Tak, o Niej na Salonie często można poczytać, zwłaszcza w dziale Nauka - co To jest, czym się To je, jak się na Tym operuje, jak się do TEGO dobrać, jak To zamącić...
To, Tym, Tego - ta Rzecz, Nieskończoność...
A czemu nikt się Skończonością nie zajmuje; przecież musi być jej smutno - być traktowaną niby troll jaki?
Nawet wikipedia odmawia jej samoistności - "Finite is the opposite of infinite." Co prawda, kieruje dalej do pojęcia "finite set", czyli zbioru skończonego, lecz wyjaśnia koliście - "a finite set is a set that has a finite number of elements"...
To angielska wiki. Może polska lepiej? Czytamy:
"Zbiór skończony − w matematyce zbiór o skończonej liczbie elementów lub dokładniej: zbiór skończonej mocy, tzn. mocy mniejszej od pierwszej nieskończonej liczby kardynalnej ℵ0 (w tym zbiór pusty)."
Mentniej i mondrzej (ach - alef-zero!) - lecz w tym samym duchu: by rozumieć skończoność, najpierw trzeba poznać i pojąć nieskończoność. Dalej, polska wiki smutno pisze słowami turpistycznego poety:
"W życiu można spotkać wyłącznie zbiory skończone, choć mogą być one bardzo duże − przykładem może być np. liczba możliwych do zaobserwowania atomów we wszechświecie, którą szacuje się na ok. 1080"
Wot, żyzń.
Lecz nie spieszmy się, by lekceważyć zbiory skończone. Albowiem, skąd wiemy, że dany zbiór jest skończony - np. ziaren piasku na plaży, mrówek, lub letnich liści w Puszczy Białowieskiej? Skoro liczba atomów we wszechświecie jest skończona, a mrówki zrobione są z atomów, choć mrówczych, a podzbiór zbioru skończonego musi być skończony... no, niby tak - niby jest ich skończenie wiele. Ale jakoś nie uchodzi wnioskować o skończoności populacji mrówek, zaprzęgajac Wszechświat do takich trywiałów - to gorzej niż strzelanie z armaty do muchy. Przy tym - skąd ci, oni tam, wiedzą o skończonej liczbie atomów we Wszechświecie? Zakładają, ot co. Zatem, musi być jakiś sposób, by się doświadczalnie przekonać o skończoności tak naocznego zbioru, jakim jest zbiór mrówek w jednym lesie.
Z czego skorzystamy, z wiki angielskiej, czy polskiej? Z polskiej, jednak, mimo wszystko? No, niech będzie.
Mamy zatem w wiki-pliki definicję naturalną:
"Zbiór skończony to zbiór równoliczny z właściwym podzbiorem liczb naturalnych, tzn. zbiór, dla którego istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna tego zbioru ze zbiorem liczb naturalnych {1, 2, ..., n} dla pewnego n."
Czyli, tłumacząc na język bardziej naturalny - jak się uda mrówki policzyć, i wyjdzie n jakieś - to znaczy, że mamy skończenie wiele białowieskich mrówek. Więc, do dzieła! Nikt nie chce? Dlaczego - bo się nie da policzyć? Ano - niby się da, ale faktycznie nie da się. Jeszcze przy liczeniu można zostać pokłutym przez jeżyny, osy lub szerszenie, pożartym przez niedźwiedzie lub wilki. Zatem, definicja naturalna jest do kitu. Podobnie z liśćmi i ziarenkami piasku.
Może inna? Przyciąga oko definicja Tarskiego:
"Zbiór jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy każda niepusta rodzina jego podzbiorów ma element maksymalny ze względu na relację inkluzji."
Hę?
Powoli... zrozummy! Wybieramy więc zbiorki mrówek, myślimy mentalnie, iż te zbiorki tworzą zbiór większy, zwany tu rodziną. Czy w zbiorkach mogą się mrówki powtarzać? Czemu nie? Dla przykładu, ponumerujmy kilka mrówek - M1, M2, M3... Jeden zbiorek - to {M1, M3}, inny - {M1, M2}, jeszcze inny - {M1, M2, M3}. Oba należą do przykładowej rodziny (akurat tak wypadło, mogło wypaść inaczej). Zupełnie jak w życiu!
Tarski mówi, iż trzeba być pewnym, iż któryś z tych zbiorków mrówek nie ma większego zbiorku, ów zawierajacego. Który? No, na pewno nie jest to {M1, M2} ani {M1, M3} - bo większym od obu jest {M1, M2, M3}. Może ten właśnie? Trzeba zrobić przegląd naszych zbiorków, jak nie znajdziemy większego, znaczy już - mrówek jest skończenie wiele? Nie tak prędko, bo mamy tylko jedną rodzinę, jeden system tworzenia zbiorków. Trzeba by rozważyć wszelkie możliwe sposoby zbierania zbiorków i tworzenia z nich rodziny.
No, jak już wiemy, że mrówek jest n, skończonie wiele, to tych zbiorków jest N=2n, zaś rodzin....N=2N. Inaczej, gdy zaczniemy od n=10 mrówek, możliwych zbiorów będzie N=210=1024, zaś rodzin - N = 21024. Ponieważ 24 ≥ 10, zatem N = (24)256 ≥ 10256 ≥ (1080)3. Tak więc, by sprostać definicji Tarskiego - by udowodnić, iż zbiór 10 mrówek jest skończony - należałoby zbadać sporą liczbę rodzin tych mrówek względem posiadania maksymalnego podzbioru, zaś ta liczba - przy powyższych bardzo grubych szacowaniach - grubo, oj grubo, przewyższa sześcian liczby atomów we wszechświecie (też oszacowaną). To już lepiej liczyć mrówki, furda szerszenie i niedżwiedzie!
Mówią, że Tarski cieszył się wielkim powodzeniem u kobiet... No, kto potrafi wymyśleć taką definicję - niewątpliwie oszołomi niejedną kobietę!
Czujemy się już zmęczeni, prawda? Więc darujemy dalsze definicje - na przykład, iż każda injekcja w zbiorze białowieskich mrówek jest surjekcją, lub też - że mrówki białowieskie nie mają injekcji w siebie, która by wykluczała choć jedną mrówkę. Wykluczone mrówki nawet nie mają ministra, co by się troskał o nie.
Może, rzeczywiście - ta nieskończoność jest znacznie prostsza do pojęcia?
Nawet dziecko - dopiero uczące się liczyć - odkrywa z mniejszym lub większym zdziwieniem, wcześniej czy później, że liczba liczb nie jest skończona. A może czeka, aż mu to starsi powiedzą?
"Mamo, tato - czy pętylion jest największą liczbą?"
"Nie, kochanie - pętylion plus jeden jest liczbą większą od pętyliona".
"To może pętylion plus jeden jest największą?"
"Nie, kochanie, bo pętylion plus jeden plus jeden jest jeszcze większą".
I tu, rodzice czekają z trwogą, czy pytanie zostanie powtórzone po raz trzeci, czy dziecko zawoła "Aha!"
Jeden morał, niezamierzony - gdy mowa o nieskończoności, zwłaszcza gdy dziecko podrośnie i wejdzie w dojrzałość, to dobrze jest blisko mieć kogoś drugiego. "Do tanga trzeba dwojga" (popularne cliche), oraz "Nie rób samemu, co można we dwoje, takie są rady i zasady moje" (Sztaudynger).
Inne tematy w dziale Technologie
