M4 – wespół zespół

Uprzednio podkreślałem, iż liczba rzeczywista – to nie zwykły ciąg cyferek w zapisie dziesiętnym, lecz znacznie więcej. Ma swoją dynamikę i historię, swe przybrania i związki, swe role i obowiazki. Odbieramy liczby rzeczywiste również poprzez działania na nich i przeróżne interpretacje tych działań. Na przykład, gdy zwiążemy liczby rzeczywiste z punktami osi liczbowej, to dodawanie możemy odbierać jako przesuwanie na tej osi, zaś mnożenie danej liczby przez liczbę dodatnią – jako ściąganie lub rozciąganie.

Mnożenie przez -1 – „minus jeden” - wciąga nas już w pewne tajemnicze rewiry... Interpretacja geometryczna tego niby prostego przekształcenia - to odbicie osi w lusterku, umieszczonym w zerze. Lecz odbicie jest jak najbardziej realne, w odróżnieniu od odbicia lustrzanego, znanego nam na codzień. Wewnątrz tej osi owego odbicia przeprowadzić nie można – trzeba wyjść poza oś. Na płaszczyźnie jest to i fizyczne, i łatwe, bo zwykły obrót o 180 stopni wokół zera tego dokona.

Skoro dopuszczamy jeden obrót do klubu liczbowego, godnie i sprawiedliwie jest dopuścić wszystkie obroty. Stąd, poczynając od liczby dodatniej r, widzianej jako odcinek od zera do punktu r na osi, dorzucamy kąt obrotu o kąt θ. Pozostaje wymyśleć zgrabne oznaczenie, oddajace tę dwutaktowość. Rozciągamy 1 do r (r1 – jedynka jest wektorem, r - skalarem), następnie obracamy odcinek o kąt θ, zgodnie z obrotem Ziemi widzianym z bieguna północnego – przeciwinie do ruchu wskazówek zegara. Dla krótkości, ten „naturalny” kierunek obrotu będziemy nazywać kierunkiem dodatnim. Podczas obrotu punkt zakreśla łuk okręgu o promieniu r. Kąt zerowy – obrót zerowy: punkt pozostaje nieruchomy, wciąż na osi.

Oddając honor Leonardowi Eulerowi, możemy przez chwilę zapisywać tę parę działań jako „r E(θ)”. Innymi słowy, zespalamy dwa działania w jedno - jedno działanie kompleksowe, bo ma dwa w sobie. Można je dalej składać, nazywając składanie mnożeniem, choć mnożymy tylko promienie, za to kąty dodajemy:

r E(θ) ∙ r’ E(θ’) = r∙r’ E(θ + θ’).

Zauważamy, że 1=E(0), obrót o zero stopni, zaś -1= E(π), obrót o 180ᵒ lub o π...

Chwileczkę, przecież 1 można obrócić w kierunku ujemnym, albo nawet o półtora pełnego obrotu, albo więcej, czyż zatem również

E(-π)=E(3π)=E(-3π)=E(5π)=...= E(21 π) = -1?

Tak, również - ale czy to sprawia jakikolwiek kłopot?

Przypomnijmy, iż stare dobrze znane ułamki wprowadzać można „dynamicznie” – np. ½ jest rozwiązaniem zadania: „jak przejść z 0 do 1 w dwóch krokach”:

½ + ½ = 1

Podobnie: ¼ -„ jak przejść w czterech krokach?”, etc. Mając ten kwadrowy kroczek, można go powtarzać, np.

¾ = ¼ + ¼ + ¼ = 3∙¼.

Zauważmy też, że w zasadzie nie potrzebujemy innnych ułamków poza ½, bo ów można znów podzielić - i dalej, i dalej... otrzymane z kolei sumować... Ale przecież⅓ nie można otrzymać z potęg ½? Tak, nie można – jako skończonej kombinacji, ale jako nieskończoną – bez problemu. Przecież liczby rzeczywiste i tak trzeba aproksymować, więc niewiele kosztuje dorzucenie liczb wymiernych – poza skończonymi kombinacjami potęg ½ - do rodziny liczb aproksymowanych. Zapisujemy je ciągami 0-1, zaś liczby wymierne posiadają zapis okresowy, poczynając od pewnego miejsca, np.

⅓= 0.010101... = 0.(01)

Jak obrócić 1 do -1 w dwóch obrotach? Jasne:

π/2 + π/2 = π, czyli w eulerowskim zapisie: E(π/2)² = E(π/2) E(π/2) = E(π).

Ta połówka jest cegiełką budującą wszystkie obroty – przez powtarzanie połowień, następnie składanie, może granice. Zasługuje więc na specjalne oznaczenie, i na specjalne miano, oddające jej użyteczność i mądrość. Obrót o kąt prosty w kierunku dodatnim oznaczamy – jak każe tradycja – literką”i”, tzn.:

i = E(π/2)

Litera „i” – to pierwsza litera łacińskiego słowa „imaginare”, co znaczy „przedstawić, ukazać obraz”. To właśnie przed chwilą zrobiliśmy – wyobraziliśmy „i” jako realny i fizyczny,widzialny i namacalny obrót na płaszczyżnie. Niestety, przyjęto nazywać ów konkret „urojeniem”, stąd pokolenie za pokoleniem musi dołać się z „liczbą urojoną”.

