@MUCHA.NA.SZYBIE - Matematyka (23)Cóż, nie mogę kontynuować wymiany poglądów. Pozdrawiam.
Stanęliśmy w bardzo ważnym z punktu widzenia nauki ścisłej dylemacie:
zapis pokazuje iż jednej liczbie naturalnej n. będącej numerem wiersza — przyporządkowane jest nieskończenie wiele ułamków w wierszu np.
3. 3/1 3/2 3/3 3/4 ...
i zapis ten jest uznawany jako dowód na równoliczność zbiorów A (∞) oraz B (∞^2) "Zbiór A oraz B nazywam równolicznymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja różnowartościowa odwzorowująca zbiór A na zbiór B." /MUCHA.NA.SZYBIE/ Zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A jest połączony w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B /ROBAKKS/
Różnicy w podanych przez Pana definicjach równoliczności nie widzę /MUCHA.NA.SZYBIE/
no chyba jest różnica, bo skoro element a=3. nie jest połączony dokładnie z jednym elementem zbioru B, ale z nieskończoną ilością elementów zbioru B
- to o żadnej równoliczności mowy być nie może. Zbiór B jest nieskończenie liczniejszy od zbioru A i żadna funkcja różnowartościowa istniejąca jako mem - tego nie zmieni:
Liczb naturalnych a. wyrażających numer wiersza wystarcza zaledwie do ponumerowania
jednej kolumny np pierwszej
1. == 1/1
2. == 2/1
3. == 3/1
4. == 4/1
pozostałe ułamki z nieskończonej ilości kolumn NIE MAJĄ PARY.
Stanęliśmy w bardzo ważnym z punktu widzenia nauki ścisłej dylemacie: jak to się dzieje, że ludzie patrzą, a nie widzą???
Dlaczego swoje wewnętrznie sprzeczne teorie nazywają nauką?
Analogicznie jest w fizyce teoretycznej:
doświadczenie Michelsona-Morleya będące dowodem na istnienie eteru jako medium w którym rozprzestrzenia się światło - zostaje okrzyknięte dowodem wykluczającym eter.
Z czego to wynika, że fałsz jest uznawany jako prawda naukowa i świat nauki nie protestuje, a wręcz odwrotnie: bronią fałszu jako prawdy objawionej.
Czy to chodzi o:
a) fanatyzm,
b) głupotę,
c) bezmyślność,
d) obłudę,
e) politykę
?
Cóż, nie mogę kontynuować wymiany poglądów. Pozdrawiam.
A więc moje pytanie pozostanie bez odpowiedzi. OK.
@MUCHA.NA.SZYBIE"Nabrałem wątpliwości, czy takie słowa można odmieniać"
Zaglądasz do słownika Lindego, czy słownika Linde? A na pączki idziesz do Bliklego, czy do Blikle?
Co do "procedury", to lepiej polskich ogonków unikać w nazwach. Francuskich też,i w ogóle wszelkich alfabetów ogonkowych. Wtedy do "BODUJ" nikt by się nie przyczepił, dziwniejsze widziano.
@TICHYZ odmianą nazwisk sobie na ogół radzę, ale w tym przypadku nie wiedziałem, czy jest to nazwisko. Procedura nosiła nazwę BODUJ, ale z wyraźną intencją by budować. Oczywiście, że w porządnych językach programowania nie ma ogonków. Natomiast polska wersja Excela jest odstępstwem.
Rozumiem, że w sprawie odlepiania etykietek z klas abstrakcji jest zgoda.
@Autordobry i pożyteczny tekst, zwłaszcza w miejscach dotyczących relacji między matematyką a fizyką.
Są jednak w nim zdania ,do których się przyczepię.
1. "Matematyka to metanauka."
E:
Musi pan wyjaśnić co pan rozumie pod pojęciem "metanauka" Przy powszechnie przyjętym znaczeniu tego terminu pana zdanie jest fałszywe.
I drugie.
2."Fakt matematyczny i fakt fizyczny to są całkiem inne fakty - lepiej o nich mówić tak, że to pierwsze to pewne zdanie w pewnym języku formalnym mające pewien atrybut zwany „prawdą”, a to drugie to prawda empiryczna, materialna, realna."
