Komentarze do notki: iluzjocykle

@mankomaniak, @Andrzej DąbrówkaJa się odniosę, ale jest sobota, i żona na mnie krzyczy, że siedze przy komputerze, zamiast przekopywać ogródek. Idę więc do ogródka. Mam nadzieję, że mnie nie połamie.

tichyprzecież Ty masz taką sprytna maszynę, która za Ciebie kopie!

Losowość płodna i bezpłodnamankomaniak:

Pomijając procesy i całki stochastyczne, biorąc dwie funkcje K(t) i f(t), formuła

K*f (t)=∫^t K(t-x) f(x) dx

określa splot (ang. - convolution). Jezeli chcesz zamienić wewnątrz K zmienną "t-x" na "x", to wtedy MUSISZ zamienić "x" wewnątrz f na "t-x". Jezeli w K zamienisz, a w f nie zamienisz, otrzymasz tzw. "iloczyn skalarny", co jest zupełnie inną klasą zwierzęcia (nawet nie gatunkiem, nawet nie rodzajem czy rodziną, nawet nie rzędem).

Dyskretną wersję splotu zawiera formuła wyżej . Możesz jej uzywać do symulacji trajektorii fBM, biorąc dostateczne duże n, i zapomnieć wczesniejsze długaśne przedstawienia. Jak przestawisz w funkcji "K(t-i)" na "K(i)", to w indeksie "G_i" MUSISZ pisać "G_t-i".

Co do losowości, to w potocznym języki jest to pojęcie rozmyte, często metafora. W matematyce - też. Jest wiele uściśleń i modeli losowości. Dyskusja, że to jest losowe a tamto nie jest - bez odwołania się do konkretnych definicji - nie ma sensu.

Co najwyżej można dyskutować jak daleko lub blisko dana definicja (i jej konsekwencje) przystaje do "poczucia losowości" (które każdy ma inne, choć punkty wspólne się znajdą). Także - co może jest wazniejsze - jak bardzo jest "płodna", to znaczy czy i jak prowadzi do głebokiej i bogatej teorii i praktyki. Bezpłodna - prowadzi do banału i trawestacji.

@Andrzej DąbrówkaTak jakiś modemy bzyczały długo, nim dopasowały protokoły i pojęcia, i ustaliły co znaczy co, tak i tu - niezbędnym jest pobzyczeć przez choć chwilę.

Tak jak teoretyk literatury zawaha się zanim włączy się w dysputę literacką, posługującą się terminami "ładny wierszyk" "lub nudna powieść", tak i podobne zawahania przeżywać będzie matematyk czy przyrodnik w sytuacji analogicznej. Niby słowo "wiersz" lub "powieść" klasyfikuje utwór - taksonomia nie jest tylko domeną biologii, lecz dodane określenia sugerują, iż raczej chodzi o odbiór popularny.

Tak, literatura ma swoje "gatunki" i "rodzaje", budowane na podobnej zasadzie co gatunki i rodzaje organizmów. I podobnie - klasyfikacje cierpią na rozmycie granic. Lecz - im wyższy takson, tym ostrzej granice się rysują.

Podobnie - pewne klasyfikacje są sztuczne, na przykład w biologii - na czworonogi i dwunogi i stonogi, w literaturze - choćby wiersze - na rymowane i białe.

Różnica - w biologii rzecz jest dyskutowana i modyfikowana stale i wciąż, w literaturze - w oku laika, co prawda - klasyfikacje sztuczne przeważają, zastygają, i podawane są w postaci prawd niezmiennych i maturalnych.

Czy można odróżnić sielankę od pogodnej tragedii, tak jak da się umieścić psy i koty w odrębnych rodzinach? Odpowiedź: nie można. Kilka lat temu akurat się uwziąłem na "sielankę", a raczej na implanty mózgowe, rodem z Matrixa.

Przyjmijmy przez moment, że taksonomia literatury jest w miarę ścisła. Pytanie o różnorodność - diversity - jest rozsądne. Jak się zmienia w czasie, jakim czynnikom zewnętrznym podlega, jak zmiany i zjawiska ujmować, mierzyć?

