małpiośmiornice

Uprzednio, kilka obrazków zilustrowało słynną powierzchnię zwaną "małpim siodłem". Pojawiła się ona niedawno w arkowej serii notek poświęconych popularyzacji geometrii Riemanna. Małpie siodło posiada w każdym punkcie ujemną krzywiznę, i przypomina w kształcie kwiat irysa - trzy płatki wygięte w dół, trzy w górę. Czemu wiec została nazwana "małpim siodłem" zamiast "kwiatem irysa"?

Czytelniczkę, wiedźmę Margo, zainteresowały siodła dla istot o większej liczbie kończyn. Ośmiornic? Formuła wyznaczająca małpie siodło - 3 kończyny wygodnie zwisające - jest prosta lecz sucha, z=x(x²-3y²). Więcej kończyn (ogonów, macek, szczękoczułek) - i formuła przestaje być przyjemna. Zobaczymy, co naprawdę za nią się kryje. Zwykła funkcja potęgowa, f(t)=t^n nie wydaje się być dużym wyzwaniem. Można ją rozszerzyć do argumentu zespolonego:

f(x+iy)=(x+iy)ⁿ

Niestety, wykres wymagałby 4 wymiarów. Wybierzmy więc jej część rzeczywistą:

z=Re (x+iy)ⁿ

Wbrew naocznej prostocie, kombinacja potęg x-ów i y-ów jest trudna do objęcia. Zamiana współrzędnych kartezjańskich (x,y) na współrzędne biegunowe (r, Θ) uprości ją znacznie:

z=rⁿ cos(n Θ)

Pozostaje ją wykreslić. Wybór n=5 tworzy siodło akurat dla psa - cztery łapy plus ogon. Najpierw, zgęśćmy pięciokrotnie zwykły kosinus. Wyobraźmy sobie, że jest to elastyczny pasek:

Pasek zwijamy w kółko i sklejamy końce, tworząc jakby koronę:

Teraz tę koronę trzeba zarówno ściągnąć do środka, jak i rozdmuchać na zewnątrz. Plasując naszą koronę na okręgu o promieniu r, jednocześnie zmieniamy amplitudę oscylacji - mnożąc przez r⁵. Gdy r<1, pomniejszymy, gdy r>1 - powiększymy. Oto fragment operacji ściągania i rozszerzania, dla r między 0,9 i 1,1:

Ostatecznie - ściągamy do 0, i rozszerzamy, powiedzmy, do promienia r=2:

Kolor został wybrany tak, by podlegał krzywiźnie Gaussa, która wciąż jest wszędzie ujemna. Formuła jest następująca:

K=-400r⁸ / (1+16r⁸)²

Wykreślmy ją osobno:

Powtórzy ona informację zawartą w kolorach, choć może zaprzeczając intuicji. Ów program - dpgraph, poświęca dokładność w imię prostoty kodu, nie pozwalając dobierać kolorów dowolnie. Osobny wykres krzywizny mówi: w środku krzywizna jest zerowa, po czym zmniejsza się koncentrycznie najpierw powoli, a potem błyskawicznie, Na pewnym okręgu osiąga minimum, i szybko z powrotem rośnie do 0, nigdy go nie osiągając. Dalekie skrzydła - na dalekich okręgach - są prawie płaskie.

Powiększanie liczby odnóg - jest teraz li tylko kwestią drobnej czysto technicznej manipulacji. Oto siodło ośmio-odnożne dla pająka lub ośmiornicy