o nieskończoności od niechcenia (trzy)

Dziś - ciąg dalszy dwóch poprzednich odcinków. W pierwszym - mowa była o skończoności, iż nawet ją niełatwo zrozumieć, choć do nieskończoności jeszcze daleko. W drugim - upraszczanie zamiast straszenia.

Dla przypomnienia - zaczynamy od zbioru liczb naturalnych N = {1, 2, 3,...}, nazywając skończonymi jego podzbiory posiadające liczbę największą. Dalej, dowolny zbiór nazywamy skończonym, gdy jest równoliczny ze skończonym podzbiorem N. I jeszcze dalej -  zbiór nazywamy nieskończonym, gdy nie jest skończony.

I to wszystko - niemal masło maślane, prawie trywiał?

Tak!

I jeszcze odzieranie "nieskończoności" z czaru i misterii? 

Również tak (na dodawanie czaru i misterii trzeba poczekać).

Nawiasem mówiąc, do tej pory słowo "nieskończoność" - jako "stan bycia nieskończonym" - nie padło, bo w istocie to pojęcie jest dziwaczne i zbędne, chyba że termin zostanie użyty jako skrót myślowy, metafora lub idiom. Przecież nie wszystkie cechy wymagają aż takiej pompy - nie mówimy zbyt często "niezieloność", "niegłodność", "niebłahość", "niemiłość"... bo i po co?

Ale przecież jest tyle rodzajów nieskończoności?!

No tak, ale podobnie mamy wiele rodzajów niezieloności; długo by wymieniać...

A Zenon z Elei - czy nie trzeba od jego paradoksów zacząć? Przecież wszystkie pogadanki i wszystkie podręczniki od tego zaczynają - o tym jak się Achilles uganiał za żółwiem i nie mógł go dogonić, bo nie rozumiał nieskończoności?

To prawda, że wiele pogadanek i wiele podręczników ma za swój psi obowiązek Zenona wtrynić, ale nie wszystkie. To dydaktyczny trick - by zachęcić i rozpalić umysł, bo ów podobno trzeba rozpalać, zamiast go napełniać. Rozpalić ogień - trudno, ale podtrzymywać - jeszcze trudniej. Koszyk musi stać obok napełniony paliwem, wciąż i wciąż uzupełnianym. Więc, coś trzeba napełniać, tak czy siak - umysł lub koszyk.

A nie można obu?

Można, nawet trzeba - choć ta maksyma tego zabrania.

A czy maksymy są obowiązkowe?

Nie są.

A granica - gdy ciąg zmierza do granicy by w nieskończoności ją osiagnąć?

Nie, w żadnej nieskończoności nic nie osiąga - znowu, to tylko taka gadka-szmatka, podobnie jak powiedzenie 80-letniej babci, że jej się scyzoryk w kieszeni otwiera, gdy oglada telewizję.

Ale nieskończoność przecież potrzebna, by granicę zdefiniować, czego Zenon nie umiał?

Nie, wcale niepotrzebna, skończoność wystarczy - i Zenon mógł był sam na to wpaść, gdyby nie zachwycała go konfuzja słuchaczy.

Jak to?

To tak jak gra, jak strzelanie bramki w sytuacji sam na sam z bramkarzem - ty w lewo, on w lewo, ty w prawo, on  w prawo, i tak aż do gola.

Więc, taki ciąg 1, 1/2, 1/3, 1/4,... nie staje się w nieskończoności zerem? Przecież zero jest granicą!

Jest - dlatego, że w każde jego otoczenie zawiera prawie wszystkie elementy tego ciągu, "prawie" - to znaczy wszystkie prócz skończonej ich liczby.

A takie malutkie otoczenie, tak do jednej milionowej?

Zawiera ono wszystkie prócz miliona elementów - skończenie wiele.

A jednej bilionowej?

Prócz biliona - i przestań nudzić, przeciez już chyba widzisz, jak to pracuje.

I tak jest z każdym ciągiem, który ma granicę?

Dokładnie tak, nie inaczej.

Ale to nudne!

Nudne - owszem, na początku. Za to łatwe, i bez katowania się ani upajania nieskończonością.

Więc słowo "nieskończoność" jest nieprzyzwoite i zakazane?

Nie, ale trzeba do niego - do niej - dorosnąć, tak jak do seksu.