O fantomach biegunowych

Zachęcony zachętami czytelników, postanowiłem napisać nieduży manualik jakiejś czynności matematycznej.

Ostatnio próbowałem napisać równanie dwój-zegara u arka na blogu, i to we współrzędnych biegunowych, i myliłem się wielokroć, gdyż wychodziły mi - a to lemniskata, a to kardioida, a nawet czteropłatkowa róża, z grubsza tylko podobne do dwój-zegara (zaś róża - wcale niepodobna).

Stąd - może o kreśleniu we współrzędnych biegunowych, a choćby rozpoznawaniu, co róża, a co tylko ósemka? I jak obyć się bez wzorów? Jak rozumiem, wzory działają odstraszająco. Każdy by wolał bez. Bez ładnie pachnie. Wzory nie pachną.

Przygotowałem więc taki manual, ołówkiem na papierze, ale zanim dokądś doszedłem, już miałem jakie trzy tuziny rysuneczków. Każdy nieduży, rysowany ręcznie zajmuje kilka sekund, ale komputerowo, wszystkie razem - tydzień. I to jeszcze - bez interakcji, bez pytań (na każde pytanie nowy rysunek, nawet kilka).

I te fantomy... te rzeczy, których nie ma, ale są - bo jednak grają ważną rolę, i bez uwzględniania ich - nic nie wychodzi.

Do rzeczy, więc. Mamy punkt na płaszczyźnie, zwany dalej biegunem (bez obawy, wbrew nazwie, stoi w miejscu, dajmy mu imię - 'O'). Mamy pół-oś od tego punktu poprowadzoną, zwaną - jakże inaczej - osią biegunową. Każdy punkt na płaszczyźnie jest jednoznacznie opisany przez odległość r od tego punktu oraz kąt θ między osią biegunową a półprostą przechodzącą przez biegun ) i ten punkt. Kąt jest skierowany - dodatni, tzn. przeciw biegowi wskazówek zegara (krótko, bez zwracania głowy, po angielsku - counterclockwise, lub ładnie po szkocku - widdershins), stąd ma wartość między 0 a 2π (czyli 360°, ale stopni nie używamy).

Uff! Rysunek starczył by za te tabuny słów!

Porządny kąt nawet nie dochodzi do 2π. Ani też nie zmienia kierunku - znaku. Albowiem - wtedy staje się fantomem. .Podobnie - nie ma ujemnej odległości od bieguna. Bo cóż to za punkt (r,θ) = (-1,-π/4)? Fantom, miraż? Ale popatrzmy - kąt -π/4 leży w czwartej ćwiartce. Licząc od osi - byłby to kąt 2π -π/4 = 7π/4. Umówmy się - ujemnej odległości odpowiada dodatnia odległość w ćwiartce symetrycznej względem bieguna, czyli w ćwiartce II-ej. Zatem, fantom (-1,-π/4) - to NAPRAWDĘ (1, 3π/4).

Proszę narysować - punkt na przekątnej drugiej ćwiartki w odległości 1 od bieguna.

Innymi słowy, każdy punktowy fantom jest avatarem realnego punktu. By juz bardziej nie komplikować, rozważmy równanie r = 2cos(2θ).

Poprośmy jaki porządny program (taki nie uznaje fantomów) o wykreślenie. Jak wiadomo, kosinus przyjmuje czasem (kiedy?) wartości ujemne, wtedy ów program po prostu je ignoruje, albowiem nie bedziesz miał (miała) ujemnych promieni. Lecz wiemy, iż te ujemne promienie odpowiadają fantomom, które z kolei są prawdziwie widzialne. Ale ich nie widać. Więc, gdzie są?

By zobaczyć - trzeba program oszukać. Każemy mu dorysować r = -2cos(2θ). I nagle - drogą oszustwa, ale przecie uczciwego - pojawiają się pozostałe dwa płatki róży.

Tylko - jakby kwadracik pośrodku... Ale ten kwadracik - to też fantom. Ale innego, odwrotnego rodzaju - jego nie ma. Poprzedniego nie było, ale był, a ten jest, ale go nie ma.

Tak, czytelniku i czytelniczko - zgadliście, to fantom wynikający z marnej rozdzielczości. Żaden problem więc - zwiększmy rozdzielczość, i fantom znika.

Uważasz, czytelniku lub czytelniczko, że prawdziwa róża ma więcej płatków niż cztery? Żaden problem, zastąp dwójkę (tylko którą z dwóch dwójek?) przez liczbę większą. Parzystą czy nieparzystą? - oto zadanie domowe.

Kiedy róża staje się stokrotką?

A jak otrzymać równanie hibiskusa? (nie pytam czy można, tylko pytam - "jak?"!!).

Och, jak hibiskusisz!

23 czerwca.

Idąc za radą KAP'a, zamieszczam brudnopis - ręczne notatki, trochę oszukanie, bo nie są oryginalnymi, lecz drugiej świeżości. Oryginały - w ołówku, pokreślone i chaotyczne - wyszłyby fatalne. Wciąż chaos i pokreślenia, trzeba by dni lub tygodni by toto wycyzelować... nie mówiąc już o wzniesieniu na wyższy stopień rozwoju - grafikumikowania komputerowego.

KAP się podśmiewa z tego... i SŁUSZNIE!