Kształty orbit ciał niebieskich

Ostatnio trochę się obijałem i nie napisałem żadnej notki do działu Nauka. Postanowiłem się poprawić i oto tego efekt. W odróżnieniu od moich poprzednich tekstów ten dotyczy rzeczy już ugruntowanych i zapewne wszystkim dobrze znanych (chociaż, być może, niektóre liczby mogą nieco zaskoczyć). Będzie też dużo obrazków – dla tych, co nie lubią czytać.

Od czasów Johannesa Keplera wiemy, że planety krążą wokół Słońca po elipsach. Podobnie, po elipsach obiegają swoje macierzyste planety księżyce. Elipsa to krzywa będąca zbiorem punktów, których suma odległości od dwóch ustalonych punktów (tak zwanych ognisk) jest stała:

Parametrami charakteryzującymi elipsę są wartości jej dwóch półosi: wielkiej a i małej b, ewentualnie wartości półosi wielkiej oraz mimośrodu e, będącego stosunkiem odległości ogniska od środka elipsy do długości półosi a. Wartość mimośrodu zawiera się w przedziale od 0 do 1. Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy, w którym obie półosie są sobie równe, mimośród wynosi 0, a oba ogniska pokrywają się ze środkiem.

Elipsę wymyślił słynny radziecki matematyk Elipsiejew, kiedy wyrzucono go pijanego z restauracji. Po tym tragicznym wydarzeniu łaził w kółko po takiej właśnie krzywej, otaczającej dwa ogniska: komisariat milicji (który szczęśliwie udawało mu się omijać) oraz rzeczoną restaurację (do której, niestety, nie dane mu było wrócić).

To oczywiście niezbyt mądry żart. W rzeczywistości nazwę „elipsa” nadał krzywej grecki geometra i astronom Apoloniusz z Pergi (żyjący ok. 260 – ok. 190 p.n.e., czyli niedługo po Euklidesie). Badał on krzywe, będące efektem przecięcia płaszczyzny ze stożkiem; elipsa jest właśnie jedną z nich (inne to parabola i hiperbola):

Zdumiewający jest fakt, że – jak to zauważył kiedyś deda – krzywe, które pojawiły się w nauce dzięki rozważaniom czysto geometrycznym, okazują się także trajektoriami ciał niebieskich. Być może ma to jakieś głębokie znaczenie, a być może nie.

A jak konkretnie wyglądają orbity różnych obiektów? Zacznijmy od trajektorii naszego ziemskiego Księżyca, której mimośród wynosi 0,0554:

Wygląda jak zwykły okrąg – i faktycznie, prawie nim jest! Stosunek półosi małej do wielkiej w przypadku naszego naturalnego satelity to 0,9985, czyli jest on bardzo bliski jedności. A mimo to różnica między największą odległością Księżyca od Ziemi (tak zwanym apogeum) a najmniejszą (perigeum) jest dość znaczna; stosunek apogeum do perigeum wynosi 1,12. Księżyc może się do nas zbliżyć na 363 tysiące kilometrów, a oddalić na 406 tysięcy. Przyczyna tego jest następująca: Ziemia nie znajduje się w środku orbity Księżyca, ale w jednym z jej ognisk.

Konsekwencje tego faktu można zauważyć podczas zaćmień Słońca. Zjawisko takie ma miejsce, gdy Księżyc znajduje się na linii prostej między Słońcem a Ziemią. Tak się złożyło, że średnice kątowe Słońca i Księżyca obserwowanych z Ziemi są bardzo podobne. W przypadku Księżyca zmienia się ona od 0,49° (gdy nasz satelita jest w apogeum) do 0,56° (gdy jest w perigeum). Średnica kątowa Słońca też ulega drobnym zmianom, ponieważ Ziemia również porusza się po elipsie (choć jeszcze bardziej zbliżonej do okręgu niż orbita Księżyca – stosunek b/a wynosi 0,9999), w ognisku której leży nasza gwiazda dzienna. Zakres zmian rozmiarów kątowych Słońca widzianego z Ziemi to 0,53 - 0,55°. Dlatego, gdy w trakcie zaćmienia Księżyc znajduje się blisko perigeum, sytuacja (schematycznie) wygląda następująco:

Mamy wówczas do czynienia z zaćmieniem całkowitym:

Te czerwone smugi to protuberancje, czyli wytryski gazu z powierzchni Słońca, zaś jasne pasemka to korona słoneczna – gaz bardzo gorący (o temperaturze ponad miliona kelwinów), ale i bardzo rzadki; dlatego jest zwykle niewidoczny, jako że przyćmiewa go światło Słońca. Koronę możemy obserwować tylko w trakcie zaćmień, albo stosując odpowiednie urządzenia (tzw. koronografy). 