E:
W tym długaśnym zdaniu usiłuje pan określić różnice między znaczeniem terminów "fakt matematyczny" oraz "fakt fizyczny" i przy tej okazji nieświadomie wprowadza pan kilka znaczeń pojęcia "prawda". Wysoce przykra sytuacja przypominająca ostry dowcip ks.Józefa Tischnera o trzech rodzajach prawdy.
Proszę pana słowo "prawda" jest to nazwa pewnej własności zdań obojętnie czego te zdania dotyczą. Kryterium prawdziwości / fałszywości zdań jest jednakowe w matematyce, fizyce, socjologii lub polityce....Przedstawił je i zbadał formalnie czyli ściśle Alfred Tarski. Pewnie, są próby kwestionujące Tarskiego definicję prawdy ,ale wszystkie interesują tych co chcą przekazywać fałsz, jako prawdę.
Pan chyba jedzie po bandzie wymyślając prawdę: realną, materialną i empiryczną. Maluczko , a napisze pan być może ,że prawdziwość zdania zależy od tego, kto mówi, kiedy i do kogo mówi. Idę o zakład, że większość czytelników dopowie do tego: a czy nie mówiliśmy , że prawda jest względna?! co dla jednego jest prawdą ,to dla innego jest fałszem.
Tak więc porozmawiajmy o prawdzie.
@EINE Tarskiego teoria prawdystosuje się tylko do zdań wyrażonych w języku formalnym ( np. I rzędu). Nie wyobrażam sobie stosowalności algebr Lindenbauma, konsekwencji semantycznej w modelu i syntaktycznej w zbiorze formuł i innych akcesoriów teorii Tarskiego do zdań w stylu " poseł zaatakował milicjanta uderzając twarzą w jego but" (wyrażających względność ruchu)...
Ten komentarz został ukryty. Aby przeczytać, wyłącz filtr treści.
@DEDAno to rusz swoją wyobraźnię Deda !
Twierdzisz ,że do zbadania prawdziwości przytoczonego zdania potrzebna jest cała teoria prawdy Tarskiego? Nie wystarczy ci definicja Tarskiego prawdziwości sądu?
@EINEMatematyka jest metanauką w takim sensie, że sama nie jest nauką, ale jest narzędziem nauki, jest nauką o nauce. Jest czymś co jest ponad wszystkimi naukami i ma sens tylko wtedy, gdy te nauki są - gdy ich nie ma to i sama matematyka traci sens. Na dodatek jest narzędziem, które może być użyte w każdej innej nauce, a więcej jest ponad wszystkimi naukami na raz, jest używana we wszystkich naukach. Ten sam dział matematyki, te same twierdzenia i metody mogą być użyte i do fizyki i do psychologii i do geologii i do socjologii.
Ten komentarz został ukryty. Aby przeczytać, wyłącz filtr treści.
@EINEEwidentnie prawda matematyczna to coś innego niż prawda fizyczna. Prawda fizyczna to zgodność zdania z rzeczywistością, a prawda matematyczna, to zgodność zdania z aksjomatami, czyli innymi zdaniami. Moim zdaniem prawda arystotelesowska, ta fizyczna, to prawda empiryczna, a wszelkie inne prawdy definiowane przez filozofów, w tym przez Tarskiego, to prawdy matematyczne, to formalne zabiegi na języku, to operacje językowe, to atrybuty zdań w oderwaniu od rzeczywistości. Może być tak, że te prawdy matematyczne opisują jakąś nadrzeczywistość. Może ją tworzą, a może odkrywają. Niemniej ta nadrzeczywistość to coś jakościowo innego niż rzeczywistość.
Ten komentarz został ukryty. Aby przeczytać, wyłącz filtr treści.
@EINEMogę się zgodzić ewentualnie na to, że pewne zabiegi matematyczne mogą być empirycznie udowodnione. Chodzi mi o logikę i metody wnioskowania.
Naukowcy robią tak: biorą jakiś fakt empiryczny i go opisują jakimś językiem (np. językiem formalnym, jakimś matematycznym). Po czym biorą ten opis i go przekształcają formalnie, robiąc różne operacje na zdaniach - przekształcają, przekształcają i dostają na koniec jakieś inne zdanie. Potem badają prawdziwość tego zdania przeprowadzając jakieś empiryczne doświadczenie, co uzasadnia jego prawdziwość.
