Logika liczbami pisana

Matematyka nie bez powodu zwana jest Królową Nauk. Bez rozwoju matematyki nie byłoby rozwoju nauk ścisłych – a bez tego nie mielibyśmy najmniejszych szans na osiągnięcie obecnego poziomu cywilizacji.

Matematyka od wieków służy do opisywania świata. Zjawiska fizyczne, chemiczne reakcje… bez twardego fundamentu nie miałyby racji bytu. Ale skąd pewność, czy matematyczne założenia są słuszne? Czy gdzieś po drodze nie zabłądziliśmy? W końcu – im dalej w las, tym więcej drzew. Im większy poziom zaawansowania twierdzeń, tym trudniej je sobie wyobrazić. Właśnie dlatego na początku XIX wieku zaczęła się klarować oraz rozwijać logika matematyczna. Nie oznacza to, że wcześniej nie kierowano się logiką. Jednak wówczas wyodrębniono oraz usystematyzowano osobny dział matematyki.

Czy logika matematyczna różni się od logiki filozoficznej? Cóż… Tak i nie. Tak, ponieważ operuje inną definicją zdania. Wyrażenie, które w rozumieniu językowym jest zdaniem – w rozumieniu logiki matematycznej wcale tym zdaniem być nie musi. Zdanie logiczne jest bardzo specyficzną, ściśle określoną formą: musi istnieć możliwość jednoznacznego przypisania mu prawdy (w zapisie matematycznym wartość „1”) lub fałszu (wartość „0”). Przykład? „Czy jutro spadnie deszcz?” jest zdaniem w rozumieniu językowym, natomiast nie jest zdaniem logicznym. Zdaniem logicznym byłoby np. „Pada deszcz.” Nie, ponieważ bazuje na tych samych fundamentach wnioskowania.

Ktoś może zapytać – po co tworzyć osobną definicję zdania logicznego? Czemu normalne zdania nie muszą zawsze być poprawne logicznie? Powód jest prosty. Co nam da zadanie pytania? Co zmieni w naszej świadomości? Nic. Pytania motywują do poszukiwania odpowiedzi. I do tych poszukiwań służy właśnie logika ze swoimi, precyzyjnie określonymi zdaniami.

I tu dochodzimy do bardzo ważnych elementów równań logicznych, czyli funktorów (nazywanych też spójnikami logicznymi). Bez funktorów za wiele w logice nie zdziałamy. I zazwyczaj przy funktorach pojawiają się pierwsze trudności.

W logice jest pięć spójników logicznych: negacja („nie”, ~), alternatywa („lub”, v), koniunkcja („i”, ^), implikacja („jeżeli, to”, ⇒ oraz równoważność (koniunkcja, „wtedy i tylko wtedy, gdy”, ⇔). Ich zadaniem jest wykazanie relacji pomiędzy dwoma zdaniami logicznymi tak, aby można jej było przypisać wartość prawda (1) lub fałsz (0). Działanie funktorów jest w zasadzie mocno intuicyjne. Istnieją jednak drobne odstępstwa, dlatego przeanalizujemy każdy z nich.

Negacja – chyba  najprostszy z funktorów. Działa w taki sposób, że jeżeli zdanie jest prawdziwe, to jego negacja jest fałszywa. I na odwrót. Przykład. Zdanie prawdziwe: Styczeń ma trzydzieści jeden dni. Negacja: Styczeń nie ma trzydziestu jeden dni. Negacja jest wyraźnie fałszywa. Zdanie fałszywe: Rok ma trzynaście miesięcy. Negacja: Rok nie ma trzynastu miesięcy. Negacja jest prawdą, co także doskonale widać. I jeszcze warto nadmienić, że negacją jest zdanie przeczące zdaniu głównemu. Czyli, zgodnie z przykładem, negacją nie będzie zdanie "Styczeń ma trzydzieści dni". To jest osobne zdanie logiczne.

