Witam ponownie wszystkich czytających moje notki. Ostatnia notka była niezbyt jasna, na co zwracano mi uwagę. Popełniłem w niej parę błędów logicznych, oraz opisowych. Postaram się poprawić to właśnie teraz. Żeby nie gmatwać tematu, zabiorę się od razu do rzeczy.
Rozważam każdą dowolną linię składającą sie z punktów. Warunek jaki musi spełniać ta linia, to ciągłość. Przestrzeń na jakie została utworzona określam w sposób deterministyczny i jednoznaczny jako 1D (nowość w opisie) . Ta linia określa swój własny wymiar we własnej przestrzeni. Moim zadaniem jest określenie czy jest możliwe istnienie takiego obiektu, oraz takiej przestrzeni. Metryka tej przestrzeni jest nieokreślona. Składa się ona z punktów o nazwie a. Relacje pomiędzy punktami są dowolne, spełniające jednak warunek ciągłości tej linii. Inaczej mówiąc: punkt an jest następnikiem punktu an-1, oraz poprzednikiem an+1. W moich rozważaniach nie ma to znaczenia. Zwrócono mi uwagę i słusznie, że n oznacza konkretną liczbę.
W moich roważaniach liczba n zmierza do nieskończoności!
Na tej linii o nazwie powiedzmy L, tworzę zbiór punktów L{an}, gdzie n=1,2,3,...n. Określam moc tego zbioru na к. ilość elementów a linii jest nieskończona, więc moc zbioru jest liczbą kardynalną nieskończoną. Jest to к0 liczb porządkowych. Ja będę używał jednak zapisu skróconego к.
Mam nadzieję że warunki początkowe są jasne i klarowne. Podsumowując: Mamy linię ciągłą L, składającą się z punktów a1,a2,a3,….an. Linia jest zbiorem nieskończonym punktów an o mocy к.
Zapisuje to L{an} (mam nadzieję że to poprawny zapis).
Kolejnym krokiem jest wybranie dowolnych punktów na tej linii.
Symbole f,g,h to elementy z przedziału |1….n|. Zrezygnowałem z zapisu liczbowego, bo wprowadza on błędne interpretacje, jakoby element f był następnikiem elementu g. Nic takiego nie rozważam, powiem więcej: w ogóle nie interesują mnie relacje pomiędzy punktami. Na rysunku wprowadziłem nawet odwrotną kolejność alfabetyczną niżby podpowiadał rozum. Po prostu nie wiem gdzie na tej linii znajdują się te punkty i mnie to wcale nie interesuje.
Interesuje mnie natomiast inna sprawa.
Od punktu powiedzmy a@f prowadzę półprostą (jak zwał, tak zwał) w kierunku coraz większych n, czyli w kierunku domniemanego к. Jeszcze raz podkreślam że к nie jest żadnym określonym punktem na tej linii, ani gdziekolwiek indziej. Jest to liczba kardynalna zbioru punktów linii L. W związku z tym że wiemy że n rośnie, jesteśmy w stanie poprowadzić półprostą od dowolnego punktu, w kierunku rosnących n, czyli do к.
Podobne półproste poprowadzimy od innych punktów. Ja pokazałem 3 punkty: a@f, a@g, a@h. Niemniej takie półproste mamy dla każdego punktu ze zbioru L{an}.
Widzimy że te linie są o różnej długości. Pytanie jednak jest takie: czy to jest prawda?
Żeby to sprawdzić wystarczy policzyć elementy zbioru od każdego z naszych punktów w kierunku rosnących n. utworzą one nam zbiory dla każdej półprostej i na podstawie liczby kardynalnej tych zbiorów określimy położenie punktów na linii wobec ostatniego elementu zbioru (analogiczny wywód można zrobić w drugą stronę, bo linia jest symetryczna wobec oznaczonego punktu).
Tu właśnie jest pies pogrzebany. Moce zbiorów tych półprostych są jednakowe!!
Z całą odpowiedzialnością mogę stwierdzić:
T W I E R D Z E N I E
Moce (liczby kardynalne) zbiorów połprostych na linii, są jednakowe i mają tą samą wartość jaką ma moc zbioru punktów linii.
Twierdzenie jak każde inne. Jak poszukać dobrze na Wiki, to to samo piszą. Czym się tu ekscytować?
