Jak zmierzono Ziemię?

Jakiś czas temu napisałem notkę „Kształty orbit ciał niebieskich”, która, mimo że omawiała zagadnienia dość podstawowe, cieszyła się sporym zainteresowaniem. Skoro więc jest zapotrzebowanie na takie tematy, to – jeśli uda mi się zwalczyć genetyczne lenistwo – postaram się umieścić tu parę tekstów równie prostych, a konkretnie dotyczących wykorzystania geometrii w astronomii, przy czym nie chodzi mi o jakąś wyrafinowaną geometrię riemannowską, związaną z zakrzywieniem przestrzeni w polu grawitacyjnym czarnych dziur, ale o porządną, szkolną geometrię, która służy do określania odległości i rozmiarów zwykłych ciał niebieskich.

Pomiar odległości i rozmiarów ciał niebieskich to jedno z najtrudniejszych zadań w astronomii. Gdy patrzymy z Ziemi na te obiekty, wydaje się nam, że wszystkie leżą jednakowo daleko na czymś w rodzaju sfery, a my znajdujemy się w jej centrum. To oczywiście tylko złudzenie optyczne. Wynika ono z faktu, że nasze oczy nie są w stanie oceniać bardzo dużych dystansów. Jak zatem można mierzyć te wielkości? Lista badaczy zajmujących się tym problemem jest bardzo długa, a znaleźć na niej można najwybitniejsze umysły swoich epok. Aby ocenić albo obliczyć odległości i wymiary obiektów astronomicznych, uczeni ci wymyślali najprzeróżniejsze, często bardzo sprytne metody. Jedne z nich okazały się lepsze, inne – gorsze.

Oczywiście, przez wieki największe zainteresowanie wzbudzało ciało, na którym wszyscy żyjemy – nasza macierzysta Ziemia. Jaki ma kształt? Ludy prymitywne musiały uważać ją za płaską – bo taką ją przecież widzimy. Podobnie zresztą myśleli nawet wcześni, pochodzący z Miletu filozofowie greccy: Tales (ok. 623-545 p.n.e.) i Anaksymander (ok. 610-546 p.n.e.). Sądzili oni, że Ziemia jest płaskim dyskiem, przy czym zdaniem Talesa dysk ten pływał po jakimś ogromnym oceanie, natomiast według Anaksymandra unosił się w przestrzeni. Być może pierwszymi, którzy twierdzili, że Ziemia ma kształt kuli, był Pitagoras (ok. 570-495 p.n.e.) i jego uczniowie, ale przedstawione przez nich uzasadnienie tej tezy miało charakter czysto estetyczny. Dla pitagorejczyków kula była najdoskonalszą bryłą, a więc Ziemia musiała mieć jej kształt.

Z upływem lat zaczęły pojawiać się jednak bardziej racjonalne przesłanki. W czasach, kiedy nie było oświetlenia elektrycznego, w nocy komuś, kto nie mógł zasnąć, pozostawały do robienia dwie rzeczy: albo gapienie się na niebo, albo… No więc ludzie patrzyli na niebo i zauważali różne fakty – na przykład taki, że w trakcie zaćmień Księżyca padający na niego cień Ziemi ma zawsze kształt kolisty. Wiedziano też, że kiedy podróżujemy z północy na południe lub z południa na północ, widzimy na niebie pojawiające się i znikające różne gwiazdozbiory. Obserwacje te świadczyły o tym, że Ziemia jest kulą (albo ciałem o kształcie zbliżonym do kuli).

No dobrze, ale jaka jest jej wielkość? Jakieś próby oceny rozmiaru Ziemi musiano podejmować już przed Arystotelesem (384-322 p.n.e.), gdyż ten największy filozof Starożytności w swoim dziele „O niebie” napisał:

Ci spośród matematyków, którzy starają się obliczyć wielkość obwodu Ziemi, dochodzą do miary 400 000 stadiów

nie wspomniał jednak, kim byli owi „matematycy”, ani jakich metod użyli, aby uzyskać takie oszacowanie.

Wiemy natomiast, jak zrobił to Eratostenes (276-194 p.n.e.). To jeden z wielu znakomitych uczonych pracujących w sławnym Muzeum Aleksandryjskim. Był to pierwszy w historii instytut naukowy, założony około 295 p.n.e. przez króla Egiptu Ptolemeusza I Sotera. Związani z nim byli tacy wybitni uczeni Starożytności jak Archimedes, Euklides, Klaudiusz Ptolemeusz (zwany po prostu Ptolemeuszem) czy Galen. W Muzeum Eratostenes zarządzał biblioteką, ale oprócz opiekowania się papirusami zajmował się także astronomią, geografią, matematyką, a nawet poezją. Pod koniec życia całkowicie stracił wzrok. Nie mogąc pogodzić się z tą dolegliwością, popełnił samobójstwo w dość szczególny sposób: zagłodził się na śmierć.

