Elipsy raczej, nic o psach nie będzie...
Gdy wypuścić laserowy promień wewnątrz elipsy, to - odbijając się - wypełni on ciasno-jasno pewien obszar, pozostawiając inny obszar totalnie ciemny (co Ark przypomniał kilka dni temu, tu - z dokładnością do parafrazy).
Zatem, wewnętrzne eliptyczne zwierciadło podobne jest (poprawka 25.03.09) do zwierciadła kołowego, którego pierścienną część wnętrza promień lasera wypełni ciasno-jasno, albo poruszać się ów będzie się po cyklicznym torze - trójkącie, wielokącie foremnym lub gwiaździstym.
Wiedzieć to jedno, a przekonać się na własne oczy – to insza inszość. Kto ma dziś czas i ochotę i na tyle niedrżące ręce, by się papierem i ołówkiem posługiwać? Od czegu komputery?
Zatem, mając elipsę o półosiach a i b, promień światła wypuszczony komputerowo z punktu P0 w kierunku punktu P1 (oba punkty na elipsie) odbija się w punkcie P1 trafiając w punkt P2, odbija się znów, itd., itp.
Trzy rodziny trajektorii:
w zależności od tego, czy pierwszy promień przetnie ognisko, czy przejdzie między ogniskami, czy też poza nimi. Wszystkie następne odbicia będą tę własność powielać.
Co więcej, każdy z pozaogniskowych promieni będzie styczny do pokrewnej krzywej – do mniejszej elipsy o tych samych ogniskach, gdy przechodzi poza ogniskami, oraz styczny do hiperboli o tych samych ogniskach, gdy przechodzi między ogniskami. Oczywiście, te własności należałoby ładnie dowieść, ale nie zawracajmy sobie tym głowy.
By kontrolować ten pierwszy promień i kolejne promienie - wybieramy punkt m, w którym przetnie on poziomą oś, oraz kąt α, który z nią tworzy. Dzięki temu będziemy wiedzieć, gdzie ogniska pozostają. Dla ilustracji, niech pozioma półoś będzie – no, powiedzmy π/2, żeby było śmieszniej, a pionowa oś, dla prostoty, niech ma długość 1.
Wypuśćmy więc promień poza ogniska, raz pod jednym kątem, raz pod innym, pozwólmy mu się odbić jakie 500 razy... Zwłaszcza, żeMarsala pod Arkiem pyta o wielokąty, może jakiś sam wyskoczy?
No, prawie-prawie, byle tylko punkty się zetknęły – to i wielokąt się sam pojawi. Aha, z tego, że każdy promień jest styczny do wewnętrznej elipsy wynika, że samo zetknięcie punktów już zapewnia własność odbicia i powtarzania się danego toru.
Więc – znalazł się i trójkąt, i czworokąt, i pięciokąt, choć ten ostatni niedokładnie... Skąd wiadomo, że n-kąt się znajdzie, gdzie n ≥ 3, przy dowolnym wyjściowym kącie α?
Ano, wynika to z własności Darbouxfunkcji ciągłej – n-te odbicie jest ciągłą funkcją pierwszego punktu. Gdy przesuwamy ‘m’ ekstremalnie do lewego krańca osi, lokalnie - elipsa jest niemal liniowa, i wtedy odbicia niemal biegną pionowo – ostatnie będzie po prawej stronie punktu wyjściowego. Z drugiej strony, zbliżając ‘m’ do ogniska dostatecznie blisko – trajektoria przetnie pierwszy promień. Z ciągłości wynika, iż wszystkie stany pośrednie zostaną osiągnięte przez ten ostatni punkt (to właśnie jest własność Darboux). Zatem, i wyjściowy punkt będzie trafiony, c.b.d.o.
Precyzyjna konstrukcja byłaby bardziej elegancka – zapewne taka istnieje – ale nie będziemy jej szukać po google’ach. Zamiast tego spróbujmy manualnie stworzyć powtarzający się tor siedmiokątny... troszkę w lewo, troszkę w prawo – o prawie jest!
Teraz – między ogniska! Siedmiokąta nie znajdziemy, bo liczba wierzchołków musi być parzysta, ale może sześciokąt uda się znaleźć ręcznie? Konstrukcja zręczna gdzieś musi być na sieci zapisana...
Zielony kolor – to 500 odbitych promieni. Rozmycie świadczy o nietrafieniu, skupienie – o trafieniu (wiadomo, że w przybliżeniu). Znowuż własność Darboux w akcji: troszkę w lewo, troszkę w prawo – o, jest! Trafiony - zatopiony!
Manipulację odzwierciedlają wartości ‘m’, wyrażone jako ułamek ogniska ‘ f ‘ . Punkt wyjściowy wraz z pierwszym lądowaniem i pierwszym promieniem jest zaznaczony na czerwono, a następne sześć odbitych promieni – na czarno.
A teraz, wprost przez ogniska! Ark twierdzi o kolejno odbijanym promieniu
„Okazuje się, że zmierza do do stabilizacji na głównej osi elipsy”
To samo stwierdzenie (bez dowodu) znalazłem na rozlicznych stronach internetowych, jednak eksperyment pokazuje rozmycie, im więcej odbić – tym większe. Przy 20 tysiącach ani kropki białej nie widać!
Zagwozdka więc – jak to jest z tą stabilizacją? Zrzutujmy punkty raz na oś poziomą, raz na pionową, i potraktujmy statystycznie przy pomocy empirycznego histogramu
Pokazuje on, iż „wzdłuż i przy poziomej osi” jest ulubionym i najczęstszym położeniem promienia. Widać, że lwia część punktów odbijanych znajduje się przy krańcach osi, ale sporo jest punktów nieokiełznanych, wędrujących sobie w dowolne miejsca na obwodzie elipsy.
To fakt, czy iluzja? Iluzja może wynikać z tego, że komputer, znajdując współrzędne punktów na elipsie, musi wyciągnąć pierwiastek kwadratowy.
Ponieważ nie jest w stanie tego zrobić bezbłędnie, więc nawet drobniutki błąd będzie się kumulować przy wielokrotnych odbiciach, niewykluczone - wprowadzając chaos do świetlnej trajektorii...
No, nie wiem...
Dzień później - wiem (no, nie do końca). Zmieniłem program, specyficznie dla ognisk, i stabilność otrzymana bez problemu:
Inne tematy w dziale Technologie
