Wyjaśniam tutaj, dlaczego sięgnąłem po angielskie tlumaczenie eseju Dedekinda “Stetigkeit und irrationale Zahlen” [1] – „Continuity and Irrational Numbers” [2]. Niemiecki oryginał ukazał się w 1872, angielskie tłumaczenie – w 1901, zaś Project Gutenberg udostępnił je w roku 2007.
Przekroje Dedekinda określają rozszerzenie liczb wymiernych, zawierające to, co odbieramy jako liczby rzeczywiste.
Bezpośrednim impulsem była dyskusja pod wpisem Arka [5], a w szczególności jedno pytanie komentatora ‘bjaba’, który chciał zobaczyć nieprzeliczalność konstrukcji. Zbiór liczb wymierny jest dobrze znany, wraz ze swą arytmetyką, porządkiem, i innymi własnościami. Umiemy dodawać i mnożyć liczby wymierne, potrafimy rozstrzygnąć, która z dwóch liczb wymiernych jest większa, i widzimy, że rozciagają się nieograniczenie w obie strony. Co więcej, li tylko jedna dowolna liczba wymierna p dokonuje przecięcia tego zbioru na dwie klasy. Dolna klasa zawiera liczby wymierne mniejsze od p, zaś górna klasa – liczby większe od p. Widać, że każda liczba wymierna z górnej klasy jest większa od dowolnej liczby wymiernej z dolnej klasy.
Stwierdzamy też dość elementarnie, że liczb wymiernych jakby brakuje. Np. nie ma wśród nich takich, które po podniesieniu do kwadratu dawałyby liczbę naturalną (z wyjątkiem, oczywiście, 1, 4, 9, 25,...).
Liczby wymierne można też przedstawić jako punkty na osi liczbowej, w szczególności odzwierciedlając ich porządek, zmieniając np. zdanie „liczba a jest mniejsza niż liczba b” na geometryczne „punkt A leży na lewo od punktu B”.
A do której klasy – dolnej czy górnej – ma należeć p? Inaczej – która półprosta, lewa czy prawa, ma zawierać punkt P?
I tu zaczyna się kontredans. Wikipedia [3] używa tłumaczenia na Gutenbergu jako źródła, Wolfram Mathematics [4] podaje m.in. słynną książkę Couranta i Robbinsa „Co to jest matematyka” (nawet strony, 71-72, w angielskim wydaniu), w końcu Ark [5] – wszyscy żądają, by owa dzieląca liczba p należała do klasy górnej.
No, nie wszyscy – sam Dedekind wcale tego nie żądał. Wręcz przeciwnie, napisał (np. na poczatku rozdziału 2, w punkcie iii, powtarzając wielokroć):
„the point p itself may be assigned at pleasure to the first or second class”
Dla pewności sprawdziłem w oryginale:
“Der Punct p selbst dann nach Belieben der ersten oder der zweiten Classe zugetheilt warden.”
Czyli: zaliczaj, do której klasy chcesz - gdzie wola, gdzie przyjemność...
Dwa pytania: po pierwsze - czy to ważne, po drugie – dlaczego tak? Być może, po trzecie – kto pierwszy „poprawił” Dedekinda, i znów - dlaczego wszyscy (?) powtarzają, jak za panią matką?
Pożądanie jednoznaczności jest pierwszym wyjaśnieniem. Ta „przyjemność” Dedekinda prowadzi do dwuznaczności – każda liczba wymierna miałaby dwa przekroje, w jednym byłaby największą w dolnej klasie, w drugim – najmniejszą w górnej. Jakże to tak, jak tak można!?
W dodatku, na wprowadzeniu przekrojów przecież sprawa się nie kończy. Zaiste - wprowadzić można w dwóch linijkach. Ale, znając cel - konstrukcję liczb rzeczywistych – trzeba przenieść operacje i relacje ze zbioru liczb wymiernych na nową kreację. Na przykład: dodawanie. Przy założeniu jednoznaczności (liczbie p każe się należeć do górnej klasy), wystarczy dodać dwie dolne klasy, powiedzmy A1 i B1, tzn., złączyć w zbiór wszystkie liczby a1+b1, odpowiednio, i już.