No i te metody przekształcania stosują wielokrotnie i gdy zawsze wyjdzie, że ze zdań prawdziwych empirycznie wychodzą przy pomocy danej metody przekształcania zdań inne zdania prawdziwe empirycznie, to znaczy, że te metody przekształcania zostały empirycznie udowodnione, a przynajmniej silnie uprawdopodobnione. Wtedy można wziąć zdanie empirycznie prawdziwe, przekształcić tymi indukcyjnie udowodnionymi metodami i dostać na końcu zdanie, które uznamy za empirycznie prawdziwe, tak, że nie trzeba go uzasadniać jakimś doświadczeniem.
A zatem pewne reguły wnioskowania są bardziej prawdziwe, a inne mniej, bo jedne są lepiej empirycznie potwierdzone, a inne gorzej.
Ten komentarz został ukryty. Aby przeczytać, wyłącz filtr treści.
@GPS - Matematyka (24)Ewidentnie prawda matematyczna to coś innego niż prawda fizyczna. Prawda fizyczna to zgodność zdania z rzeczywistością, a prawda matematyczna, to zgodność zdania z aksjomatami, czyli innymi zdaniami. Moim zdaniem prawda arystotelesowska, ta fizyczna, to prawda empiryczna, a wszelkie inne prawdy definiowane przez filozofów, w tym przez Tarskiego, to prawdy matematyczne, to formalne zabiegi na języku, to operacje językowe, to atrybuty zdań w oderwaniu od rzeczywistości. Może być tak, że te prawdy matematyczne opisują jakąś nadrzeczywistość. Może ją tworzą, a może odkrywają. Niemniej ta nadrzeczywistość to coś jakościowo innego niż rzeczywistość.
Z powyższego opisu wynika, że są dwie matematyki:
ta fizyczna wyrażająca zgodność rachunku z rzeczywistością empiryczną
i ta druga odjechana, w której w ogóle rzeczywistości empirycznej nie bierze się pod uwagę, choć jej ustalenia (a więc matematyki odjechanej) próbuje się na rzeczywistość empiryczną narzucić (słynny przykład Achillesa, który nie może dogonić żółwia z założenia, bo z założenia granica podziału nie jest możliwa).
Jest kilka prawdopodobnych powodów, dla których Alfred Nobel nie stworzył nagrody dla matematyków. Wola Nobla dotyczyła "wynalazków i odkryć", przynoszących ludzkości największe korzyści, mając prawdopodobnie na myśli prace praktyczne, a nie teoretyczne. Matematyka nie była uważana za naukę, która może przynieść ludzkości praktyczne korzyści.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Nagroda_Nobla#Brak_nagrody_w_dziedzinie_matematyki
Newton mógłby dostać Nobla z fizyki za matematykę fizyczną, a jego przeciwnik Leibniz już nie - a więc matematyka wcale przez Nobla nie została pominięta.
@ROBAKKSNie, matematyka jest jedna, choć ma wiele działów. Matematyka to języki i operacje językowe. Matematyka, który zajmuje się matematyką nie obchodzi w ogóle rzeczywistość, on tworzy języki i operacje na nich i może sobie dowolnie określać atrybut zdań, który nazwie: "prawda". Dopiero fizyk, ekonomista, psycholog, czy inny naukowiec empiryczny, może wziąć od matematyka ten język i te operacje na nim i je zastosować do badania rzeczywistości i wtedy niektórym zdaniom nada atrybut: "prawda empiryczna". Ale ta sama prawda matematyczna może się okazać prawdą empiryczną w fizyce, a fałszem empirycznym w ekonomii, albo na odwrót.
Ten komentarz został ukryty. Aby przeczytać, wyłącz filtr treści.
@GPS - Matematyka (25)Moim zdaniem ta różnica pomiędzy matematyką fizyczną a matematyką odjechaną
wyraźnie uwidacznia się w tytule dzieła Newtona: Philosophiae naturalis principia mathematica Matematyczne zasady filozofii przyrody
Badacz nie tworzy założeń, lecz opis Świata jaki jest - nie wymyśla więc matematyki, lecz ją odkrywa.
