ni paradoksu, ni spisku

Lubię niekiedy wracać z pracy dłuższą drogą, przebiegającą wpodle niedużego jeziora. Jeziorko od drogi publicznej oddziela droga żwirowa i symboliczny płot z grubo ciosanych desek, pomalowanych na biało. Na żwirowej drodze często siedzi stado gęsi.

Co zadziwia - gęsi nie pływają, może co najwyżej kilka leniwie kołysze się na wodzie, nie skubią trawy na brzegu, tylko tak sobie w stadku na drodze siedzą, niektóre stoją. Jeziorko jest mniej więcej okragłe, i gęsi mogłyby wybrać dowolny punkt brzegu, niby z tym samym prawdopodobieństwem. Jednak, wybierają miejsce bliskie drodze publicznej. Dlaczego?

Nieodzownie nasuwa się podejrzenie - gęsi konspirują w celu obserwowania ruchu na tej drodze. Może zliczają przejeżdżające samochody, odnotowują tablice rejestracyjne, bo te zdradzają skąd samochody trafiły na tę drogę? Może w innym celu, niecniejszym nawet? Może to nie Gęsi, ale Aliens przebrani za Gęsi? Tak, to ma duży sens!

Ha, tak pewnie było - przybysze z Kosmosu próbowali stosować znaną technikę Body Snatchers (nie, nie "Porywaczy Ciał", jak to gorliwi tłumacze tłumaczą - wszak ciała zostają na miejscu). Niestety, coś im źle kliknęło - zasiedlili ciała gęsi i teraz mają za swoje, i dlatego siedzą niby bez sensu przy drodze, a tak naprawdę - rozpaczliwie wołają ratunku. Nie, nie gęgają (co świadczy za hipotezą - zasiedlić gęsi ciało to za mało, trzeba by nim nauczyć się gęgać).

Podobnie, różne media od czasu do czasu zalewają nas rewelacjami o różnych spiskach. Zazwyczaj pojawiają się one w pęczkach (co też sugeruje... spisek!). Ot, na salonie, zawsze niezawodny Ark, oplata różne przedziwne historie wokół liczby 666, własnoręcznie i z chętną pomocą komentatorów, kaminskeinen opowiada a spisku producentów szamponów i mydeł, chytrze powodujących alergie i łupieże przez włączanie zabójczych chemikalii w środki czystości. Przerażeni czytelnicy reagują paniką, wywalajac precz zapasy szamponu i wzbogacając ekologiczne firmy obfitymi zamówieniami. Eine zaś - po raz któryś opowiada o spisku minister Hall, wcielanym w życie w celu ogłupienia polskiej młodzieży i zamienienia narodu polskiego w niewolników. Czytelnicy innych blogów zapewne dostarczą daleko więcej różnorakich przykładów.

U KAP'a zaś - rzecz o zmowie producentów AGD, czy elektroniki lub samochodów. Podobno ONI specjalnie się starają, by te rzeczy, na które wydajemy ogromne pieniądze, psuły się szybko - i to natychmiast po upływie gwarancji.

Koniec części humanistycznej.
**********************************************
Starając się wciąż humanistycznie...

Nawet w idealistycznym modelu niezawodności, gdy czasy życia są wykładnicze, zas składowe - niezależne, zgodnie ze zdrowym rozsądkiem, i popartym rachunkiem, im więcej składowych, tym większe p-o zepsucia. Czas życia T ma rozkład eksponencjalny (po polsku: wykładniczy), gdy tzw. niezawodność (funkcja niezawodności, ang. survival function) - prawdopodobieństwo przeżycia poza moment t - dana jest wzorem

Współczynnik λ ma samowyjaśniającą się nazwę: intensywność. Zauważamy, że średnia długość życia, wartość oczekiwana zmiennej T, wynosi

Stąd, im większa intensywność - tym krótszy spodziewany czas życia, im mniejsza - tym dłuższy.

Jako drobne ćwiczenie polecam sprawdzenie, iż gdy mamy do czynienia z systemem o dwóch niezależnych komponentach, o wykładniczych czasach życia T₁ i T₂, o intensywnościach λ₁ i λ₂, wtedy czas życia tego systemu, minimum obu czasów - system pada, gdy jeden z elementów pada - ma również wykładniczą niezawodność o zwiększonej intensywności λ₁ +λ₂.

