Skąd się wzięło π?

No, skąd? - uparcie pyta Margo, nie dając się zbyć piosenkami ani bonmotami. Z Kosmosu?

Nie wiem, czy Wiedźma pyta, czy pi istniało zanim człowiek stał się człowiekiem  - na przykład, czy pi już było, gdy dinozaury zaludniały ziemię. Czy pyta, kiedy człowiek odkrył pi? Pierwsze pytanie jest dla filozofów specyficznego rodzaju  - tych, którzy się zastanawiają, czy świat dalej istnieje, gdy człowiek idzie spać.  Zostawiam więc je na boku.

Drugie pytanie... od któregoś momentu człowiek zaczął mieć do czynienia z okręgami, kółkami. W koło się kapłani czy kapłanki ustawiali wokół świętego obiektu, kołem opisywali niebo, zakreślali okrąg by wykopać studnię. Niewykluczone, że koło odkryto równoczesnie z cyrklem - narzędziem do jego wykreślania. Czy to były trzy patyki połączone w kształt litery A, czy sznur z dwoma kołkami (co by wyjaśniało, co koło ma wspólnego z kołkiem), jeden do wbicia, drugi do rysowania - to już techniczne drobiazgi, pomijajac już to, że nie mamy pojęcia.

Cyrkiel natychmiast prowadzi do podziału okręgu na sześć równych części, zaś połączenie punktów podziału wykreśli sześciokąt. Bez wątpliwości widać,  że obwód koła to ciut więcej niż sześciokrotna długość promienia, czy też potrojona średnica (co na jedno wychodzi). Widać, bo nad każdym bokiem sześciokąta widnieje łuk koła, nieco dłuższy niż ten bok.

A to "nieco" - to ile, jak bardzo nieco? Po to człowiek jest człowiekiem, jest to jego psim obowiazkiem i przywilejem, wadą może, żeby takie pytania zadawać.

Zadawanie takich pytań przypisuje się Grekom, niby jako wcielonym geometrom (taki był nawet werset piosenki). Być moze - tylko z tego powodu, iż pozostawili za sobą mnóstwo notatek, które dało się łatwo odczytać. Ale można przypuszczać, że parę tysięcy lat przed Grekami, w Sumerze i Mezopotami te pytania już sobie zadawano i rozsądnie na nie odpowiadano. Ale to opowieść na inny deszczowy wieczór.

W Biblii widnieje opis gigantycznej wanny - zwanej  "morzem" - którą król Salomon kazał odlać, by kapłani Świątyni Jerozolimskiej mogli odbywac ablucje. Była to misa z brązu o kształcie półsfery, o średnicy około 5 metrów (10 łokci - kubitów). Grubość misy liczyła jedną piędź, czyli szerokość dłoni.

Druga Księga Kronik, Rozdział 4:

1 Uczynił też ołtarz z brązu, długi na dwadzieścia łokci, szeroki na dwadzieścia łokci, a na dziesięć łokci wysoki.
2 Następnie sporządził odlew okrągłego "morza" o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci.
5 Grubość jego była na szerokość dłoni, a brzeg jego był wykonany jak brzeg kielicha kwiatu lilii. Jego pojemność wynosiła tysiąc bat.

(patrz też Pierwsza Księga Królów, R. 7, 23-26)

Niektórzy odczytywali te wymiary, szybko dzieląc w myśli "obwód/średnica" = 30/10=3, jako dowód, że Biblia podawała wartość pi jako 3. Przecież widać, że nie podawała. Podawała wymiary konkretnego obiektu - olbrzymiej brązowej misy, posiadającej określone średnice i promienie zarówno wewnetrzne jak i zewnętrzne.

Podobną pomyłkę czyni autor Petr Beckmann, w  książce "A History of  pi", 1971, str. 75.  Przytacza wykładnię, którą A.D.150  podał rabbi Nehemiah (Nechemiasz?)



Sylwetka i biografia Petra Beckmanna, fizyka (co sporo wyjaśnia) - w wkipedii. Tak, on też zwalczał wiele idei i rzeczy, w szczególności teorię względności Einsteina....

Wracając do wątku, Beckmann twierdzi, że Pismo podaje wartość pi równą 3. Jeszcze raz podkreślmy - Pismo nigdzie takiej wartości nie podaje. Można powiedzieć, że jest to "wartość dodana". Ba, nawet sam Beckmann podkreśla, że w owym czasie - i długo, długo jeszcze potem - nawet symbolu na pi nie było. Gdy już łacina weszła w użycie, zamiast jednego znaczka wstawiano długaśną frazę

quantita, in quam cum multiplicetur diameter, provenient circumferentia

Dobrze, że wtedy nie było informatyków, bo zamiast π, musielibyśmy pisać QIQCMDPC !