@POLSKI BIMBEROczywiście, ale są ludzie, którym większą przyjemność niż rozmowa z sąsiadem sprawia udowodnienie nowego twierdzenia. Nie odbierajmy im tej radości ;-)
- B ó g i s t n i e j e , p o n i e w a | m a t e m a t y k a j e s t n i e s p r z e c z n a . A l e d i a b e B t e | i s t n i e j e , p o n i e w a | n i e m o |n a t e g o u d o w o d n i . A n d r é W e i l .
Ostatnie lata życia postanowił poświęcić się historii matematyki. Temat ten zawsze go fascynował, o czym świadczą historyczne wstępy dołączone do wszystkich dzieł Bourbakiego, na ogół przez niego pisane. Skorzystał także z okazji, aby opublikować swoje prace naukowe w trzech tomach. Zmarła jego żona Éveline24 maja 1986a wraz z nim pragnienie życia André. Przeżyli razem ponad pięćdziesiąt lat życia, a ona była jego wieczną towarzyszką, pomimo niewielkiej sympatii okazanej mu przez rodzinę Weilów. Po śmierci Eveline stan zdrowia Weila uległ pogorszeniu. Stopniowo tracił wzrok i słuch, często upadał. Mając ponad 80 lat, nadal regularnie odwiedza IAS .6 sierpnia 1998zmarł spokojnie w swoim domu w Princeton. Nawet jeśli nigdy nie wierzył w reinkarnację ani w przyszłe życia, wiedział, że jego praca matematyczna przetrwa i pozostanie
Ten komentarz został ukryty. Aby przeczytać, wyłącz filtr treści.
matematyka to meta - nauka i tu się zgadzam absolutnie --- to fizycy i hazardziści mają problem - Princeton Institute for Advanced Study oczekuje jedynie, że badacze będą podążać własnym tempem pracy, nie ponosząc przed nikim odpowiedzialności. Przybycie Weila natychmiast wzbogaciło debaty i spotkania kadry nauczycielskiej. W środy prowadzi seminarium Hadamarda , będące kontynuacją seminarium w Chicago. Przez kilka lat był także redaktorem naczelnym prestiżowego czasopisma Annals of Mathematics . Co więcej, szybko stał się bête noire dyrektorów Instytutu: pierwszym, który wzbudził jego gniew, był fizyk Robert Oppenheimer , ojciec pierwszej bomby atomowej, który uważał profesorów Instytutu za dobrych dla Nic. Po przejściu na emeryturę w 1976 roku Weil utrzymywał kontakt z Instytutem
Ten komentarz został ukryty. Aby przeczytać, wyłącz filtr treści.
/ schowek / Chomsky badał języki formalne, następnie w 1956 roku sklasyfikował je pod względem możliwości automatycznego (np. komputerowego) wykonania. Powszechnie uznawana za standard, hierarchia ta składa się z czterech klas:
języki typu 0 – rekurencyjnie przeliczalne (maszyna Turinga),języki typu 1 – kontekstowe (automat liniowo ograniczony),języki typu 2 – bezkontekstowe (automat ze stosem),języki typu 3 – regularne (deterministyczny automat skończony).
Język należy do danej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy jest możliwe zbudowanie gramatyki formalnej, która generuje dany język, a której reguły nie wykraczają poza ograniczenia dla danej klasy. Zdefiniował on także postać normalną, czyli zapis gramatyki języków bezkontekstowych.
Ten komentarz został ukryty. Aby przeczytać, wyłącz filtr treści.
Strona wykorzystuje pliki cookies.
Informujemy, że stosujemy pliki cookies - w celach statycznych, reklamowych oraz przystosowania serwisu do indywidualnych potrzeb użytkowników. Są one zapisywane w Państwa urządzeniu końcowym. Można zablokować zapisywanie cookies, zmieniając ustawienia przeglądarki internetowej. Więcej informacji na ten temat.
Stanęliśmy w bardzo ważnym z punktu widzenia nauki ścisłej dylemacie:
zapis pokazuje iż jednej liczbie naturalnej n. będącej numerem wiersza — przyporządkowane jest nieskończenie wiele ułamków w wierszu np.