Pojedynczymi utworami? Nie. Nimi, pogrupowanym w nieduże pęczki - jeszcze nie. Tak jak nieistotne jest, że wielorybów jest mało, a raczków dużo - tak i 100 tysięcy wierszyków jednego rodzaju lliczone jest raz, tak jak dwa poematy - raz. No, gdyby nic innego nie było - różnorodność liczyłaby 2. Ale, na ogół więcej. Powiedzmy, w jednym dzisięcioleciu mozna wyróżnić 1000 rodzajów literackich, a w następnym 500. Nie wazne, czy na jeden rodzaj przypadają dziesiątki tysięcy utworów, a na inny - pojedyncze sztuki. Zatem, z dziesięciolecia na dziesięlocie - mamy do czynienia z wymieraniem - extinction. I tak tworzy się proces czasowy, ze swymi wzrostami i zanikaniami. Jest to więc "wzór", funkcja - ale podporządkowana metodzie klasyfikacyjnej i zliczającej, a także dalszym subjektywnym modyfikacjom.

Nie wiem, czy ktoś czymś takim się zajmował, lecz rzucałoby to pewne światło na historię, rozwój, sukcesy i upadki ludzkiej cywilizacji. Nieodzownie padłoby pytanie - a co bedzie jutro, za dziesięć, za 100 lat?

Pytanie o predykcję. Kauzalność nigdy nie będzie możliwa do pewnego ustalenia. Watpliwości i wytknięcia będa istnieć - i bardzo dobrze. I dobrze, gdyby się je dało mierzyć... Granica między istotnym a nieistotnym zawsze bedzie umowna.

@kuzynka.edyta"... sprytna maszynę, która za Ciebie kopie!"

Dokonuje aktu kopania - fakt. Lecz, i przedtem, i w czasie, i potem - rzeczy do zrobienia jest mnóstwo.

Przedtem - choćby nawieźć. Konkretnie, wczoraj rozsypałem na jednej grzędzie 11 taczek ziemi kompostowej. Kazda taczka - circa 130 dm³ (zaczynałem od więcej, ale potem taczki łądowałem płycej i płycej). Razem 1,4 kubika. Circa - półtora-dwie tony.

Bez maszyny - ręcznie. Zanim się przekopie, oraz po przekopaniu - trzeba rozrzucić i rozgrabić równo. Ręcznie.

Maszyna - po długim nieużywaniu - miała zapaćkany gaźnik osadami z paliwa. Ongiś - oddawałem do punktu do serwisu. Teraz - rozkręcam i czyszczę sam. Nie jest to ciężka praca, ale dość brudna.

I tak mi dzień zeszedł. Aha, byli jeszcze goście, a poszli dopiero po północy, a mi się palce plątały. Dotąd się plączą. Ale od tego niedziela, by się rozplątały.

@tichyWracając jeszcze - coś ten znak minus przed H mi się nie podoba. On może mi popsuł cały wykres. U Mandelbrota i w tej pracy nie ma minusa. Dlaczego nie można zastosować dokładnie tej samej formuły co w całce? Nie byłoby żadnego n^(-H) a w tej pracy jest n^(-1/2). Biorąc pod uwagę, że n dąży do nieskoń, 1/n^H dąży do zera, suma niby też rośnie do nieskończoności, ale wyraz 1/n^H może sprawiać, że całe wyrażenie zacznie wariować - dostaniemy zmiany fbm a nie fbm.

@mankomaniakSłusznie Ci się minus przed H nie podoba. Mój błąd.

Jako marne wytłumaczenie - próbuję zapisać matematykę w HTML, i jest to paskudne. Gdy piszę w LaTeX, mogę od razu widzieć formuły, i zobaczyć błędy. W HTML - a zwłaszcza w salonowym edytorze - nie widać, zwłąszcza jak człowiek się namęczy z kodowaniem symboli wymyślonych przez Microsoft lub t.p.

Pod ostatnim postem wkleiłem obrazek pdf z przepisem, ale w formacie jpeg. Ctrl-click otworzy go w nowej ramce, ale trzeba zrobić zwykły click potem (Ctrl+ ewentualnie później).

Jak mi podasz email (możesz na PW), to Ci prześlę pdf (jasny i czysty).

Muszę pisac po angielsku, bo nie mam ogonków w LaTeX, plus polska terminologia mi się myli.

