach prędkości światła, przeciwprostokątna to długość λ jaką pokonuje światło . Długość λ=1 ulegnie więc skróceniu z λ na λ’, , a częstotliwość f zwiększeniu o 1/ λ’
λ 2= β2+ λ’ 2
λ’ 2= 12- β2
λ’ = pierwiastek (1- β2)
ponieważ częstotliwość fs=1/λs fs= 1/pierwiastek (1- β2)
Otrzymana wielkość jest czynnikiem Lorentza i odpowiada dylatacji czasu.
Dla β=1/3c Fs/fo =1,06
Ponieważ zamiarem moim jest zbadanie wpływu grawitacyjnego dwóch okrążających się wokół siebie czarnych dziur potrzebny nam jeszcze będzie bardziej ogólny wzór z wikipedii:
uwzględniający wszystkie możliwe kąty poruszania się grawitacyjnego obiektu masywnego względem obserwatora.
My ten wzór troszeczkę przekształcimy, żeby trzymać się jednolitości oznaczeń:
Fs/fo= γ(1+β cosϴ) i spróbujmy obliczyć kilka przykładów:
Dla ϴ = 0 cosϴ =1 więc:
Fs/fo= γ(1+β) = 1,06 (1+1/3)= 1,41
Dla ϴ = 180 cosϴ =-1 więc:
Fs/fo= γ(1+β) = 1,06 (1-1/3)= 0,70
Wyniki są zgodne z wcześniejszymi - wg pierwszego wzoru.
Ale zauważmy jedną rzecz – teraz za każdym razem pojawia się stały człon γ pomnożony przez człon 1+ β cosϴ, który można zapisać jako 1 + β gdzie β oznacza rzędną prędkości skierowaną do obserwatora.(powinno być β z strzałką u góry, ale nie umiem tak zapisać)
Mnożąc przez masę spoczynkową m0 otrzymamy
m0 γ (1 + β) = γ m0 + γ m0β = energia (masa) relatywistyczna + pęd relatywistyczny
Oddziaływanie grawitacyjne będzie więc zależeć od energii jak i pędu relatywistycznego. Dla obiektu oddalającego się od obserwatora pęd przyjmuje wartość ujemną.
W następnej notce spróbuję przedstawić model składający się z dwóch krążących wokół siebie obiektów z prędkością 0,3c i zobaczymy co z tego wyjdzie.
Inne tematy w dziale Technologie