Zadanie matematyczne

Zdefiniujmy operator E w sposób następujący:

E = e^d/dx = 1 + (d/dx)/1!+ (d²/dx²)/2! + (d³/dx³)/3! + …

Dla funkcji f(x) jest taki punkt x₀, że funkcja jest w nim rozwijalna w szereg potęgowy o promieniu zbieżności R > 1.

Wykazać, że:

Ef(x) = f(x+1)

Zakładamy, że punkty x oraz x+1 są w tym samym promieniu zbieżności.

 

 

Uzupełnienie

Zasadniczo zadanie zostało rozwiązane. Część w sposób domyślny, a prawdziwy jak też w sposób ewidentny przez ZZZZ. Nawet z rozszerzeniem o parametr h.

E(h) = e^h*d/dx = 1 + (d/dx)*h/1!+ (d²/dx²)*h²/2! + (d³/dx³) *h³/3! + …

Działanie takiego operatora daje:

E(h)f(x) = f(x+h)

Podobnie korzystając z innych znanych rozwinięć mamy

Ch(h)f(x) = (f(x+h)+f(x-h))/2;

Sh(h)f(x) = (f(x+h)-f(x-h))/2;

jak też

Cos(h)f(x) = (f(x+ih)+f(x-ih))/2;

Sin(h)f(x) = (f(x+ih)-f(x-ih))/2i.

Jak widać wdepnęliśmy w liczby zespolone.

 

Ciekawym przypadkiem są też funkcje otrzymane z rozwinięcia exponentu, ale brane co któryś wyraz (funkcje: ch to wyrazy parzyste, sh wyrazy nieparzyste). Jeżeli bierzemy co p+1 wyraz to otrzymujemy p+1 funkcji rozpoczynających się od 0,.1,…p wyrazu. Wprowadził je w 1757 r. Riccati. Można je znaleźć pod nazwą Generalized Hyperbolic Functions. Niestety nie znalazły one dotąd zastosowania. Ja tu w skrócie nazwę je hipersinus, a jeszcze bardziej skrótowo hs_k(fi), gdzie wskaźnik k oznacza numer początkowego wyrazu. Dla każdego p jest to nowy zestaw funkcji.

Funkcje ch = hs₀ i sh = hs₁, gdzie p = 1.

hs₀(fi)f(z)=(f(z+fi)+f(z+e₁fi) +f(z+e₂fi)+… +f(z+e_pfi))/(p+1)

gdzie e_k to k-ty pierwiastek z jedynki.

Czyli daje średnią z wianuszka p+1 punktów okręgu o środku z i promieniu |fi|, jako że fi może być zespolone.

Te funkcje są ciekawsze gdy zależą od p zmiennych ale to inna historia.

 

Deda wspomniał o równaniach z "odchylonym argumentem" i to było głęboko w tle tych rozważań. Dla przykładu równanie różniczkowe podane w dwu punktach:

df(x)/dx=a*f(x-h)

Możemy sprowadzić do obliczeń w jednym punkcie

(d/dx - a*E(-h))f(x)=0,

a następnie korzystać ze znanych transformat do rozwiązania tego zadania.

A może ktoś wymyśli taką transformatę by wystarczało do rozwiązania znać tożsamości trygonometryczne :)

 

Równania z odchylonym argumentem są bardzo często stosowane w sterowaniu.

Np. pod prysznicem gdy ustawiamy właściwą temperaturę wody, a czujnik (czyli plecy) z opóźnieniem odbierają efekt sterowania (kranem). Gdy działamy chaotycznie to polewamy się raz ukropem, raz wodą lodowatą.

W sterowaniu samolotem też mamy opóźnienie efektu i pilot może przesadnie reagować. Były przypadki rozbicia się samolotu z tej przyczyny, jak też bardzo niebezpieczne lądowanie jednego z promów kosmicznych w bazie Edwards.

W ekonomii wprowadzenie kapitału z reguły daje opóźniony efekt.