3. 3/1 3/2 3/3 3/4 ...
i zapis ten jest uznawany jako dowód na równoliczność zbiorów A (∞) oraz B (∞^2)
"Zbiór A oraz B nazywam równolicznymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja różnowartościowa odwzorowująca zbiór A na zbiór B." /MUCHA.NA.SZYBIE/
Zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A jest połączony w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B /ROBAKKS/
Różnicy w podanych przez Pana definicjach równoliczności nie widzę /MUCHA.NA.SZYBIE/
no chyba jest różnica, bo skoro element a=3. nie jest połączony dokładnie z jednym elementem zbioru B, ale z nieskończoną ilością elementów zbioru B
- to o żadnej równoliczności mowy być nie może. Zbiór B jest nieskończenie liczniejszy od zbioru A i żadna funkcja różnowartościowa istniejąca jako mem - tego nie zmieni:
Liczb naturalnych a. wyrażających numer wiersza wystarcza zaledwie do ponumerowania
jednej kolumny np pierwszej
1. == 1/1
2. == 2/1
3. == 3/1
4. == 4/1
pozostałe ułamki z nieskończonej ilości kolumn NIE MAJĄ PARY.
Stanęliśmy w bardzo ważnym z punktu widzenia nauki ścisłej dylemacie:
jak to się dzieje, że ludzie patrzą, a nie widzą???
Dlaczego swoje wewnętrznie sprzeczne teorie nazywają nauką?
Analogicznie jest w fizyce teoretycznej:
doświadczenie Michelsona-Morleya będące dowodem na istnienie eteru jako medium w którym rozprzestrzenia się światło - zostaje okrzyknięte dowodem wykluczającym eter.
Z czego to wynika, że fałsz jest uznawany jako prawda naukowa i świat nauki nie protestuje, a wręcz odwrotnie: bronią fałszu jako prawdy objawionej.
Czy to chodzi o:
a) fanatyzm,
b) głupotę,
c) bezmyślność,
d) obłudę,
e) politykę
?
Cóż, nie mogę kontynuować wymiany poglądów. Pozdrawiam.
A więc moje pytanie pozostanie bez odpowiedzi. OK.
Zaglądasz do słownika Lindego, czy słownika Linde? A na pączki idziesz do Bliklego, czy do Blikle?
Co do "procedury", to lepiej polskich ogonków unikać w nazwach. Francuskich też,i w ogóle wszelkich alfabetów ogonkowych. Wtedy do "BODUJ" nikt by się nie przyczepił, dziwniejsze widziano.
Rozumiem, że w sprawie odlepiania etykietek z klas abstrakcji jest zgoda.
Są jednak w nim zdania ,do których się przyczepię.
1. "Matematyka to metanauka."
E:
Musi pan wyjaśnić co pan rozumie pod pojęciem "metanauka" Przy powszechnie przyjętym znaczeniu tego terminu pana zdanie jest fałszywe.
I drugie.
2."Fakt matematyczny i fakt fizyczny to są całkiem inne fakty - lepiej o nich mówić tak, że to pierwsze to pewne zdanie w pewnym języku formalnym mające pewien atrybut zwany „prawdą”, a to drugie to prawda empiryczna, materialna, realna."
E:
W tym długaśnym zdaniu usiłuje pan określić różnice między znaczeniem terminów "fakt matematyczny" oraz "fakt fizyczny" i przy tej okazji nieświadomie wprowadza pan kilka znaczeń pojęcia "prawda". Wysoce przykra sytuacja przypominająca ostry dowcip ks.Józefa Tischnera o trzech rodzajach prawdy.
Proszę pana słowo "prawda" jest to nazwa pewnej własności zdań obojętnie czego te zdania dotyczą. Kryterium prawdziwości / fałszywości zdań jest jednakowe w matematyce, fizyce, socjologii lub polityce....Przedstawił je i zbadał formalnie czyli ściśle Alfred Tarski. Pewnie, są próby kwestionujące Tarskiego definicję prawdy ,ale wszystkie interesują tych co chcą przekazywać fałsz, jako prawdę.
Pan chyba jedzie po bandzie wymyślając prawdę: realną, materialną i empiryczną. Maluczko , a napisze pan być może ,że prawdziwość zdania zależy od tego, kto mówi, kiedy i do kogo mówi. Idę o zakład, że większość czytelników dopowie do tego: a czy nie mówiliśmy , że prawda jest względna?! co dla jednego jest prawdą ,to dla innego jest fałszem.
