Zaglądamy do wnętrza czarnej dziury (cz. 1)

Notka jest nawiązaniem do wcześniejszego artykułu o tym, jak przestrzeń fizyczna zachowuje się w polu grawitacyjnym. Zobaczmy, w jaki sposób prezentowana tam koncepcja pozwala zajrzeć do wnętrza czarnej dziury i opisać tor ruchu fotonu także poza horyzontem zdarzeń w postaci ścisłej matematycznej formuły.

1. Prędkość spadania punktów swobodnych przestrzeni w polu grawitacyjnym

Jak pojedynczy punkt przestrzeni zachowa się w polu grawitacyjnym?

Zacznijmy od rysunku. Początek osi x (i jednocześnie punkt obserwacji) umieśćmy gdzieś daleko poza siłami grawitacji oraz wprowadźmy kilka oznaczeń.

v – prędkość opadania punktu swobodnego przestrzeni dla współrzędnej x,
v₀ – prędkość opadania punktu swobodnego przestrzeni dla współrzędnej x₀,
M – masa będąca źródłem grawitacji,
r – odległość współrzędnej x od środka masy M,
R – promień masy M.

Przestrzeń fizyczna, o której mowa, jest nieskończenie rozciągliwa, a każdy jej fragment spada swobodnie w kierunku źródła grawitacji. Patrząc na powyższy rysunek, obliczmy prędkość v₀ fragmentu tej przestrzeni w odległości R od środka masy M.

Punkt swobodny takiej przestrzeni oznacza miejsce, gdzie na umieszczony tam obiekt nie działają żadne siły. Dla jasności zastanówmy się co oznacza, że prędkość punktów swobodnych względem jakiejś masy M wynosi v₀? Otóż oznacza to, że dajmy na to rakieta unosząca się nieruchomo przy powierzchni Ziemi nieustannie startuje z przyśpieszeniem ziemskim i porusza się z prędkością v₀ względem fragmentu przestrzeni, w której się znajduje.

Spójrzmy na rysunek. Prędkość v dla współrzędnej x zapiszemy jako:

Niech g oznacza przyśpieszenie grawitacyjne w tym punkcie.

Wartość przyśpieszenia grawitacyjnego g możemy wyznaczyć z prawa powszechnego ciążenia Newtona. 

W powyższym wzorze, G jest stałą grawitacyjną. Po dalszych przekształceniach otrzymujemy:

Zauważmy, że gdy współrzędna x rośnie, to odległość r od masy M maleje, zapiszemy to jako:

Przyjęty w obliczeniach warunek x₀⟶∞ wynika z założenia, że obserwator jest daleko od masy M. W ten sposób obliczyliśmy prędkość spadania punktów swobodnych, którą wykorzystamy w dalszej części.

Zauważmy, że v₀ jest równe drugiej prędkości kosmicznej, co wydaje się dość oczywistym wynikiem biorąc pod uwagę, że dany punkt przestrzeni zaczyna spadanie z miejsca o pomijalnej grawitacji.

2. Częstotliwość sygnałów emitowanych w polu grawitacyjnym

Niech dτ oznacza okres sygnału źródła poruszającego się z prędkością v₀, a dt okres sygnału rejestrowany przez obserwatora.

Uwaga: Powyższa formułą definiuje fundamentalne zależności czasowe w STW. Wykorzystamy to niezwykle istotne wyrażenie, chociaż jego wyprowadzenie dla omawianego modelu różni się od standardowego podejścia, w szczególności nie odwołuje się do dylatacji czasu i opiera się na wyliczonych tutaj zależnościach x₁=x₀e^v/c i x₂=x₀e^-v/c. Pominę w tej chwili te szczegóły, bo wymagałoby to oddzielnej notki. Może kiedyś…

Prędkość v₀ zastąpmy wartością wyliczoną ze spadku swobodnego w punkcie 1.

A teraz sprawdźmy, z jaką częstotliwością f dotrze do obserwatora sygnał o częstotliwości f₀ wyemitowany w polu grawitacyjnym:

Widzimy, że częstotliwość sygnału docierającego do odległego obserwatora jest mniejsza, niż oryginalnie wygenerowana w polu grawitacyjnym.

Wyrażenie 2GM/c² to tzw. promień Schwarzschilda R_S. Po podstawieniu otrzymujemy znany wzór definiujący warunek istnienia czarnej dziury.

Jeśli dowolny obiekt będziemy „ściskać” tak, że R będzie dążyło do R_S, to częstotliwość f sygnału rejestrowanego przez obserwatora będzie dążyła do zera, a to po prostu oznacza brak sygnału.

Mówimy, że masa o promieniu R mniejszym niż R_S staje się czarną dziurą, z której nie może wydostać się żaden sygnał. Jednak na podstawie zależności Modelu Naturalnego, potrafimy wykreślić tor tego sygnału i zrozumieć, dlaczego tak się dzieje. O tym w części 2.