Dedekind, wychodząc z przekrojów (A1,A2) oraz (B1,B2), określa sumę (C1,C2), zaliczając do C1 liczby wymierne c, dla których istnieją liczby a1 w A1 i b1 w B1, takie że a1+b1 ≤ c, w przeciwnym razie c będzie należeć do C2. Sprawdźmy dodawanie 0+1. Wzorem Dedekinda, niech 0 będzie należeć do górnej klasy A2, zaś 1 – do dolnej B1. Oczywiście, nie ma liczb a1 i b1, by a1+b1 ≤ 1. Stąd, w wyniku otrzymujemy przekrój (C1,C2) z 1 jako elementem najmniejszym w C2, różny od wyjściowego przekroju (B1,B2). W skrócie:
[0 + 1] = [1
Czy to źle? A czemu miałoby być źle? Przecież niejednoznaczność zapisu jest wielką zaletą liczb wymiernych. To prawda - czasem chcemy, by przedstawiający je stosunek p=m/n, czyli para liczb całkowitych (m,n), gdzie n jest różne od 0, był unikatowy – wtedy wybieramy liczby bez wspólnego czynnika różnego od 1, nieskracalne. Jednak spróbujmy dokonywac operacji arytmetycznych – choćby dodawania – trzymając się kurczowo tej jednoznaczności. Musimy „sprowadzić do wspólnego mianownika”, czyli posłużyć się niejednoznacznością. Podobnie – przy porównywaniu liczb wymiernych.
Inne operacje – na przykład zwykłe mnożenie przez -1, przy dedekindowej szczodrości dokonuje się bezboleśnie, i z miłym lusterkiem jako geometryczną interpretacją:
-(A,B)=(-B,-A)
To, że elementy najmniejsze lub największe zamieniają się rolami, wg. Dedekinda niczemu nie przeszkadza. A komu przeszkadza?
Zatem, mamy zbiór wymiernych, mamy jego cięcia – dolne i górne, zaś cięcia z najmniejszym lub największym elementem – to właśnie liczby wymierne. A są i też cięcia bez elementów krańcowych. Niemniej, dolna klasa jest ograniczona z góry, a górna – z dołu.
‘Bjab’ u Arka zapytał, wiele wszystkich przekrojów; jak zobaczyć prosto, że nieprzeliczalnie wiele – to znaczy, istotnie więcej niż samych liczb wymiernych. Liczby wymierne można ustawić w ciąg; czy można w ciąg ustawić przekroje?
Zróbmy tak: tym razem – jeżeli mamy element ekstremalny, zaliczamy go do klasy górnej jako najmniejszy. Dalej, w danej dolnej klasie A znajdujemy największą liczbę całkowitą n; zatem następna liczba całkowita pojawi się już w górnej klasie B. Następnie delikatnie próbujemy, przepoławiając kolejne kroki, czy jeszcze jesteśmy w klasie A,czy już w B.
Do dzieła:
-- Czy x=n+1/2 jeszcze w A? Jeżeli tak, zamieniamy x na x+1/2. Jezeli nie, zostawiamy. Zapisujemy na boku – odpowiednio: 1 lub 0.
-- I znów: czy x+1/4 jeszcze w A? Podobnie, zmieniamy x na x+1/4, jeżeli tak (zapisujemy w notesie „1”), zostawiamy x, gdy już nie (zapisując „0”).
-- Potem idziemy kroczkiem 1/8, potem 1/16, itd.
W wyniku tego kroczenia otrzymujemy jednoznaczny zapis przekroju: (n;d1,d2,d3,...), gdzie po n następują zera lub jedynki tak, jak nam wyszło. Zatem, przekrojów jest co najmniej tyle, ile takich ciągów, a jest ich nieprzeliczalnie wiele.
Przy okazji i bez bólu wprowadziliśmy zapis dwójkowy dowolnej liczby rzeczywistej. Tak, liczbę rzeczywistą identyfikujemy z przekrojem, a potem już wręcz mówimy, iż ona jest przekrojem. Ale nie przekrojem zbioru liczb rzeczywistych, tylko przekrojem przejrzyście (liniowo) uporządkowanego zbioru liczb wymiernych.
Ponieważ posłużyliśmy się przekrojami dolnymi bez elementu największego, liczby wymierne posiadać będą zapis nieskończony, np. 2 ↔ (1;1,1,1,...). Za chwilę już będziemy pisać 2=(1;1,1,1,..), lub wręcz 2=1.111...
Podsumowując:
- tnąc liczby wymierne na dwie klasy, dolną i górną,
- widząc jak te klasy z drobną usuwalną dwuznacznością określają same liczby wymierne,
- następnie przenosząc w sposób naturalny operacje i relacje;
- dalej - widząc ich mnogość przekraczającą mnogość liczb wymiernych –
otrzymujemy bogactwo obiektów, którymi możemy operować jak liczbami wymiernymi, nawet w znacznie większym zakresie.
Zwiemy je liczbami rzeczywistymi, a potem mówimy już, że to są liczby rzeczywiste. Obcując z nimi, przyzwyczajamy się do nich, nawet niektóre możemy szczególnie polubić. Zakochać się? To już sprawa osobista...
Inne tematy w dziale Technologie
