sznurówki i Principia

Moje odpowiedzi komentatorom pod poprzednią notką zaczęły wchodzić w stan długawości... (jak człowiek przestaje z filozofami i - pardon le mot - prawnikami, to nabiera maniery mnożenia słów), stąd przedstawiam kontynuację jako osobny tytuł. Wspomniane zostały sznurówki oraz trylogia Principia Mathematica z początków drugiej dekady XX w., autorstwa Bertranda Russella i Alfreda Whiteheada ("R & W" niżej).

Rozdział III Principia I traktuje o symbolach niezupełnych (incomplete symbols). Autorzy zaczynają od prostych przykładów:

$[;\frac{\partial}{\partial x},\quad \int_a^b;]$

wyjaśniajac, że czegoś tym symbolom brakuje - bez tego czegoś symbole nie mają znaczenia. Hm... Następny przykład - to Laplasjan (to określenie, będące "nazwą własną", w tym miejscu nie pada; świadomie piszę z błędem - patrz niżej). Kopiuję dosłownie:

$[; \nabla^2=\frac{\partial}{\partial x^2}+\frac{\partial}{\partial y^2}+\frac{\partial}{\partial z^2}\quad Df;]$

W & R nie wyjaśniają, co owe "Df" ma znaczyć - może 100 lat temu tak się pisało, i wszyscy to rozumieli? Dzisiaj - obecność "Df" wydaje się być jak plama na obrusie- brzydka i nie na miejscu). No, w obronie R & W można zgadywać, iż "Df" oznacza uzupełniające polecenie, jak w przepisie w książce kucharskiej - "weź ów ∇², i diferencjuj funkcję f".

Azaliż?

Na (inny) zdrowy rozum - "Df" znaczy: "Definicja". Jest to wyjaśnienie niewątpliwie prostsze, i - niewykluczone - iż R & W zdefiniowali samą definicję i symbol definicji gdzieś wcześniej... Albo i nie zdefiniowali, bo po co, skoro każde dziecko może zgadnąć?

Więc, autorzy dalej twierdzą, że poprzez tę formułę definiują użytek (the use) ∇², zaś samo ∇² pozostaje bez znaczenia (remains without meaning). Przeciwstawiają temu "imię własne" (proper name) "Sokrates", co - wg. autorów - ma znaczenie bez żadnych dodatków, bo taki konkretny człowiek był.

Zapomnieli uzupełnić, iż chodzi o tego jednego, jedynego Sokratesa, a nie o imię męskie, o zmieniającej się popularności. Może to zbieg okoliczności, ale imię Sokrates zaczęto nadawać dzieciom amerykańskim niemal natychmiast po opublikowaniu Principia. Statystyki, oparte na danych Urzędu Stanu Cywilnego (Social Security Administration), wykazują sokratesową pustkę imienną XIX i poczatków XX wieku, zakończoną w roku 1914, gdy imię "Socrates" otrzymało pięciu chłopców, i nawet więcej rok w rok przez następne 20 lat. Potem długa przerwa, z rzadka przerywana drobnymi erupcjami imienia, aż do roku 1968, gdy znów imię "Socrates" zagnieździło się na stałe w kalendarzu imion. No tak, ale skąd R & W mogli o tym wiedzieć? Za ich czasów "Sokrates" był jeden, i tylko jeden, choć w Grecji imię mogło się cieszyć choć jaką popularnością...

Podobnie, skąd mogli wiedzieć, że niedługo powstanie i zacznie się rozwijać potężna teoria operatorów, w tym Laplasjanu - operatora Laplace'a? Urodziny teorii operatorów można by powiązać z publikacją w 1920 roku rozprawy doktorskiej Stefana Banach Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales, ale same pojęcia operatorów funkcjonowały na niwie matematycznej 100 lat wcześniej. W 1822 Fourier oublikował swoją analityczną teorię ciepła ( Théorie analytique de la chaleur), gdzie już używał Laplasjanu. Lecz, czy zwał go "Laplasjanem", czy też nazwa ta została ukuta później - i przez kogo? Czy R & W wiedzieli, że ów "bezsensowny symbol" (tzn., bezsensowny bez dodatków), miał nazwę własną? Chwileczkę, po polsku (też po rosyjsku i po francusku) piszemy "laplasjan" małą literą, lecz R & W pisali po angielsku, a tam - "Laplacian"! Czy wiedzieli, że mówią o "operatorze Laplace'a", o jednym jedynym - w tej jedynosci określenia podobnym do "Sokratesa"?

Stąd, ów "jest" (czy "był") - przy tym dodatki dla istnienia zbędne. A może tego operatora nie ma, dopóki nie zostanie użyty?

Ale wtedy i sznurówki by nie było, dopóki by nie została użyta do zawiązania buta. No, nie! Przecież sznurówka istnieje - można ją wziąć do ręki - dotknąć, powąchać, polizać! No tak - ale to przecież też użytki (choć ten ostatni nieco niesmaczny), więc pytanie dalej widnieje - czy sznurówka istnieje, zanim ją poliżemy? No, istnieje, bo można ją zobaczyć. Spoglądanie na sznurówkę - też użytek. Pytanie więc nadal stoi: czy przed rzutem oka na sznurówkę ona istnieje? Zostawmy to, bo zgroza ogarnia...

Wróćmy do strony 69 Principiów... dalej, mowa o niestnieniu "okrągłego kwadratu" (the round square). Hm... w unormowanych współrzędnych biegunowych:

$[;0\le r\le 1; 0\le \frac{\theta}{2\pi}\le 1;]$

kwadrat jest okragły! Nie tylko taki jeden istnieje, każdy taki jest!

Krytyk powyższego wywodu może wskazać, że R & W chodziło o zwyczajowe, klasyczne postrzeganie kształtów geometrycznych. Niewątpliwie oni właśnie ten kontekst przyjęli, lecz zaniedbali zaznaczyć - może na zasadzie "każde dziecko wie, że kwadrat i okrąg to co innego".

Azaliż?

Bez uzupełnienia - bez kontekstu, bez podania przestrzeni form i znaczeń, wszystko jest niezupełne.... W przestrzeni biegunowej, na płaszczyźnie zespolonej - moduł/argument (amplitude/phase) -

$[;z=r\,e^{2\pi \theta};]$