Prowokujące pytanie padło wśród komentarzy pod ostatnim wpisem Arka.
Odwzorowania równokątne, inaczej konforemne (conformal mappings)... Obszernegoprzykładu dostarczają przekształcenia ułamkowe
w=(az+b) / (cz+d),
przy założeniu, że ad-bc ╪ 0. Okręgi i proste przechodzą na okręgi i proste, niekoniecznie w tej kolejności. Zarówno zmienna z jak i współczynniki a, b, c, d – to liczby zespolone.
Intuicja człowieka, przyzwyczajonego do globalności i sztywności geometrii euklidesowej, początkowo może się „nie zgadzać” z lokalnością geometrii dynamicznej. Czym jest ta „geometria dynamiczna”? Wymyśliłem termin na poczekaniu by podkreślić zmianę sposobu patrzenia. Już nic nie stoi w miejscu - wszystko się rusza. Dla wyjaśnienia, liczby zespolone – reprezentujące punkty na płaszczyźnie - są nieodzowne.
To znaczy, można się męczyć, i wszystko tłumaczyć na „stare”, ale to tak, jakby upierać się, by każdy tekst, każdą książkę czy gazetę, zapisywać kolorowymi drukowanymi literami z książeczek dla dzieci.
Przyjrzyjmy się przykładowi przekształcenia, najprostszemu z ułamkowych:
(1) w=f(z)=1/z.
Każdy punkt się ruszy i przejdzie w inny punkt, nieprawda? Stara figura, np. prosta, lub trókąt – stanie się nową figurą. Ach, nie można zapomnieć zakazu z 4-ej klasy: pamiętaj cholero: nie dzieli się przez zero. No więc, szanowny czytelniku – nie dziel przez zero. A poza tym – hulaj dusza.
No więc, mamy zmianę, stąd – dynamikę. Wielkość tej zmiany – jak wiadomo – ujmuje się przy pomocy pochodnej, z czym maturzysta – nawet humanista - nie powinien mieć żadnego problemu:
f ’(z)= -1/z²
Szybka pochodna! O! – nigdzie się nie zeruje! Upierając się przy „starym” – kartezjańskim zapisie, mielibyśmy
(2) (x,y) → ( x / (x²+y²), - y / (x²+y²) )
No, weź i licz pochodną... ano, można, owszem, ale czemu się męczyć?
Kąt między krzywymi – to kąt między stycznymi w punkcie przecięcia. Styczna jest konceptem i obiektem lokalnym. Oddaje ona krzywą tylko w maciupcim otoczeniu punktu - im dalej tym gorzej oddaje. Nasz euklidesowo ćwiczony wzrok patrzy uparcie na całość – stąd wrażenie łamania intuicji.
A spróbuj teraz wykazać, używając starych metod, że (2) zachowuje kąty. Zapewniam, Czytelniku – napocisz się i sfrustrujesz. Możesz jednak (lub musisz) uwierzyć na słowo.
Jak już przyjmujemy na słowo, to przyjmijmy, iż gdy tylko niezerującą się pochodną funkcji w=f(z) da się policzyć, to zachowanie kątów (pamiętaj – lokalnie!) jest murowane.
Kliknięcie na obrazek zaprowadzi do wolfram.mathematics, skąd został wypożyczony (czy też skradziony, ale uczciwie, w imię wyższego celu)
W lewym górnym rogu – przekształcenie w=1/z, jeszcze raz – najprostsze z ułamkowych. Popatrz na punkt przecięcia się czerwonego i niebieskiego kółka – jak najdalej od ich zgęstki blisko środka współrzędnych.
Tę samą technikę unikania zgęstek zastosował Józef.K by radować się pustą plażą, szumem fal, i rybką z winkiem na kolację.
Przed przekształceniem były to linie proste. Nie zostały narysowane, ale można je mentalnie zobaczyć – były to styczne do okręgów w punkcie przecięcia. Kształt i położenie się zmieniły– proste stały się okręgami, ale kąt między nimi – jaki był taki został.
Zaakceptowawszy ten jeden przypadek, reszta – mówimy o ułamkowym przekształceniu – jest już zgodna ze starą intuicją. I, rzeczywiście - deczko algebry pozwoli zapisać przekształcenie ułamkowe
w=(az+b) / (cz+d)
jako
w=A [ 1/ (z – B) –C ] (z nowymi, z lekka przekształconymi, współczynnikami)
Popatrzmy nań jako na złożenie kolejnych przekształceń:
w1 = z – B (przesunięcie – przy sztywnym przekształceniu kąty się nie zmieniają)
w2 = 1 / w1 (odwrotność – wyżej omawiana)
w3 = w2 – C (znowuż przesunięcie)
A teraz mnożenie przez zespoloną liczbę A: schowane w nim są dwa przekształcenia, obrót (sztywne przekształcenie) i skalowanie (zachowujące podobieństwo) - więc kąty pozostają niezmienne. Czyli, ostatecznie,
w=A* w3
Patrząc tak przyziemnie – traktując te rzeczy jako zwykłości – odziera się je z czaru, magii, oraz odruchów och-achania.
Wolisz, Czytelniku, pozostać jednak przy czarze i och-achaniu? No to sobie wól.
PS. Czar i och-achanie pojawi się wcześniej czy później – ale zapewniam, lepiej później niź wcześniej. Ulec czarowi – nie ma nic milszego. Ale gdy czar obezwładnia zamiast pobudzać – kiepski to czar.
******************************************************************
Dodane wieczorową porą...
Dwa obrazki z kilkoma detalami przekształcenia w=1/z (matki wszystkich przekształceń ułamkowych)
1. Poziome i pionowe linie (oprócz osi) przechodzą na okręgi. Osie (nienarysowane) przechodzą na siebie.
2, Prócz gniecenia i rozciągania, płaszczyzna wywrócona jest na nice. Trójkat równoboczny, symetrycznie położóny wokół środka układu jest wciąż "trójkatem równobocznym" - ale o bokach będących łukami okręgu. Nawet nieuzbrojone oko rozpozna zachowane katy 60°.
Pentagram i jego obraz, "kolisty pentragram" - wciąż można go wykreślić nie odrywając ołówka od papieru. Wszystkie kąty zgodne.
Dwa pentagramy przesunięte - symetria względem środka naruszona - powstają pentagramy koliste, ale jakosik szkaradne. Zresztą, może nie, może komu się podoba... W końcu, mimo przekrętu i wykrętu - kąty wciąż te same, co cieszy...
Inne tematy w dziale Kultura
