Wyścig mrówki z samochodem, czyli o dylatacji czasu

1. Wyścig mrówki z samochodem

Czy mrówka dogoni szybszy samochód? To znana i ciekawa zagadka matematyczna nazywana czasem nawet paradoksem (tzw. „Ant On A Rubber Rope Paradox”), chociaż to żaden paradoks a tylko zwykła matematyka.

Na czym polega to fascynujące zagadnienie opisywane choćby w Wikipedii tutaj? Możemy je streścić następująco: Czy mrówka dogoni szybszy od niej samochód, jeśli będzie poruszała się po gumce przyczepionej jednym końcem do samochodu, a drugim końcem do ściany skąd mrówka startuje? Zobaczmy to na rysunku.

v – prędkość samochodu,
c – prędkość mrówki,
x₀ – odległość samochodu od ściany w momencie startu mrówki.

Niektórzy poruszeni zjawiskiem dość sugestywnie prezentują przebieg ruchu mrówki, spójrzmy tutaj:

Zagadkę rozwiązuje się przyjemnie, zachęcam do własnych obliczeń. Metod obliczeniowych spotkałem kilka, natomiast wynik jest oczywiście jeden – tak mrówka dogoni samochód, bez względu na różnicę prędkości v i c. Można wyliczyć, że mrówka dotrze do samochodu w momencie, gdy ten oddali się na odległość x wyrażoną następującym wzorem:

A czas Δt, po jakim mrówka dogoni samochód zapiszemy jako:

W powyższym wzorze zakładamy, że w momencie startu mrówki, podróż samochodu trwała już t₀. Czyli (uwzględniając Δt=t-t₀), czas podróży samochodem t wyniesie:

Przy czym wzór jest taki sam bez względu na to, czy mrówka biegnie od ściany do samochodu, czy w przeciwną stronę. Jeśli dodamy współrzędną czasową, wtedy tor ruchu mrówki będzie wyglądał następująco:

Przykładowy sposób uzyskania powyższych wzorów można znaleźć tutaj lub we wspomnianej wcześniej stronie Wikipedii, ja osobiście wybieram proste obliczeniowo rozwiązanie, które podałem w swojej notce.

2. Dylatacja czasu

No dobrze, ale co ten pasjonujący wyścig ma wspólnego z tytułową dylatacją czasu?

Aby odpowiedzieć na to pytanie załóżmy, że foton porusza się wg tych samych praw fizyki, co mrówka. Co z takiego założenia wynika? Zobaczmy.

Niech teraz naszą mrówką będzie foton, a samochodem oddalająca się rakieta, natomiast rolę ściany niech pełni obserwator. Model ruchu we współrzędnych (x, t) jest widoczny na poniższym rysunku. Dodatkowo załóżmy, że foton odbija się od lustra rakiety i wraca do punktu wyjścia.

Mamy zatem następujący przebieg zjawiska:

Rakieta mija obserwatora w punkcie początkowym układu współrzędnych.
W chwili t₀ obserwator wysyła sygnał fotonowy w kierunku rakiety.
Foton dociera do rakiety w chwili t₁ i odbija się od lustra.
Odbity foton wraca do obserwatora w chwili t₂.

Pytanie jest takie: Jak obliczyć czas t₁, w którym foton dogoni rakietę i w jakiej chwili t_S zarejestruje to zdarzenie obserwator?

Czas t₁ można wyliczyć wprost na podstawie przytoczonych wcześniej wzorów.

Natomiast czas t_S wynika bezpośrednio z wartości t₀ i t₂ zmierzonych przez obserwatora oraz założenia, że foton w każda stronę podróżuje tyle samo czasu.

Szukana dylatacja czasu jest proporcją tych dwóch wartości, gdzie w mianowniku jest wskazanie zegara rakiety t₁, a w liczniku wskazanie zegara obserwatora t_S. Miarą tak zdefiniowanej wielkości jest współczynnik Lorentza γ.

Lustro jest też po to, żeby obserwator mógł wyliczyć prędkość rakiety na podstawie odbitego promienia. Oznaczmy tak wyznaczoną prędkość symbolem u:

Wartość x_S jest współrzędną miejsca, w którym foton dogonił rakietę. Obserwator wie, że foton pokonał w obie strony odległość c(t₂-t₀), a zatem w jedną stronę przebył drogę:

Podstawmy t_S i x_S do wzoru na u.

A teraz skorzystajmy ze wzorów będących rozwiązaniem wcześniejszej zagadki. Okazuje się, że wyliczone przez obserwatora u jest po prostu funkcją prędkości v, z jaką rakieta oddala się od obserwatora.