Można to przeliczyć korzystając z bilansu energii, energia kinetyczna początkowa jest równa energii kinetycznej końcowej plus praca wykonana przy przecięciu skrzydła z powyższymi siłami na drodze równej szerokości skrzydła, równej 3,8 m.
Wzór jest następujący:
m*vp2/2 = m*(vp-dv)2/2+F*s.
Wyliczamy z niego zmianę prędkości dv. Podstawiając dane z pracy Prof. Kowaleczki:
masa samolotu m = 77833 kg; prędkość samolotu vp = 75 m/s; szerokość skrzydła s = 3,8 m.
Otrzymujemy
dla F = 10 T - dv = 0,065 m/s;
dla F = 13 T - dv = 0,085 m/s;
dla F = 15 T - dv = 0,098 m/s;
czyli w pobliżu jednego promila prędkości. I właśnie ten wynik sugerował nieomal zaniedbywalność siły zderzenia w porównaniu z innymi, znacznie większymi zjawiskami.
To przekonanie wynikało z założenia, że
Bardzo mała zmiana danych wejściowych w bardzo mały sposób zmieni dane wyjściowe.
Będę starał się wykazać, ze powyższe zdanie jest fałszywe i nie możemy nim uzasadniać oceny pracy.
Program obliczeniowy, wykorzystany przez Prof. Kowaleczkę jest w swej części czysto rachunkowej programem przekształcającym krok po kroku dane.
W każdej chwili tk:
wyznaczamy zbiór wielkości szukanych {Xk},
zbiór parametrów wpływających na wielkości szukane {Pk},
krok czasowy dt, na tyle mały by w tym przedziale czasu można było traktować parametry {Pk} w prosty sposób np. jako stałe.
Obliczenia są prowadzone rekurencyjnie, czyli w chwili początkowej t0 znamy wszystkie startowe wartości {X0}, wyliczamy parametry {P0}, a w następnej chwili
t1= t0 + dt wyliczamy nowe już nieznane:
{X1} = F({X0}, {P0}, dt), gdzie funkcja F jest dana przez badany model.
Ponownie wyznaczamy parametry {P1} i w chwili
t2= t1 + dt wyliczamy
{X2} = F({X1}, {P1}, dt), itd., aż do końcowego
{XN} = F({XN-1}, {PN-1}, dt).
Niby łatwe ale już dla chwili t2, po podstawieniu za {X1} pierwszego równania, otrzymujmy superpozycję funkcji F
{X2} = F({X1}, {P1}, dt) = F(F({X0}, {P0}, dt), {P1}, dt)
i ogólnie
{XN} = F(F(...F({X0}, {P0}, dt)...), {PN-1}, dt)
Jeżeli chcemy dokładnie policzyć i podzielimy interesujący nas całkowity przedział czasu na N = 1000 części to w praktyce otrzymamy tysiąckrotną superpozycję. Oczywiście nie wyliczamy formalnej postaci tej superpozycji, tylko kolejne zbiory wartości, które przechowujemy w pamięci komputera, ale zachowanie się tych zbiorów wartości zależy od tej superpozycji.
Już nawet proste przykłady jakiejś superpozycji pokazują (a tym bardziej skomplikowanych), że nasza wyobraźnia matematyczna nie jest w stanie przewidywać kolejnych cykli obliczeniowych. Proste formy przewidywania mogą drastycznie zawieść. No ale to jeszcze nie jest wyjaśnienie tak dużego wpływu siły uderzenia na wyliczone wielkości w pracy prof. Kowaleczki.
Zatem konieczne jest pokazanie przynajmniej jednego przykładu, który pokazuje wpływ mikroskopijnych zmian wejściowych na duże zmiany wyjściowe.
Przykład będzie skrajnie prosty, tak by uwzględnić tylko to o co nam chodzi i nic więcej, a przy okazji związany z obrotami. Będzie to uproszczona wersja kapotażu. Oczywiście nie skomplikowanej konstrukcji samolotu ale sztywnej belki.
