Dla miłośników sił odśrodkowych: rozwiązanko Nr 1.

Uprzejmie proszę o umieszczenie w "poddziale" Nauka.

Rozwiązanie Zadania Nr 1.

Wstęp. Wprowadźmy układ wsółrzędych o osiach r  i z , jak pokazane na załączonym rysunku. Początek układu znajduje sie na osi wirowania w punkcie, w którym znajduje sie minimum wklęsłej powierzchni cieczy. Oś z pokrywa się z osią wirowania, a pozioma oś r związana jest z naczyniem i razem z nim się obraca. Wybór kierunku osi r w odniesieniu do naczyna nie ma znaczenia, bo cały układ ma przecież symetrię obrotową.

Teraz następuje ważny moment – mianowicie, wprowadzamy do rozważań coś, co nosi nazwę potencjału odśrodkowego. Jest to wielkość skalarna (jak każdy potencjał, z wyjątkiem potencjału wektorowego w elektrodynamice), nader pożyteczna, bo często znacznie upraszcza rachunki przy rozważaniach dotyczących układów wirujących. Nie będę tu wprowadzał tego pojęcia „krok po kroku”, tylko odwołam sie do artykułów w Wikipadii (https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_potential) i w portalu https://scienceworld.wolfram.com/physics/CentrifugalPotential.html, gdzie to jest porządnie zrobione.

Definicję potencjału odśrodkowego V_ods podaje Równanie (1). Potrencjały, jak zapewne pamiętamy, nie są dobre do obliczania bezwzlędnej wartości energii, tylko raczej do oblicznia zmiany energii potencjalnej przy zmianie położenia obiektu (w tym przypadku ciała o masie m) w układzie wirującym. Zatem Równanie (2) wyraża pracę W, którą trzeba wykonać, aby przesunąć ciało o masie m wzdłuż promienia z położenia r₁ do położenia r₂ (przy r₁ > r₂), pokonując siłę odśrodkową (de facto, nie trzeba nawet wzdłuż promienia, ważna jest odległość od środka punktu początkowego i punktu końcowego).

Nieoceniony BJAB zaraz znalazł w powyższym pomyłkę, we wzorze (2), wiec ja wstawiam ten "blok" trzech równań jeszcze raz 

(wymienić sam wzór (2) byłoby mi trudniej, ze względów technicznych). Drogi BJABie, dzięki!

Potencjał odśrodkowy ma tę zaletę, że można go zwyczajnie dodawać do innych potencjałów (do grawitacyjnego, lub np. też do potencjału chemicznego przy rozważaniach termodynamicznych), uzyskując w ten sposób potencjał efektywny V_eff.

W rozważanym układzie potencjał grawitacyjny to po prostu iloraz przyśpieszenia grawitacyjnego g i współrzędnej pionowej z: V_gr = gz (zero osi z, jak wiadomo, można sobie dowolnie przyjąć). Sumując zatem potencjał grawitacyjny z odśrodkowym, otrzymamy potencjał efektywny dla rozważanego układu jako funkcję składowych r i z , opisaną Równaniem (3).

Wstawka (można ją pominąć i od razu przejść do Rozwiązania). Jak przy pomocy tak zdefiniowanego potencjału efektywnego wyliczyć siłe działającą na ciało o masie m? Siła nie będzie potrzebna do rozwiązania naszego zadania, ale warto pokazać, jak się ją oblicza, bo może to nam się przydać kiedyś później. A więc, siłę się dostaje po prostu mnożąc masę przez gradient potencjału ze znakiem minus – to taka standardowa operacja. Gdy mamy czysto grawitacyjny potencjał, gz, to jego gradient to zwykła pochodna po z, czyli g, zatem otrzymamy siłe równą F = m(-g) = -mg, doskonale nam znany wzór na ciężar, przy czym minus oznacza, że siła działa przeciwnie w stosunku do zwrotu osi z, czyli w dół – wszystko się zgadza!

W przypadku potencjału opisanego Równaniem (3) to już troszeczkę większa operacja, bo funkcja już teraz dwóch zmiennych, więc gradient to już będzie wektor, na co jest przyjęty symbol Delty „postawionej na głowie”, i wektor będzie miał dwie skladowe: poziomą, czyli pochodna cząstkową po r, i pionową, czyli takąż pochodna  po z. Wyliczenia są poniżej, jako nienumerowane formuły (bo do rozwiązania samego zadania nie będą potrzebne). Jak widać, otrzymujemy wektor siły, w którym składowa pozioma to siła odsrodkowa działająca na zewnątrz, a składowa pionowa to po prostu ciężar działający w dół. Przy okazji, staje sie jasne, dlaczego w potencjale odśrodkowym jest znak minus – żeby skasował się ze znakiem minus przed gradientem i siła odśrodkowa działała, jak trza, na zewnątrz.

Rozwiązanie postawionego zadania. Teraz już pójdzie piorunem! Bo przypomnijmy sobie, co to jest powierzchnia ekwipotencjalna? Ano, to jest taka powierchnia, że w każdym jej punkcie potencjał jest taki sam. A jaki jest najbardziej chyba znany przykład powierzchni ekwipotencjalnej? Wiadomo, niezaburzona powierzchnia cieczy! No to natychmiast dostajemy funkcję opisującą kształt powierzchni wirującej cieczy, przyrównując potencjał efektywny do stałej (Równanie 4) – z czego dostajemy, że z jest funkcją kwadratową r-a, czyli parabolą z minimum w r = 0, a powierzchnia, którą rozważany, to paraboloida obrotowa. Zaś rózniczkując wyrażenie na z(r) dostajemy wyrażenie (Równanie 5) na tangens kąta φ, czyli kąta pomiędzy osią r a styczną do powierzchni cieczy s w dowolnym punkcie odległym o r od osi obrotu.

Teraz to już tylko czysta geometria. Kąt pomiędzy pionowym promieniem padającym na powierzchnię w punkcie o współrzędnych (r_i , z_i ) a prostą n prostopadłą (normalną) do stycznej s w punkcie styczności to też φ (twierdzenie o kątach o ramionach wzajemnie prostopadłych, pamietam je od 61 lat, bo z lekcji geometrii w 8-mej klasie). Kąt pomiędzy normalną n i promieniem odbitym to też φ, zatem promień ten przecina się z osią z pod kątem 2φ. Żeby policzyć, jak wysoko punkt przecięcia z osią z (oznaczmy go z_f ) jest powyżej punktu padania, potrzebny nam będzie cotangens kąta 2φ. Cotangens to odwrotność tangensa, ale jak z tangensa φ zrobić tangens 2φ? Ja tylko pamiętam wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta (trygonometria, 9-ta klasa, 60 lat temu), ale przy ich pomocy potrzebny wzór da się zmajstować:

No to już jesteśmy w domu, odległość punktu ogniskowego od „dna” paraboloidy to suma współrzędnej z_i i odległosci pomiędzy punktami z_i i z_f, jak wykonamy to obliczenie:

to wyrazy zawierające r się ładnie skracają, więc wychodzi, że promienie odbite od powierzchni w jakimkolwiek punkcie, niezależnie od współrzędznej r_i , wszystkie przetną się w tym samym punkcie z_f.

Jeżeli Szanownych Czytelników i Komentatorów nie zdołałem jeszcze śmiertelnie zanudzić, to ja mam jeszcze w zanadrzu kilka zadanek na siły odśrodkowe. Potencjał odśrodkowy nadal jest w nich wykorzystywany. Proszę mi więc powiedzieć, czy mam dalej ciągnąć ten cykl?