@tichyTylko że teraz mam kompletny mętlik. Bo tam jest inny wzór z dodatkowym składnikiem który się odejmuje od tej "naszej" sumy, jest też M, które niejako wykluczyliśmy, ech. Muszę od tego odpocząć albo spróbować jednak metodę z łamaniem odcinka i przesunięciem go. Mam tu pewien pomysł jak to zrobić w Excelu, bo też powstałaby pewna macierz, ale w umyśle dobrze tego nie widzę.

Nie wiem jak na priv się wysyła.

@mankomaniak"...teraz mam kompletny mętlik..."

A trzeba było trzymać się Cholesky'ego i prostej algebry!

Świat splotów i spektrów jest skomplikowany, czego właśnie doświadczasz. Nawet mnie, który ma pewną wprawę w temacie, zdarzają się błędy; zwłaszcza, gdy rzeczy pisane są na chybcika.

W owej brytyjskiej pracy na stopień bachelor'a jest sporo błędów. Część z nich jest tylko typograficzna, np. w tej formule na str. 60. Po poprawieniu pracuje. Dochodzi też zamieszanie w przedstawianiu. W tej formule niejasna jest rola "t". Gorsze są błędy fundamentalne, np. nieprawidłowa definicja fBM w rozdziale 3.1. Opiera się ona na definicji Wienera ruchu Browna, przytoczonej w rozdziale 2.4. Formalnie, podana definicja Wienera jest poprawna, ale przypadkiem. Sformułowanie zawiera pułapkę, w którą autor wpadł, zaś żaden z recenzentów nie zauważył.

Sam też żeś w nią wpadł, gdy patrzyłeś na proces stochastyczny jako na luźną kolekcję zmiennych losowych, opatrzonych zmieniającym się znaczkiem, tu - "t". A to nie tak. Jest struktura, bez niej nie ma PROCESU.

Dla procesów Gaussowskich owa struktura jest wyznaczona przez funkcję kowariancji. Stąd - prostota, za którą jednak trzeba zapłacić żmudnością obliczania pewnych wielkości (tu - piewiastkiem z macierzy kowariancji). Alternatywą są tzw. "reprezentacje", jak widać posługujące się raczej skomplikowanymi całkami.

Nie tylko rzecz w ich "niewłaściwości" - iż całkowanie odbywa się na nieograniczonej dziedzinie. Te całki nie są definiowane w zwykłym sensie klasycznego calculusa. Są "tworami", których konstrukcja wymaga dość zaawansowanej matematyki.

Do praktycznych użytków stosuje się "dyskretyzacje". Całki zastępowane są sumami, koniecznie skończonymi. Stąd, są dwa etapy - obcinanie dziedziny całkowania tak, by stała się zwykłym odcinkiem, oraz zastępowanie parametru "t", zmieniającego się w sposób ciągły, przez parametr dyskretny - taki, co skacze od punktu do następnego punktu, zaś krok jest wybrany drobny.

Ta reprezentacja, wspomniana uprzednio (str. 424 u Mandelbrota i Van Nessa), ma ładną formę całkową - dziedzina całkowania jest zwykłym odcinkiem. Ale, jest kara: nie jest to fBM, i kowariancja jest trudna do wyliczenia, i przedstawia się przez tzw. funkcje specjalne.

W przypisie 3 na str. 424, M i vN podają intuicję, stojącą za reprezentacją (2.1), lecz płacąc za elegancję niepoprawnością użytych całek (ostrzegają, pisząc "difference of divergent integrals"). Niepoprawność można usunąć, ale z kolei przedstawienie się zacznie komplikować. Formuła (2.1) właśnie jest przejawem tej poprawności, ale nie odbierasz jej jako przejrzystej i łatwo zrozumiałej - prawda?

W tej notce wyżej wklejonej napisałem, jak dyskretyzacja przebiega, i ostateczna formuła na dole strony jest taka, jak trzeba. Pozostaje tylko wybrać parametry - M, n, K. No, i H, oczywiście.

@tichyJuż za późno, nie ma odwrotu... więc gdzie moge nauczyć się tej zaawansowanej matematyki? Jest podręcznik w polskim wydaniu? Tylko nie pdf bo czytanie w kompie to migrena, piekące oczy i plamki przed oczami. Może być to:
http://www.techniczna.com.pl/skroty/83-204-1971-9.htm

http://www.wnt.com.pl/product.php?action=0&prod_id=46&hot=1 ?