Wraz ze wzrostem liczby identycznych, niezależnych składników, intensywność wzrasta liniowo, proporcjonalnie do tej liczby, zaś średni czas przeżycia maleje odwrotnie proporcjonalnie do niej. Gdy elementy są powiązane, zależne od siebie, wtedy nagłe wysiadanie całej serii komponentów - "cluster effect" - nie powinno dziwić.

Zazwyczaj prawo narzuca pewne okresy gwarancji dla danego urządzenia. W wielu krajach istnieje tzw. "grace period", powiedzmy miesiąc, gdy można oddać produkt, "no questions asked". Często producenci oferują standardowy rok gwarancji na AGD, elektronikę, samochody, etc. Gdyby tych narzuconych ograniczeń nie było, wtedy czas życia T danego ustrojstwa podlegałby raczej naturalnemu rozkładowi wykładniczemu. Przy tych ograniczeniach, pierwszym celem producenta jest zminimalizowanie szansy zepsucia w okresie gwarancji. Wiadomo dlaczego, ale przecież to normalny rachunek optymalizujący, żaden spisek.

Rozważmy prosty model, oparty na prostym pomyśle użycia zwykłej potęgi. Ma ona odmienny efekt dla uprzednich małych lub większych wartości. Na przykład, dwójka - czyli wzięcie kwadratu - pomniejsza liczby ułamkowe, zaś powiększa liczby większe od 1. Z kolei połówka - czyli wzięcie pierwiastka kwadratowego - ma efekt odwrotny.

Weźmy więc nowy czas życia obiektu W=T^κ, potęga - tutaj większa od 1, i zobaczmy jak zmienił się rozkład. Obrazek, wzięty z wikipedii (klik), pokazuje p-o zepsucia przed czasem t, P(W < t). W tym przypadku - to zielona linia. Jest ona bardzo przesadzona, bo owa potęga κ jest wysoka. Zauważmy ten sam efekt, ale słabszy, w różowej linii, gdzie κ=1.5.

W tym ujęciu, im funkcja mniejsza, tym lepiej (dla konsumenta) - najlepiej, gdy czyste 0, bo przeciez to prawdopodobieństwo zepsucia. Ale nie ma tak dobrze, zawsze jest coś za coś - prawdopodobienstwo zepsucia maleje drastycznie dla krótkich okresów, lecz również dramatycznie rośnie dla długich.

Ta sama informacja, lecz inaczej wyświetlona - z pomoca gęstości rozkładu -pojawia się na rysunku z prawej (z tego samego artykułu wikipedii). Pewne efekty są  lepiej widoczne - model ten zwiększa udział "średniaków". Grupują się one liczniej wokół pewnej wartości średniej, zaś ogony - bardzo krótkie i bardzo długie życia - są przypadkami marginesowymi.

Ten sam model, ale z potęgą κ mniejszą od 1, obejmie stare, dawne produkty. Psują się one bardziej, gdy sa nowe. Mówiono o samochodach, że były "na dotarciu"; potem, już "dotarte", psuły się rzadziej - co ukazuje niebieska linia na obrazku (klik). Innymi słowy, na poczatku wiele produktów padło ale te, co przetrwały, trwały dłużej. To właśnie mówi tłusty - w porównaniu z zielonym lub różowym - niebieski ogon z prawej. Przewaga niebieskiego nad różowym dopiero co się zaczęła, urwała ją ramka rysunku.

Czerwona linia - to sytuacja "idealna", "pomiędzy" tymi dwoma ekstremami - przypadek, od którego zaczęliśmy.

Po kliknięciu na choć który obrazek, przeniesiemy się  do wikipedii i zobaczymy różne formuły poniżej tamtejszego obrazka. Zwróćmy uwagę na "mean", średni czas życia. Nieważne, czy znamy funkcję Gamma, wystarczy wiedzieć, że jest ona rosnąca, gdy jej argument przekracza  1.46. Ponieważ jednak zależy ona od odwrotności κ (wymawiaj: odwrotności KAP'a), stąd - im większe κ - tym krótszy czas życia,  i na odwrót, mniejsza κ - dłuższe życie (ale tylko wtedy, gdy κ < 2.17=1/0.46)

W/w rozkład Weibulla (potęga zmiennej eksponencjalnej) - wciąż jest zbyt idealny, lecz możliwe sa jego dalsze usprawnienia, z ciekawymi punktami przegięcia, ale to już wyższa szkoła jazdy. 

W każdym razie, nici ze spisku, ot - normalka. Dokładniej - weibullka.