Alternatywa. Tu jest nieco ciekawiej. Normalnie jesteśmy przyzwyczajeni, że w językowym rozumieniu „lub” oznacza najczęściej wybór: albo jedno, albo drugie. Tymczasem w sensie logicznym „lub” należy rozumieć, jako „przynajmniej jedna z opcji”. Czyli wynik prawdziwy da zarówno prawdziwość jednego ze zdań, jak również prawdziwość obu. Jedynie fałsz obu zdań da fałszywy wynik. Przykład. Styczeń ma trzydzieści jeden dni lub styczeń ma trzydzieści dni. Zdanie jest prawdziwe, ponieważ jedno ze stwierdzeń jest prawdą. Dalej: Luty ma dwadzieścia osiem dni lub luty ma dwadzieścia dziewięć dni. Znowu prawda, bo oba zdania są prawdziwe. Natomiast: Luty ma trzydzieści dni lub luty ma trzydzieści jeden dni - jest fałszywe, ponieważ ani jedno ze zdań nie jest prawdą.

Koniunkcja. Ponownie jasna sprawa. Jeżeli spójnikiem jest „i”, wówczas aby otrzymać prawdę musimy mieć oba zdania prawdziwe. Przykład: Kwiecień ma parzystą liczbę dni i kwiecień ma trzydzieści dni. Prawda, ponieważ oba zdania są prawdziwe. Natomiast: Kwiecień ma parzystą liczbę dni i kwiecień ma dwadzieścia dni; Kwiecień ma nieparzystą liczbę dni i kwiecień ma trzydzieści dni; Kwiecień ma nieparzystą liczbę dni i kwiecień ma dwadzieścia dni – są fałszywe.

Implikacja. Tu zazwyczaj pojawiają się największe problemy. Implikacja jest prawdziwa zawsze, jeśli drugie zdanie jest prawdziwe. Tak samo, jeśli oba zdania są fałszywe. Fałsz dostaniemy jedynie w przypadku, kiedy pierwsze zdanie jest prawdziwe, a drugie fałszywe. Sytuacja „Jeżeli jestem hobbitem, to mam 100 cm wzrostu”. Najpierw załóżmy, że oba zdania są prawdziwe – wówczas i implikacja jest prawdziwa. Jeżeli zaś oba zdania nie są prawdziwe, to implikacja także jest prawdziwa. Dlaczego? Ponieważ fakt, że nie jestem hobbitem i mam więcej, niż te 100 cm nie oznacza, że całe zdanie jest fałszywe. Bo skoro hobbitem nie jestem, to i nie muszę mieć metra wzrostu. Jeżeli zaś nie jestem hobbitem, ale mam 100 cm wzrostu, to zdanie nadal pozostanie prawdziwe. Zauważmy, że implikacja daje uwarunkowanie tylko do pierwszej części. Czyli muszę mieć 100 cm wzrostu aby być hobbitem – ale nie działa to w drugą stronę. Bo przecież mogę być niski, ale być dzieckiem i implikacja nie wyklucza takiej możliwości. Ostatni przykład daje nam fałszywy wynik – w przypadku, kiedy jestem hobbitem, ale mam ponad metr wzrostu. Tutaj stan faktyczny jest sprzeczny z założeniami (bo, jak już było powiedziane wcześniej, obowiązkową cechą naszego hobbita jest metrowy wzrost).

Ostatnim funktorem jest koniunkcja. Wtedy i tylko wtedy. Sytuacja dość, moim zdaniem, oczywista. W koniunkcji z prawdy musi wynikać prawda, a z fałszu fałsz. Wszelkie przypadki mieszane dają wynik fałszywy. Wygram wyścig wtedy i tylko wtedy, jak przybiegnę pierwszy na metę. Dwie prawdy – sytuacja chyba jasna. Przybiegam pierwszy, wygrywam. Jeśli nie przybiegnę pierwszy, to przegram, udowadniając, że założenia były prawdziwe. Nie jest za to możliwe, abym wygrał nie przybiegając pierwszym (pomijamy przypadki dyskwalifikacji, aby nie komplikować przykładu ;) ), oraz nie jest możliwe, abym przegrał, jeśli pierwszy dobiegnę do mety (ponownie pomijamy możliwość dyskwalifikacji).

Czy coś jeszcze pozostało do omówienia z najważniejszych rzeczy? A owszem. Kwantyfikatory, pojęcie implikacji matematycznej oraz błędy logiczne. Ale o nich już następnym razem.