Jak wiadomo odległość mierzymy za pomocą jakiejś jednostki i liczby tych jednostek. Mamy na przykład 10m. Oznacza to że mamy 10 odcinków o długości jednego metra. Możemy przenieść to na grunt mojego doświadczenia. Jednostką będzie punkt matematyczny, a liczby n ilością jednostek. Co prawda nie wiemy jaki ma wymiar ten nasz punkt, ale będziemy mogli porównywać ilości tych punktów, przy założeniu że są jednakowe lub podobne. Jednostke oznaczymy sobie jako p
Co wiemy:
- nasza linia ma кp długości
- półproste mają кp długości
- odległości miedzy punktami …no tego nie wiemy. Być może zajmiemy się tym kiedyś indziej.
Mamy jakieś dane wstępne i trzeba by było zrobić analizę. Nasza linia i półproste skierowane w lewo, w kierunku największego n, mają jednakowe długości. Wiemy też że każdemu punktowi z naszych obiektów możemy przypisać inny punkt z tych obiektów. Możemy wnioskować, że jeśli będziemy tak sobie przypisywać te punkty, od jakiejś liczby np. f w kierunku wzrastających n, to gdzieś tam znajdzie się kres tego zapisu. Oczywiście jednoznacznie nie możemy powiedzieć gdzie. W końcu to zbiory nieskończone. Nie mniej możemy mieć pewność że te punkty idą parami i gdy dojdą do hipotetycznego końca, zakończą się w jednym cyklu, na tym samym punkcie, powiedzmy k.
Co to oznacza? Z mojego punktu widzenia oznacza to, że są one zaczepione w jednym punkcie.
Rozpatrzmy to na gruncie geometrii:
Mamy zbiór punktów o charakterze ciągłym, jednakowo odległe od hipotetycznego punktu k. Geometria to przyjemna dziedzina matematyki. Przynajmniej ta Euklidesowa.
Bez problemu oferuje nam taka figurę. Jest nią okręg. Okręg o promieniu кp środku k.
No cóż…. nasza linia okazała się okręgiem… Nie musieliśmy stosować żadnych czarów marów z obliczaniem krzywizny. Było by to pewnie problematyczne, bo o tej linii wiedzieliśmy naprawdę mało. Narysowałem to jak umiałem. Tak to sobie wyobrażam.
Świat był by cudowny gdyby nie pytania. Mam ustawiczną skłonność do zadawania ich samemu sobie. Najbardziej lubię pytanie:
Gdzie zrobiłem błąd?
Dzisiaj widzę to inaczej, ale wtedy troszkę się nagłówkowałem. Błąd jest i to nawet zapisany w tekscie powyżej. Przecież napisałem jak byk, że półproste maja taka samą moc jak moja linia!!! Linia to obwód mojego okręgu, a półprosta to jego promień!!! Musi między nimi zachodzić relacja o jakiej uczą w szkole podstawowej.
O=2Pi*r
Gdzie O to długość mojej linii, a r to długość mojej półprostej!!!
Błąd oczywisty i zwalający z nóg. Pierwsza myśl, że to co tutaj nabazgrałem to stek wierutnych bzdur. Nic, trzeba zakasać rękawki i szukać tej dziury, w tym co na całe nie wygląda. Nie będę opisywał perypetii jakie z tym miałem. Przecież z wymiaru 1d powstała mi płaszczyzna o promieniu r=кp . Żałowałem że nie udało mi się zrobić transformacji przestrzeni w ten sposób. W pewnym momencie zacząłem zadawać znowu pytania (sam sobie, taki snob już jestem).
Z pomocą przyszła mi moja geometria… ach, jaki to cudowny dział matematyki. Dla niej nie ma nic niemożliwego. Gdy to zrozumiałem, szybko znalazła się odpowiedź. Figura o takich parametrach istnieje i jest bardzo dobrze opisana!!!
Figurą taką jest stożek!!
Szybciutko wyrysowałem sobie takie dziwo. Wyszło mniej więcej tak:
Teraz zgadzają mi się wymiary mojej figury. Obwód okręgu jest równyкp,oraz prosta prowadząca stożka ma dokładnie taką samą długość.