Z jednej strony Beckmann niby chyli kapelusza przed rabbim, a z drugiej - naigrawa się kilka linijek dalej z tego "zdjęcia jednej siódmej", pisząc, "drogi Rabbi popełnił bezwstydny szwindel, bo szerokość odlanej ściany "morza" podana jest" jako szerokość jednej dłoni (Beckman cytuje Księgę Królów, zamiast KSięgi Kronik, opowieść i dane liczbowe są wszak te same).

Niestety, drogi Beckmann zaniedbał poczynienia kilku drobnych rachunków. Jeżeli promień okręgu wynosi R, to wziąwszy sznur o długości 6R, czyli trzykrotną średnicę, i opasawszy ów na okręgu, końce się oczywiście nie zetkną - pozostanie niepokryty łuk.

Ściągnijmy teraz ten opasany sznur do mniejszego okręgu o promieniu r. Tworzymy przez to dwa okręgi, pierścień o promieniu zewnętrznym R i wewnętrznym  r. Ile wynosi grubość pierścienia, tzn. R-r - powiedzmy, jako ułamek R?

Ile wynosi r? Prosty rachunek:

2 π r = 6 R

czyli

r = 3/ π  R

Przyjmując archimedesowską wartość 22/7 za π,

r = 21/22  R

Stąd wychodzi, iż grubość pierścienia równa się R/22. Teraz, jeżeli R=5 kubitów,  to grubość wyniesie 5/22 = 0.23 kubita, mniej wiecej jedna czwarta-jedna piąta łokcia (kubita), jakie 9-12 cm. Odłóżmy swą dłoń od czubka palców do łokcia - ile dłoni? No, między czterema a pięcioma. Czyli, biorac poprawkę na 1/7, jak chce rabbi Nechemiasz, grubość misy wyniesie circa  jedną dłoń,  tak jak pisze w Piśmie.

I kto ma rację, stary poczciwy Nechemiasz czy besserwisser Beckmann?

 Tak, tak, pisze Beckmann, to były mroczne czasy - ludzie byli głupsi niż potem, choć potem bywali jeszcze głupsi (no, nie tak napisał, ale na to wychodzi). Nawet tytuł rozdziału brzmi "Dusk", co z jednej strony znaczy Przedświt (jak gdybyby pi jeszcze nie wzeszło), a z drugiej strony - Mrok, ale też Zmierzch przed Nocą. Przeciwstawia Beckman ten Zmierzch z początków nowej ery - kiedy to można było bezpiecznie interpretować Biblię - Nocy średniowiecza, gdy takie poczynania zagrożone były izbą tortur i stosem.

Strasznie Beckmann mąci.

Zatem, według Nechemiasza, dane liczbowe czy to z Drugiej Księgi Kronik, czy z Pierwszej Księgi Królów, oznaczały
    wewnętrzny obwód (30 kubitów, łokci, 540 cali)
    zewnętrzną średnicę

Inżynierowie i rzemieślnicy za czasów biblijnych, nawet wcześniej, cofając się o kilka tysięcy lat wstecz, byli bardzo sprawni i przemyślni. Zastanówmy się, jak wielką trzeba było posiadać wiedzę praktyczną i teoretyczną, by odlać taką misę. Nie takich rzeczy dokonywano. W rachunkach się nie mylili.

Do zastanowienia się - proponuję choćby myślowe (lub praktyczne, dla zapalonych) ćwiczenie: jak odlać domowym sposobem misę, o średnicy niechby 2 łokci i grubości 1 palca?

Dla tych praktycznych, jako materiał - z braku laku czyli brązu - proponuję na przykład beton. Albo - cement rozrobiony nie tylko z wodą i piaskiem, ale i z trocinami - widziałem takie pojemniki w jednym sklepie ogrodniczym, służą jako przyjemne dla oka donice dla roślin i przytulnych ogródków.

Trzeba się jednak obejść  bez współczesnych wynalazków takich jak plastik, styropian, żywice, silikony, itp. Zakazane jest użycie podręcznego kalkulatora, komputerowych grafik, etc. Zadnych materiałow ani przyrządów  nie wolno zamawiać przez Internet.  No, niech tam, ołówek i papier - dopuszczalne.

Powodzenia! I uważajcie, by nie wziąć 3 jako π, bo misa nie wyjdzie okrągła. Ale z Nechemiaszową poprawką - wyjdzie.