W tej ostatniej jest specjalny program do symulacji.

P.S. Cały dzień myślę nad tym przesunięciem odcinka. Najlepsze jest to, że aplikacja jest banalna. B(t) dla t=0..1. Krok oznaczamy literą i:

krok 1. wybierasz B(0)=0, B(1)= liczba losowa i.i.d. N(o,1)

B(1/2)=[B(0)+B(1)]/2 + G*w(1), gdzie G-liczba losowa i.i.d. N(o,1), w(i) - współczynnik który zależy od tego czy mamy zwykły ruch Browna, czy fraktalny. Nie będę go podawał, to trochę długi.

2. powtarzasz:
B(1/4)=[B(0)+B(1/2)]/2 + G*w(2)
B(3/4)=[B(1/2)+B(1)]/2 + G*w(2)

itd.

Proste, a nie mogę tego przełożyć na język excela. Wymaga głębszego zastanowienia.

Chyba że...... zrobiłbym to ręcznie: napisałbym 0, dałbym odległość 100 kratek i wpisał B(1), podzieliłbym na dwa - miałbym po 50 i w środku B(1/2), następnie to samo, ale już dla odległości 0 a B(1/2) i B(1/2) a B(1) itd. Raz bym się pomęczył, a kolumnę z G i liczbę H swobodnie zmieniałbym sobie. Pytanie czy 100 wystarczy, żeby analiza R/S mogła to zbadać.

@tichyNie, to nie ma sensu, tragedia tak ręcznie. Trzeba coś innego.

@mankomaniakExcel zupełnie się nie nadaje, gdy chcesz operować na kolumnach lub wierszach.

Powiedzmy, dla H=0,75, jednostkowego odcinka K=1, i zakładanego błędu ε=0,01 (1%), obcinające M=2500.

Wzór na M, przy zadanym błędzie ε:

M=(ε*(2-2*H)/((1-2*H)^2))^(1/(2*H-2));

(dokładniej, 1+część całkowita w/w).

Więc, przy n=100 punktów, musiałbyś mieć około 250 tysięcy klatek.

Z drugiej strony, bardzo łatwo te sumy zaprogramować. Byle BASIC wystarczy. Ostatecznym produktem będzie raptem n punktów, i te już można wrzucić do Excela, wykreślać, robić R/S analizę, etc.

W notatce znalazłem błąd. Górna granic w pierwszej sumie powinna być Mn+t-1, nie - jak było poprzednio - (M+t-1)n.

Co do literatury, i to w języku polskim... Jestem pewien, że jest wielu dobrych autorów, ale publikują po angielsku (inaczej nie byliby dobrzy).

O żadnym podręczniku nie wiem.

Nie mam pojęcia jak znaleźć coś dobrego dostępnego w sieci, i po polsku. Wystarczy wrzucić w polskie Google "fraktalny ruch Browna" i w światowy Google "fractional Brownian motion" by zobaczyć różnicę. W pierwszym przypadku - znaleziska są maści ekonomicznej, i raczej powierzchowne, w drugim - wybierasz co chcesz, i na jakim chcesz poziomie.

Wikipedie itp. są zbyt skrótowe, by miały praktyczną wartość i użytek.

@tichyNie byłoby tego problemu gdyby wszyscy ludzie mówili tylko w jednym języku. Nawet w języku matematyki. Uczyliby się od dziecka, to nie byłoby potem z nią problemów. Przyspieszyłoby to rozmowy, czas by się oszczędzało, energię, a przede wszystkim nie dochodziłoby do nieporozumień, w tym pytań co autor miał na myśli.

@mankomaniakNie widzę nic złego w mówieniu wieloma językami. Natomiast - dobrze, gdy jest pod ręką język uniwersalny, jakiś "lingua franca".

Ongiś była to łacina, potem inne języki do uniwersalności pretendowały. Lokalnie - wytwarzały się przeróżne konstrukty.

W chwili dzisiejszej, tę rolę gra język angielski.

Matematykę, prócz ścisłości, cechuje też uniwersalność.