Relatywistyczny przyrost masy, pędu i energii

Część #1: Teoria opisująca ruch obiektów poruszających się z dowolnymi prędkościami
...

Część #4:  Szybciej, niż światło – wyprowadzenie formuły ruchu
Część #5: Rapidity w Transformacji Lorentza

Część #6: Relatywistyczny przyrost masy, pędu i energii

1. Przyrost masy

Wyobraźmy sobie cząstkę, która porusza się z prędkością v wewnątrz pudełka wzdłuż linii łączącej przeciwległe ścianki. Jak na poniższym rysunku.

Cząstka jest źródłem promieniowania o częstotliwości f₀. Interesuje nas sygnał wyemitowany w kierunku ścianek znajdujących się na końcach tej linii. Z Teorii Względności wiemy, że jeśli wypromieniowaniu uległa masa m₀, to energia dostarczona w ten sposób do ścianek pudełka odpowiada masie m=m₀γ, gdzie γ jest współczynnikiem Lorentza.

Jak to możliwe, że rejestrujemy większą masę, niż została wyemitowana? Czy da się ten fenomen opisać prozą, tak żeby „klatka po klatce” prześledzić cały proces? Tak. Poniżej pokażemy, jak oczywiste i zrozumiałe może być to zjawisko, gdy zamiast magicznego wydłużania czasu, skracania odcinków przyjmiemy zasady tradycyjnej geometrii oraz wynikające z niej zależności Modelu Naturalnego.

Na podstawie Efektu Dopplera wiemy, że emitowany sygnał będzie docierał do jednej ścianki z częstotliwością f₁=f₀e^(v/c), a do drugiej z częstotliwością f₂=f₀e^(-v/c).

W poprzedniej notce wykazaliśmy, że Efekt Dopplera dla światła można wyprowadzić w klasyczny sposób i pokazaliśmy to przyrównując każdy grzbiet fali EM do mrówki podróżującej po gumce. Zauważmy, że im większa jest częstotliwość, z jaką mrówki dobiegają do ścianek, tym większa masa mrówek uderza w pudełko w jednostce czasu.

Wprowadźmy następujące oznaczenia (odniesione do jednostki czasu):
m₀ – masa mrówek startujących,
m₁ – masa mrówek dobiegająca do jednej ścianki,
m₂ – masa mrówek dobiegająca do drugiej ścianki.

Mrówki startują parami, dlatego w kierunku każdej ścianki wybiega w danej chwili masa m₀/2 mrówek. Powstaje następująca proporcja:Korzystając z Efektu Dopplera, napiszemy:A zatem łączna masa mrówek m dobiegających do obu ścianek w danej jednostce czasu wynosi:Tak wygląda wzór na tzw. „masę relatywistyczną” naszych mrówek w funkcji prędkości v, z jaką porusza się cząstka. Uwzględniając zależność γ=cosh⁡(v/c) (patrz rozdział o rapidity) możemy to samo zapisać w krótszej postaci.Zauważmy, że jeśli zamiast v użyjemy prędkości Lorentza v_L otrzymamy zależność dobrze znaną z Teorii Względności.Pamiętajmy tylko, że v_L nie jest prędkością cząstki v, ale funkcją v_L(v) zdefiniowaną na potrzeby Transformacji Lorentza (szczegółowo wyjaśniliśmy to we wcześniejszych notkach).

A zatem okazuje się, że i ta często przywoływana niezwykłość, wyrażająca się zależnością m=m₀γ, ma całkiem zwyczajne wytłumaczenie. Możemy teraz odpowiedzieć na pytanie zawarte w nagłówku: Nie. Pierwotna ilość masy nie wzrasta, a mierzony przyrost wynika jedynie z faktu (co brzmi dość banalne), że z jednej strony nasza gumka-eter jest ściskana i mrówki dobiegają częściej, a z drugiej jest rozciągana i mrówki dobiegają rzadziej. Ale łączna masa pozostaje stała, czego dowodem jest choćby obserwowany fakt, że obiekt o relatywistycznej masie m₀γ jest przyciągany przez prostopadłą siłę grawitacji w taki sam sposób, jak obiekt o masie m₀.

Dokonajmy w tym miejscu ważnej konstatacji, że cząstka nie dotyka bezpośrednio układu pomiarowego, ale zawsze robi to poprzez nośniki oddziaływania, czyli nasze „mrówki”. Innymi słowy, obserwator nie rejestruje masy m₀, tylko masę m nośników dobiegających do ścianek. To nieusuwalne ograniczenie przyrody (nie rejestrujemy tego, co istnieje, ale to, co dociera do nas w postaci informacji).

2. Przyrost pędu

Ponieważ każda mrówka uderza o ścianki z prędkością c, to pędy przekazywane przez mrówki do ścianek pudełka są równe odpowiednio p₁=m₁c oraz p₂=m₂c. A ponieważ mrówki poruszają się w przeciwne strony, to sumaryczny pęd p dostarczony przez mrówki do pudełka możemy zapisać, jako: Powyższy wzór definiuje pęd w Modelu Naturalnym, gdzie v jest prędkością, z jaką porusza się cząstka.