Z kolei, gdy zaćmienie ma miejsce, kiedy Księżyc przebywa w pobliżu apogeum, sytuacja wygląda tak:

Wówczas w żadnym punkcie na Ziemi Słońce nie jest całkowicie zasłonięte przez naszego satelitę, a my obserwujemy zaćmienie obrączkowe:

Przejdźmy teraz do orbit planet. Kepler odkrył, że planety poruszają się po elipsach, analizując wyniki obserwacji Marsa, jakie wcześniej przeprowadził Tycho Brahe. Mars, nie licząc Merkurego (którego trudno obserwować, gdyż porusza się bliziutko Słońca), ma najbardziej wydłużoną orbitę spośród wszystkich planet. A oto jak wygląda „wydłużona” orbita Marsa:

To nadal prawie idealny okrąg! Stosunek osi b/a wynosi dla Marsa 0,9956. Na szczęście dla Keplera (i dla nas!) mimośród orbity tej planety to 0,0934, a ponieważ Słońce znajduje się w ognisku elipsy, to stosunek aphelium (największego oddalenia planety od Słońca) do perihelium (oddalenia najmniejszego) przyjmuje już wartość 1,21. To właśnie dzięki tym, stosunkowo sporym wartościom, Kepler mógł odgadnąć poprawny kształt orbity.

Jestem pełen podziwu – zarówno dla Brahego, który osiągnął niespotykaną wcześniej dokładność pomiarów położeń planet bez korzystania z nieznanego w jego czasach teleskopu, jak i dla Keplera, który na podstawie tych wyników potrafił wydedukować kształty orbit.

Obejrzyjmy jeszcze orbitę Merkurego, której kształt – jak wspomniałem – najbardziej odbiega od okręgu:

Najbardziej, to nie znaczy że bardzo. Stosunek długości półosi orbity Merkurego to 0,9786, ale położenie Słońca jest już wyraźnie przesunięte względem środka, gdyż mimośród elipsy wynosi 0,2056.

I takie właśnie, bliskie okręgowi, są kształty orbit wszystkich planet, większości asteroid i wielu księżyców. Istnieją jednak obiekty, których orbity są rzeczywiście wydłużone. Należą do nich asteroidy zbliżające się do Ziemi. Jedną z nich jest Amor:

W jego przypadku stosunek półosi to 0,9007, a mimośród jest równy 0,4345. Jeszcze bardziej wydłużoną elipsą jest orbita Ikara, dla której b/a to 0,5622, zaś e = 0,8270:

Najbardziej wydłużone są orbity komet. Okresowa kometa Halleya, zbliżająca się do Słońca co 75 lat, ma mimośród e = 0,9671 i stosunek półosi równy 0,2544:

Komety, które co pewien czas odwiedzają okolice Słońca nadlatując z zewnętrznych obszarów Układu Słonecznego, poruszają się po jeszcze bardziej wydłużonych elipsach. W ich przypadku okresy obiegów to tysiące, a nawet setki tysięcy lat, a mimośrody są bardzo bliskie jedności, co powoduje, że kształty ich orbit są zbliżone do paraboli.

I jeszcze jedna refleksja. Stwierdzenie, że ciała niebieskie poruszają się po elipsach, nie jest absolutnie ścisłe. Z opracowanej przez Newtona teorii grawitacji wynika, że tak byłoby tylko w przypadku, gdyby w układzie znajdowały się dwa ciała. Ponieważ w Układzie Słonecznym jest ich więcej, przyciągają się wzajemnie i nieco modyfikują kształt orbit. Efekt ten łatwo zauważyć dzięki precyzji pomiarów położeń prowadzonych przy użyciu teleskopów. Można się zastanawiać, co by było, gdyby Tycho Brahe dysponował teleskopem – wynalezionym przecież zaledwie w kilka lat po jego śmierci! – i uczynił swe obserwacje jeszcze dokładniejszymi? Wówczas Kepler nie byłby w stanie dopasować elips do wyników pomiarów. Czy poszedłby na kompromis i przyjął, że elipsy są dobrym przybliżeniem? Obawiam się, że nie. Kepler poszukiwał harmonii Wszechświata, a coś, co jest matematyczną krzywą tylko w przybliżeniu, raczej nie pasowało do jego wizji. Odkrycie Keplera to jeden z najistotniejszych kroków wiodących do powstania nowoczesnej nauki. Ciekawe, jak w takiej sytuacji wyglądałby droga do stworzenia teorii grawitacji?...

PS. Ilustrację pokazującą przecięcia stożka i fotografie zaćmień zaczerpnąłem z wikipedii.