W tym momencie byłem już bardzo podekscytowany. Moja linia przeszła prawdziwą metamorfozę. Z dość niepozornych założeń, z świata linii bez zdefiniowanych parametrów, powstała figura 3d. Byłem bardzo zdziwiony że to akurat stożek… ale trudno… nic lepszego wymyślić nie mogłem. Liczyłem na kwadrat, trójkąt, w najlepszym razie na sześcian… ale nie… wyszedł stożek. Tak naprawdę zaczynając to doświadczenie nie miałem zielonego pojecia że uda mi się wyrysować z linii, za pomocą prostych wzorów jakąkolwiek figurę… no może jakiś egzotyczny odcinek… Na nic więcej nie liczyłem.
Jednak się stało. Być może że znajdą się tacy co znajda błędy opisowe (chwała im za to), ale co do poprawności rozumowania nie mam już wątpliwości. Może to zabrzmi bardzo snobystycznie, ale byłem z siebie dumny. W końcu z matematyką mam tyle wspólnego, co kij z kijanką… (mowa o płazie).
Niestety to było bardzo głupie. Najlepsze było przede mną.
Chwile zachwytu nad sobą miewam bardzo krótkie, więc znowu zaczęły mną szarpać pytania. Doszedłem do wniosku że opis mojego stożka jest kulawy. Z reguły podaje się wysokość stożka, oraz promień podstawy. To raczej nie nasterczało większych problemów więc zabrałem się do roboty. W poprzedniej notce, troszkę pojechałem w uproszczeniach przez co stało się to niezrozumiałe. Zacznę tym razem od rysunku i zdefiniowania nazw.
Chyba nie muszę tłumaczyć co to h. Wątpię by znalazł się ktoś, kto tego nie rozumie. Do tego mamy rs, czyli promień koła podstawy mojego stożka (mojego… hyhy). Pozycja m oznacza prosta prowadzącą stożka (nie mylić broń Panie Boże z masą!!). Już wiemy ile wynosi. Do tego mamy obwód koła podstawy stożka, nie zaznaczony na rysunku, ale nazwiemy go O.
Zacznijmy od obliczenia promienia koła rs (bo go nie znamy)
rs = O/ 2Pi
Wzór znany wszystkim, raczej nie ma sensu się produkować. Wielkość obwodu O=кp jest znana, tak samo jak Pi.
Żadnych rewelacji, ale policzmy h:
Najprościej chyba z Pitagorasa:
a^2 + b^2 =c^2
Przekształcimy sobie wzorek, bo trzeba nam policzyć jeden ze składników lewej strony.
a^2 =c^2 –b^2
Podstawimy sobie znane nam wymiary i mamy:
a^2 =h
c^2=m=кp
b^2=rs = O/ 2Pi
co w efekcie daje:
h^2=m^2 – (O/2Pi)^2
Pozbywamy się okropnego kwadratu z lewej strony i mamy…
h =²√m^2 –(O/2Pi)^2
Dla jednych to zbieg okoliczności, dla innych naturalna konsekwencja…
Może i maja rację, może jestem nawiedzony… ale jeśli prędkość IUO uznamy za 1, to niezłe kwiatki wychodzą… Proszę pamiętać że nie interesują nas w tym przypadku wielkości bezwzględne, a jedynie relacje miedzy konkretnymi układami. To pozwala na eksperymenty. Proszę sobie w jakimś programie porysować wykresy z tego wzoru… Bardzo pouczające…
Obecni pracuję nad kontynuacją tych kwiatków. Niestety potrzebuję do tego nauczenia się działu matematyki zupełnie mi nieznanego. Pewnie to chwilkę potrwa. Nie mniej obiecuję wskazać zarysy tego co obecnie robię, oraz implikacji fizycznych, jakie wynikają z tego wzoru. Jeżeli jest ktoś chętny do współpracy, to zapraszam.
Tak jak pisałem w poprzedniej notce, jeżeli nie będzie krytyki, poczuję się smutno. Każdy ma prawo wyrazić swoją opinię. Krytyka nawet ta mało konstruktywna, często ma wiekopomne skutki.
Pozdrawiam wszystkich czytelników. Do następnej notki…
cdn.. (r) all rights reserved by Mariusz Szczepek
Inne tematy w dziale Technologie
