W komentarzu Andrzej Dąbrówka opowiedział następująca historyjkę
Pewnego niepokornego profesora archeologii władze chciały utrącić i nasłały na niego kontrolę. Kontroler w Magazynie Skorupek Archeologicznych Do Niczego Nie Pasujących przeprowadził spis z natury i wyszło mu, że jest 876 skorupek, a powinno być według inwentarza 877. Profesor zasępił się, wziął jedną skorupkę, przełamał na pół i spytał: A teraz się zgadza?
I kto powiedział, że o matematyce nie da się mówić bez używania straszliwych wzorów? Jednak, by wyjaśnić jaka matematyka kryje się za powiastką o skorupkach, trudno obyć się choć bez oznaczeń (a i wzory się pojawią - ostrzegam).
Proces stochastyczny, to - z grubsza - kolekcja zmiennych losowych. Np., niech X(t) oznacza populację kolonii (ludzi, bakterii,..., skorupek) w momencie t. Wiadomo, że ta się zmienia, raz rośnie, raz maleje. Jak się zmienia i dlaczego - dokładnie nie wiadomo. Stąd, w każdym momencie t, X(t) jest wartością losową. Jasne teraz, dlaczego zwie się "zmienną losową".
Popularnym modelem tej populistycznej sytuacji jest proces narodzin i śmierci (ang. birth-death process). W danym momencie, do populacji przybywa lub z niej ubywa jeden osobnik (człowiek, bakteria, skorupka), i proces trwa dalej na tej samej zasadzie, jakby zaczynając się od nowa, bez pamięci o historii poza tym ostatnim momentem zmiany. Czas oczekiwania T na następny skok - czy o jeden w górę, czy o jednostkę w dół - również cierpi na brak pamięci. To znaczy, jeżeli skoku nie było np. przez 5 dni (minut, godzin, lat), to szanse na skok ani się nie zmniejszają, ani nie zwiększają.
Istnieje dokładnie jeden ciągły rozkład prawdopodobieństwa o tej własności - zwie się ów rozkładem wykładniczym, i różnorodność zależy tylko od intensywności. Intesywność jest liczbowym parametrem - ulubioną nań literką jest grecka λ: im większa λ, tym większa intensywność, odwrotnie ze spodziewanym czasem oczekiwania. Inaczej i krótko, bez pleplania - po to są wzory! - można zapisać:
P(T>t)=e-λt, wartość oczekiwana T wynosi 1/λ.
Owa intensywność może zależeć od aktualnej liczności populacji; zatem, gdy osobników (ludzi, bakterii, skorupek) jest n, a nawet dla dwóch zjawisk - przybytku lub ubytku - intensywność może być różna, stąd - powiedzmy - λn dla narodzin, μn dla śmierci. Tak więc proces błądzi sobie po liczbach naturalnych według diagramu
(mówią, że obrazek jest wart tysiąca słów, czy to prawda?): 
Nazewnictwo jest wielce pompatyczne i przesadne, jeżeli wręcz nie przerażające. Np., gdy ktoś wyprowadził się z miasta do innego lub na wieś lub pojechał na saksy do Londynu - skutkiem czego nastąpił ubytek w liczbie mieszkańców, a model posługuje się słowem "śmierć"!
Takich historycznie wkutych dziwacznych nazw jest więcej w teorii prawdopodobieństwa. Np., w procesie Bernoulliego, gdy kolejno i niezależnie pojawiają się dwa możliwe losowe wyniki, często mówi się o "sukcesach" i porażkach". I, na przykład, gdy testuje się występowanie jakiejś choroby, to nazywanie "sukcesem" stwierdzenie obecności bakcyla jest odstręczające! Lepiej by mówić o neutralnych emocjonalnie zerach i jedynkach, ale dla wielu odbiorców ciągi zero-jedynkowe wyglądałyby z kolei odstraszająco!
Skrót BDP - "birth-death process", "proces narodzin i śmierci" - zatem może pomóc wygasić te lingwistyczne skojarzenia... Dlatego skorupki są lepszą ilustracją BDP, choć i tu niejednemu brwi się uniosą, gdy zinterpretuje przełamanie skorupki jako narodziny nowej, zaś zniknięcie jakiejś z inwentarza jako śmierć skorupki.
Szczególnym przypadkiem BDP jest proces Yule'a - gdy skorupka nigdy nie znika, co najwyżej się przełamie. Jest to czysty proces narodzin. Zakłada się też, że szanse na przełamanie każdej skorupki w kolekcji są takie same. Stąd, jeżeli intensywność czasu oczekiwania na przełamanie ("narodziny") oznaczona jest przez λ, to intensywność narodzin (przełamania) którejś ze skorupek, gdy jest ich n sztuk, wyniesie λn=λn. 
Stąd, nie ma sprawiedliwości w świecie kolekcjonerów skorupek. Im większa kolekcja, tym bardziej się namnaża - bogaci się coraz bardziej bogacą, zaś biednym, nawet gdy im przybywa, przybywa im biednie. Tak, niestety - the rich get richer...
Jedyna pociecha w tym, iż bogatym powiększanie się bogatej kolekcji sprawia coraz mniejszą przyjemność, zaś biednych nawet niewielki wzrost cieszy. Powyższe wykresy bez litości pokazują to wklęśnianie przyjemności z bogacenia się.
Wzory widnieją za obrazkiem, a skąd się biorą - wyjaśnia w szczegółach (i podaje ich daleko więcej) 40-stronicowa pracka (str. 3).
Inne tematy w dziale Technologie