Model będzie wyglądał następująco. Sztywna belka trze końcem o podłoże. Na belkę działa wiele sił, ale dla ciała sztywnego można je uprościć do siły przyłożonej do środka ciężkości, zmieniającej położenie tego środka i pary sił, czyli dwu równoległych sił o tej samej wartości ale przeciwnych zwrotach, przyłożonych w różnych miejscach.
Dla uproszczenia rozpatrzymy ruch w układzie środka ciężkości. Tam z definicji znika siła przemieszczająca. Pozostaje wyłącznie para sił. Rys. 1 pokazuje dwie różne pozycje belki.
Ruch rozpoczyna się od kąta alfa0 i rośnie do kąta alfa. Maksymalny kąt alfa to 180o, bo wtedy oś obrotu przejdzie na drugi koniec belki.
Siła F rozkłada się na siłę ściskającą Fs i siłę obracającą Fo. Interesuje nas siła obracająca.
Fo = F*sin(alfa).
Z dynamiki dla ruchu obrotowego mamy, że przyspieszenie kątowe epsilon belki wynosi, z:
F*sin(alfa)*R=I*epsilon,
gdzie R - odległość między punktami przyłożenia sił, I - moment bezwładności belki.
Stąd
epsilon = (F*R/I)*sin(alfa).
Dla uproszczenia możemy przyjąć, że wartość w nawiasie jest stała, czyli
epsilon =A*sin(alfa).
W obliczeniach przyjęto A = 5 radianów/s2, a krok czasowy 0,005 s. Przy tych wartościach wykresy dla wartości początkowych kąta różniących się o trzy rzędy wielkości ładnie leżą na jednym obrazku.
Możemy przystąpić do obliczeń w Excelu. Podaję komórkę i zawartość, komórki oddzielone średnikami.
Pierwszy wiersz. Linia nazw:
A1 czas; B1 stopnie; C1 alfa; D1 omega; E1 epsilon; F1 krok_czasu; G1 mnożnik
Drugi wiersz. Linia wartości początkowych
A2 0; B2 10; C2 =B2*PI()/180; D2 0; E2 =G$2*SIN(C2); F2 0,005; G2 5
Linia zmian (zawartość komórek rozpoczyna się od znaku = )
A3 =A2+F$2; B3 =C3*180/PI(); C3 =C2+D2*F$2+E2*F$2*F$2/2; D3 =D2+E2*F$2; E3 =G$2*SIN(C3)
Zawartość wiersza 3 skopiować ok. 1000 razy. Tworzymy wykres punktowy z kolumn A i B.
Tak otrzymamy zależność kąta w czasie od kata początkowego 10o (komórka B2).
Zmieniając zawartość komórki B2 otrzymujemy nowy wykres. Dogodnie nałożyć je na siebie (np. w programie GIMP) w tej samej skali. W tym celu oś pionowa jest sztywno ograniczona do 180o, a pozioma do 5 s. Wykresy były nakładane tak, by tło najniższego było białe, pozostałych przezroczyste. Wynik jest na Rys. 2.
Obliczenia były robione dla trzech zakresów:
0o do 0,1o co 0,01o - linie zielone
0,2o do 1o co 0,1o - linie niebieskie
2o do 10o co 1o - linie czerwone.
Mimo, że zakres kątów początkowych różni się o trzy rzędy wielkości to czas doprowadzenia do kąta 180o różni się tylko o ok. 3 s. Dla podanych wykresów można dopasować formułę na ten czas (logarytm dziesiętny, a kąt w stopniach):
t180 = -1,033*log(alfa0) + 2,748,
który pokazuje właścią sekwencję wyników, ale wyraźnie deformuje proporcjonalność.
Podobnych zachowań należy spodziewać się w układach nierównowagowych, a zwłaszcza w równowadze niestabilnej gdy niewielki impuls wytrąca z tego stanu, a następnie proces narasta lawinowo.
W realnych samolotach stany stabilne od niestabilnych często oddziela niewielka różnica parametrów i programy, które w poprawny sposób mają opisywać lot w naturalny sposób zawierają zachowania modelu w tych niestabilnych sytuacjach i wystąpiły one też w obliczeniach prof. Kowaleczki.