Zwiążmy teraz te obroty z punktami, zapisanymi we współrzędnych kartezjańskich. Zatem E(0)↔(1,0), E(π)↔(-1,0), E(π/2)↔(0,1). Dalej, np., (1/2) E(π) ↔ (-1/2, 0), ... aż w końcu

r E(θ) ↔ (x,y) ↔ x+iy,

gdzie x²+y²=r², zaś θ jest kątem między półosią rozpiętą przez (0,0) i (1,0) (poziomą), a półosią rozpiętą przez (0,0) i punkt (x,y). Zmianę kierunku obrotu zaznaczamy zmianą znaku kąta, tak więc obrót o kat θ w kierunku ujemnym – zgodnym z ruchem wskazówek zegara, ale przeciwnym do kierunku obrotu Ziemi - widzimy następująco:

E(-θ) ↔ (x,-y) ↔ x-iy.

Czyż nie jest to odbicie symetryczne punktu (czyli liczby) (x,y) ↔ x+iy = z w osi poziomej? Tę specjalną symetrię nazywamy sprzężeniem, zaś liczbę z*=x-iy – nazywamy liczbą sprzężoną do x+iy. Zwyczajowo oznacza się je przez kreseczkę ponad z, ale trudno to w zwyczajnym tekście zrobić, niech już będzie gwiazdka, zwłaszcza że o tym sprzężeniu pisał Poeta:

Jeżeli nocną przybliżysz się dobą
I zwrócisz ku wodom lice,
Gwiazdy nad tobą i gwiazdy pod tobą,
I dwa obaczysz księżyce.

Teraz możemy swobodnie dodawać i mnożyć nasze liczby, sięgając po zapis kartezjański lub eulerowski, jak przyjemność lub pożytek radzi. Zamiast mówić „wiążemy” – mówimy „przyrównujemy”, zamiast podwójnej strzałki „↔” – piszemy znak równości „=”. Na przykład

E(θ) = (cos θ, sin θ) = cos θ + i sin θ.

Jeszcze jedno – symbol obrotu „E(θ)”, służący zobrazowaniu akcji, szybko zaczyna przeszkadzać i spowalniać rachunki, dlatego lepiej jest zastąpić go czymś bardziej wygodnym. Czym? Wyszczególniamy jedną własność składania (mnożenia) obrotów:

E(θ) E(θ’) = E(θ + θ’).

Gdyby to była funkcja rzeczywista, natychmiast znaleźlibyśmy przykład funkcji o powyższej własności. Byłaby to funkcja wykładnicza b^θ o pewnej podstawie dodatniej b. Sprowadzając podstawę do uniwersalnej podstawy e, b=e^c , funkcję zapisalibyśmy jako e^cθ. Tylko, czym miałoby być”c” w naszym przypadku?

Z drugiej strony, z odrobiną trygonometrii:

E(θ) * E(θ’) = (cos θ, sin θ) * (cos θ’, sin θ’) = (cos (θ+ θ’), sin (θ+ θ’))= E(θ + θ’).

Stąd rozsądnie jest przyjąć c=i – a później dodatkowe ważkie powody się znajdą dla właśnie takiego wyboru. Od tej pory będziemy nasz obrót zapisywać inaczej – tak, jak to dziś robią wszyscy:

eⁱ^θ = E(θ) = cos θ + i sin θ.

Pozostaje teraz ćwiczyć arytmetykę liczb zespolonych - czyli słupki. Dualność – przechodzenie od zapisu kartezjańskiego do eulerowskiego, i na odwrót – jest wielce pomocna. Możemy wybierać ten zapis, który sprawia się składniej. Naprzykład- dzielenie, zaczynając od najprostszego, odwrotności "z → 1/z". Odwrotność – to taka liczba w, iż w∙ z=1. Oczywiście, z nie może być zerem. Najpierw – po kartezjańsku. Zauważamy, że dla z=x+iy

z*z=x² + y²,

stąd

$[;\frac{1}{z}=\frac{z^*}{z^*z}=\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{y}{x^2+y^2}\, i ;]$

(w LaTeX z kreseczką nie ma problemu, ale skoro zaczęliśmy już gwiazdkować, niech tak zostanie). Teraz, po eulerowsku – niech odwrotność liczby z = re^iθ ma formę w = se^iα. Ma być:

s∙r =1 oraz θ + α = 0.

Zatem,

$[; \frac{1}{z} = \frac{1}{r} \,e^{-i\theta}. ;]$

Które podejście przyjemniejsze?

Tak czy siak – przekształcamy płaszczyznę. Proste przekształcenie, np. z → z* „widzimy” natychmiast jako symetrię –odbicie zwierciadlane w osi poziomej. „Zobaczyć” odwrotność z → 1/z jest trudniej. Fragmenty – łatwo, zwłaszcza w eulerowskim zapisie, osobno „r → 1/r” – nawet wykres hiperboli można narysować, osobno „θ → - θ”, czyli odwrócenie kierunku, odbicie.

By „zobaczyć naraz” przekształcenie dwuwymiarowej płaszczyzny w takąż dwuwymiarową, potrzebowalibyśmy cztero-wymiarowego widzenia. Jak widać, dorzucenie jednego wymiaru jest psu na budę, trzeba ów podwajać (nie tylko podwoić – bo to dopiero początek).

Niestety, z takimi oczami się nie rodzimy. Jednak, nie rodzimy się z umiejętnością pisania, czytania, nawet – chodzenia, albo jazdy na rowerze lub przyrządzania pierogów. Trzeba się tych umiejętności nauczyć, no – nie wszystkich, i nie wszyscy. Pierwsze koty za płoty, ale później następuje magiczny moment - przejście fazowe.

Wieczorem nie umieliśmy jeżdzić na rowerze, a rano – proszę bardzo, podziwiajcie. A w południe – nawet bez trzymanki.