Eratostenes wpadł na błyskotliwy, a jednocześnie bardzo prosty pomysł wyznaczenia obwodu Ziemi. Usłyszał on kiedyś, że w egipskim mieście Syene (obecnie Asuan) w południe najdłuższego dnia roku – dnia przesilenia letniego – dna nawet najgłębszych studni pozbawione są cienia. Oznacza to, że promienie Słońca padają wtedy dokładnie pionowo, czyli że w tym dniu w południe Słońce jest w zenicie. Z kolei w dniu przesilenia letniego w Aleksandrii, która w przybliżeniu leży na tym samym południku co Syene, nawet w południe przedmioty rzucają pewien cień. Eratostenes zauważył, że jeśli znamy odległość między miastami, te dwa fakty wystarczają, aby obliczyć obwód Ziemi. Wyjaśnia to poniższy rysunek.

Na rysunku pokazano południk ziemski, czyli „pionowy” przekrój naszej planety, przechodzący przez oba bieguny oraz przez Aleksandrię i Syene. (Uwaga! Czasami południkiem nazywa się półokrąg, którego końcami są bieguny. Ja, pisząc o południku, zawsze mam na myśli pełny okrąg.) Na Ziemię padają promienie słoneczne, zaznaczone tutaj cienkimi liniami. Ponieważ Słońce jest bardzo daleko, można przyjąć, że promienie te są równoległe. W południe najdłuższego dnia roku w Syene Słońce jest w zenicie, więc jego promienie padają tam pionowo. Z kolei w Aleksandrii tworzą one pewien kąt φ z kierunkiem pionu (kierunkiem na zenit). Z rysunku widać, ten kąt φ jest równy kątowi środkowemu dla łuku pomiędzy Syene a Aleksandrią – czyli, używając współczesnych pojęć, różnicy szerokości geograficznych obu miast.

Jak zmierzyć kąt między pionem a kierunkiem promieni słonecznych? To proste: wbijamy pionowo w ziemię pręt albo tyczkę o znanej długości i mierzymy długość cienia. Mamy zatem trójkąt prostokątny, którego przyprostokątnymi są pręt i jego cień; stąd możemy obliczyć kąt φ:

Tak właśnie postąpił Eratostenes. Podana przez niego wartość kąta φ w Aleksandrii to 1/50 kąta pełnego, zaś za odległość Aleksandria-Syene przyjął on 5000 stadionów. W ten sposób mógł obliczyć całkowity obwód południka ziemskiego:

50 x 5000 stadionów = 250 000 stadionów

gdyż obwód ten musi być 50 razy większy od odległości Aleksandria-Syene.

Jak bliska prawdy jest ta wielkość? Obecnie wiemy, że obwód południka wynosi 40 008 kilometrów. (Średni promień Ziemi to 6371 kilometrów). Żeby porównać tę wartość z wynikiem Eratostenesa, musielibyśmy wiedzieć, ile wynosił używany przez niego stadion. Historycy nie mają w tej sprawie pewności; wydaje się, że najbardziej prawdopodobne wartości stadionu Eratostenesa to albo 157, albo 185 metrów. Dawałoby to wartości obwodu Ziemi odpowiednio 39 i 46 tysięcy kilometrów (czyli promień Ziemi według tego pomiaru wynosiłby albo 6200, albo 7300 kilometrów).

Zwróćmy jednak uwagę na pewną ważną rzecz. Wartości 1/50 kąta pełnego dla φ i 5000 stadionów dla odległości Aleksandria-Syene wydają się zbyt „okrągłe”, by mogły być rezultatem rzeczywistych pomiarów. Skąd więc się wzięły? Wiadomo, iż wielu uczonych Starożytności zadowalało samo pokazanie, że jakąś wielkość można wyznaczyć, ale jej precyzyjna wartość mało już ich interesowała. Zapewne tak też było w przypadku Eratostenesa. Prawdopodobnie szacunkową informację o odległości uzyskał od podróżujących kupców, a kąt φ ocenił „na oko” – i takie przybliżenie mu w zupełności wystarczyło. Ten pogląd wyraził na przykład Andrzej Kajetan Wróblewski w swojej monumentalnej „Historii fizyki” (które to dzieło przy okazji gorąco polecam wszystkim interesującym się historią nauki).

A jaką wartość faktycznie ma kąt φ? Znając szerokość geograficzną Aleksandrii łatwo można to obliczyć. Z ciekawości przeprowadziłem taki rachunek, a kiedy otrzymałem końcowy wynik, z wrażenia niemal nie spadłem z krzesła. Otóż w czasach Eratostenesa w Aleksandrii w południe dnia przesilenia letniego kąt φ padania promieni słonecznych był równy 7,2º, czyli… idealnie 1/50 kąta pełnego 360º! Może więc jednak Eratostenes wykonał precyzyjne pomiary?... Myślę wszakże, że to czysty przypadek – niesamowity, ale jednak przypadek.

Ciąg dalszy nastąpi.