Jeśli podobnie, jak poprzednio zamiast prędkości v użyjemy funkcji v_L(v), otrzymamy wzór na pęd w postaci dobrze znanej z Teorii Względności.

3. Przyrost energii

Jeśli każdej mrówce przypiszemy pewną energię, to im większa jest częstotliwość, z jaką mrówki uderzają w ścianki pudełka, tym większą dostarczą energię w jednostce czasu.

Wprowadźmy następujące oznaczenia (odniesione do jednostki czasu):
E₀ – energia mrówek wybiegających z mrowiska,
E₁ – energia mrówek dobiegających do jednej ścianki,
E₂ – energia mrówek dobiegających do drugiej ścianki.

Mrówki startują parami, dlatego w kierunku każdej ścianki wybiegają mrówki o energii E₀/2. Powstaje następująca proporcja:Korzystając z efektu Dopplera wyliczymy łączną energię E mrówek uderzających w ścianki pudełka w danej jednostce czasu:Zauważmy, że mrówki dobiegające w danej chwili do ścianek, mają większą energię, niż mrówki wybiegające z mrowiska. Ten przyrost energii ∆E wynosi: Wartość E₀ jest stała w całym zakresie prędkości v. A zatem możemy ją wyliczyć z warunku brzegowego dla v→0, wtedy zamiast ∆E możemy bezpiecznie wstawić klasyczny wzór na energię kinetyczną oraz pominąć dalsze wyrażenia w rozwinięciu funkcji ekspotencjalnej. Otrzymaliśmy znany wzór na równoważność masy i energii E₀=m₀c². Czy to nie zaskakujące? Przecież c oznacza tu prędkość mrówki. W dodatku po gumce zamiast mrówki mógł spacerować jakiś pająk lub inny robak, czy to oznacza, że prędkość c w tym wzorze może mieć dowolną wartość? Wartość c to po prostu prędkość nośnika informacji, z jaką rzeczywistość dostępna jest naszemu poznaniu.

Porównując uzyskane wzory możemy napisać ogólną regułę definiującą równoważność masy i energii w przyrodzie. W naturalny sposób wynika ona z faktu, że zarówno masa mrówek dobiegających do ścianek, jak też ich energia, zależy od ilości tych nośników w taki sam sposób.Przyrost energii ∆E wynika z niezerowej prędkości v i oznacza energię kinetyczna mrowiska E_K. Dokonując podstawienia E₀=m₀c², otrzymamy końcową postać wzoru na energię kinetyczną E_K cząstki, gdy porusza się ona z dowolną prędkością v. Wprowadzając do wzoru wielkość γ, otrzymaliśmy wspólny zapis tej zależność dla Modelu Naturalnego i Transformacji Lorentza. Podstawiając uzyskamy przyrost energii w ujęciu relatywistycznym, a podstawiając γ=cosh⁡(v/c) uzyskamy przyrost energii zgodny z Modelem Naturalnym. Oba wzory są równoważne, co do uzyskanego wyniku.

Związek między energią, a pędem

Omówione wzory na energię E=m₀c²cosh⁡(v/c) i pęd p=cm₀sinh⁡(v/c) wymagają podania v. Czy można powiązać energię i pęd bez odwoływania się do prędkości? Skorzystajmy ze wzoru na jedynkę hiperboliczną.A następnie pomnóżmy obie strony przez m₀²c⁴.Wreszcie mamy wzór niezależny od tego, czy do obliczeń przyjmiemy prędkość v, czy funkcje v_L(v).

Jak widzimy Model Naturalny nie zmienia wzorów dynamiki relatywistycznej i ich nie "obala", a wręcz przeciwnie – potwierdza je i przede wszystkim wyjaśnia bez magii, opierając się na klasycznych zależnościach ruchu i zwykłej trójwymiarowej geometrii. Jednak potwierdzenie wyników nie oznacza potwierdzenia założeń.

Aby zapewnić logiczny obraz zjawiska musimy odrzucić postulat Einsteina, że prędkość światła w próżni jest stała względem obserwatora (szeroko to wyjaśnialiśmy, patrz prędkość unoszenia). Pozwala to przywrócić klasyczną regułę dodawania prędkości v₃=v₁+v₂, w której prędkość światła nie jest barierą.

Przykładem jest kwestia obecności mionów przy powierzchni Ziemi. Wyjaśniam, miony powstają ok. 20km nad ziemią, a ich czas życia jest na tyle krótki, że powinny rozpaść się zanim dotrą do ziemi nawet, gdyby podróżowały z prędkością światła. A mimo to rejestrujemy miony na powierzchni Ziemi, jak to możliwe? Teoria Względności tłumaczy to dylatacją czasu i skróceniem odległości. Okazuje się jednak, że nie ma potrzeby wprowadzania tak barwnych pojęć. Model Naturalny wyjaśnia, jak prozaiczne jest to zjawisko, biorąc pod uwagę, że cząstka może poruszać się dowolnie szybciej niż światło.

W następnej notce opiszemy zależności ruchu pod wpływem stałej siły.

Część #7: Konsekwencje drugiego postulatu Einsteina