Historyjka się rozpoczęła od wpisu Andsola o dziwnych rzeczach, którymi ludzie się zajmują. Nie wiadomo, czy zajmują się dla rozrywki, czy z przymusu pasji, czy z zawodu (na przykład - miłosnego). Rzecz ciekawa, daję słowo. Ale na marginesie - zaczeło się od słownej wątpliwości, czy gwiazdę Dawida można nazywać gwiazda pitagorejską. Ciekawe, ale nie o tym. Kogo interesuje, zajrzy do Andsola.
Przy poszukiwaniach, wylazła jedna strona dydaktyczna, gdzie autor pokazuje demonstrację fizycznego (no... pomysł przynajmniej) dowodu twierdzenia Pitagorasa. Oto są naczynia połączone, jakby klepsydra wodna, i płyn wypełniajacy dwa zbiorniki o kwadratowym przekroju przelewa się w dół do dolnego zbiornika o przekroju kwadratu. Zbiorniki przylegają do boków trójkata prostokątnego.
Ponieważ objętość jest proporcjonalna do pól, a te równe kwadratom boków, to kazdy widzi po przelaniu, że łączne objętości górne, czyli suma kwadratów boków, jest równa objętości dolnej, czyli kwadratowi boku. Następna demonstracja - naczynia o przekroju półkola, a kolejna - bardziej spektakularna - sześciokąta.
I oto powstało naturalne pytanie, czyżby każda figura się nadawała na klepsydrę wodną, i dla każdej spełnione byłoby twierdzenie Pitagorasa - suma pól mniejszych równa polu większemu? Napisawszy to, coś mnie tknęło. I rzeczywiście, zajrzałem do własnego komentarza u Andsola, a tam napisałem - suma kwadratów pól równa się kwadratowi pola.... Auć!
Niech ten pierwszy rzuci kamieniem, komu takie błędy sa obce...
Otóż, andsol odpowiedział, iż zadanie się rozwiązuje przez "całkowanie czy cokolwiek". Poniżej - to parafraza mojego komentarza uandsolowego.
Adresatem zadania jest również ten, komu słowo "całkowanie" budzi opór lub zdziwienie. Wtedy trzeba by wytłumaczyć, na czym polega "cokolwiek". Więc na czym? Chodzi o możliwość policzenia pola. Pole wielu figur umiemy policzyć. Np. pole koła - pi-er-kwadrat... Ejże, umiemy, czy nam powiedziano?
A nie jest to to samo, że "umiemy" i że "nam powiedziano"?
Np., weźmy prostszą figurę - prostokąt, boki a i b. Pole - ab. Wiemy czy nam powiedziano?
E, jaka różnica, zawracanie głowy - to najbardziej rozsądne przypisanie pola tej prostej figurze. Nawet jakby nikt nie powiedział, każdy by na to wpadł.
I teraz wiemy, jak policzyć pole każdej figury, którą można rozbić na ileś tam prostokątów. Co więcej - figury rozbijalne na prostokąty sa bardzo fajne! Na przykład, krojąc takie dwie z sobą, znowu mamy figurę rozbijalną na prostokąty. A także wycinając ten przekrój - to co zostaje - też jest rozbijalne na prostokąty!
Niestety, te figury są wciąż prymitywnie kanciate. Nawet głupiego trójkąta nie da się rozbić na prostokaty. Nie szkodzi - przecież można go uzupełnić do prostokata tak, by ów prostokat dokładnie zawierał ów trójkat, oraz - jako uzupełnienie - kopię jego części. To takie drobne zadanko na poczekaniu wymyślone.
Zatem trójkaty są lepsze niż prostokąty. Chociaż więcej rozbijania, ale za to więcej figur, których pola można policzyć.
A kół nie można wziąć? Można, ale jak się koła przetną, to wyjdzie soczewka. A umiemy policzyć pole soczewki? Niechby nawet, ale gdy się dalej dwie soczewki przetną, i to jeszcze pod katem, to wyjdzie świństwo.
E, zostawmy te paskudztwa na boku. Trójkąty i prostokaty są fajne. Z nich można zrobić niemal wszystko. Np. figurę ludzika lub ludzika na koniku, samolot i sylewtkę tancerki...
No, te będą też takie trochę kanciate, ale gdy te odcineczki zrobić króciutkie, to ujdzie. Zresztą, patrzymy nieraz na monitor, i zadowalają nas kształty, choć one tak naprawdę nawet nie z kresek są złożone, tylko z kropek.
Ha! Ekranowa kreska to kupka kropek! Kupka, bo i to niedokładnie - co widać, jak kto się przyjrzy dokładniej ukośnym kreskom. Te pionowe lub poziome są w porządku. Te ukośne tylko udają, że są proste.
Ale - akceptujemy, bo gdzieś tam w mózgu czy móżdzku, czy cholera wie gdzie, owa felerna kreska się odfelernia, staje się kreską prostą, ciągłą, i prawdziwą.
Ba, teraz te paskudne soczewki, i przecięcia soczewek, i przecięcia przecięć, możemy zadowalająco rozbić na trójkaty. I już mamy pole. Że nie całkiem dokładnie? Nie szkodzi. Zadaj dokładność, daj czas, pudełko ołówków i ryzę papieru - zapłać dobrze jak chcesz super dokładności - to każdy toto policzy.
No więc co mamy? Mamy figury rozbijalne na trójkąty, i cokolwiek rozsądnego z nimi zrobimy, czy to przetniemy, czy wyrzucimy przecięcie, czy złożymy do kupy - wciąż w efekcie figura rozbijalna na trójkaty. Wciąż pole da się policzyć.
A, skalowanie! No, to juz znów małe zadanko. Jak przeskalujemy prostokąt, to znaczy pomnożemy jego boki a i b przez liczbę c, byle dodatnia była, to nowe pole będzie (ca)(cb)=c2 ab. A trójkąt? tak samo pole zmieni się przez czynnik c2. A dowolna trójkątowalna figura? Żaden problem . A te paskudztwa, które wszak też można trójkątować, popełniając raptem niewielki błąd? Tyż.
Zadanko? Zadanko.
No, te nasze pola oparte na dzieleniu siatką prostokątną (bardziej elegancka byłaby kwadratowa) lub trójkątną nie zmieniają się jak figurę obrócimy, albo odbijemy lustrzanie, albo przesuniemy. Dlaczego? Bo pole tego atomiku, którym jest nasz trójkąt nie zmieni się.
A co się stanie, gdy zamiast sztywnego, jak wyżej, przekształcenia kształtu, zastosujemy jakieś wygięcie czy naciągnięcie? Można ściągnąć z internetu programy typu "Contort", które psują (lub upiększają) obrazki.
No, to trudniejsze, ale zamiast dumać jak się całość pola zmienia, wystarczy zająć się trójkątem albo prostokatem.
Z małych cześci składanie całości - to właśnie całkowanie. Każdy to robi na dziesiątki i setki sposobów od dzieciństwa, a nawet przedtem, jeszcze w łonie matki.
Jeżeli Ciebie w szkole uczono inaczej, drogi Czytelniku, a nie daj Boże katowano jakmiś wzorami i regułkami, to podaj tę swoją szkołę do sądu o skrzywienie i zmarnowanie Twej edukacji.
Inne tematy w dziale Technologie