Tak więc porozmawiajmy o prawdzie.
Twierdzisz ,że do zbadania prawdziwości przytoczonego zdania potrzebna jest cała teoria prawdy Tarskiego? Nie wystarczy ci definicja Tarskiego prawdziwości sądu?
Naukowcy robią tak: biorą jakiś fakt empiryczny i go opisują jakimś językiem (np. językiem formalnym, jakimś matematycznym). Po czym biorą ten opis i go przekształcają formalnie, robiąc różne operacje na zdaniach - przekształcają, przekształcają i dostają na koniec jakieś inne zdanie. Potem badają prawdziwość tego zdania przeprowadzając jakieś empiryczne doświadczenie, co uzasadnia jego prawdziwość.
No i te metody przekształcania stosują wielokrotnie i gdy zawsze wyjdzie, że ze zdań prawdziwych empirycznie wychodzą przy pomocy danej metody przekształcania zdań inne zdania prawdziwe empirycznie, to znaczy, że te metody przekształcania zostały empirycznie udowodnione, a przynajmniej silnie uprawdopodobnione. Wtedy można wziąć zdanie empirycznie prawdziwe, przekształcić tymi indukcyjnie udowodnionymi metodami i dostać na końcu zdanie, które uznamy za empirycznie prawdziwe, tak, że nie trzeba go uzasadniać jakimś doświadczeniem.
A zatem pewne reguły wnioskowania są bardziej prawdziwe, a inne mniej, bo jedne są lepiej empirycznie potwierdzone, a inne gorzej.
Z powyższego opisu wynika, że są dwie matematyki:
ta fizyczna wyrażająca zgodność rachunku z rzeczywistością empiryczną
i ta druga odjechana, w której w ogóle rzeczywistości empirycznej nie bierze się pod uwagę, choć jej ustalenia (a więc matematyki odjechanej) próbuje się na rzeczywistość empiryczną narzucić (słynny przykład Achillesa, który nie może dogonić żółwia z założenia, bo z założenia granica podziału nie jest możliwa).
Jest kilka prawdopodobnych powodów, dla których Alfred Nobel nie stworzył nagrody dla matematyków. Wola Nobla dotyczyła "wynalazków i odkryć", przynoszących ludzkości największe korzyści, mając prawdopodobnie na myśli prace praktyczne, a nie teoretyczne. Matematyka nie była uważana za naukę, która może przynieść ludzkości praktyczne korzyści.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Nagroda_Nobla#Brak_nagrody_w_dziedzinie_matematyki
Newton mógłby dostać Nobla z fizyki za matematykę fizyczną, a jego przeciwnik Leibniz już nie - a więc matematyka wcale przez Nobla nie została pominięta.
wyraźnie uwidacznia się w tytule dzieła Newtona: Philosophiae naturalis principia mathematica Matematyczne zasady filozofii przyrody
Badacz nie tworzy założeń, lecz opis Świata jaki jest - nie wymyśla więc matematyki, lecz ją odkrywa.
Ostatnie lata życia postanowił poświęcić się historii matematyki. Temat ten zawsze go fascynował, o czym świadczą historyczne wstępy dołączone do wszystkich dzieł Bourbakiego, na ogół przez niego pisane. Skorzystał także z okazji, aby opublikować swoje prace naukowe w trzech tomach. Zmarła jego żona Éveline24 maja 1986a wraz z nim pragnienie życia André. Przeżyli razem ponad pięćdziesiąt lat życia, a ona była jego wieczną towarzyszką, pomimo niewielkiej sympatii okazanej mu przez rodzinę Weilów. Po śmierci Eveline stan zdrowia Weila uległ pogorszeniu. Stopniowo tracił wzrok i słuch, często upadał. Mając ponad 80 lat, nadal regularnie odwiedza IAS .6 sierpnia 1998zmarł spokojnie w swoim domu w Princeton. Nawet jeśli nigdy nie wierzył w reinkarnację ani w przyszłe życia, wiedział, że jego praca matematyczna przetrwa i pozostanie
języki typu 0 – rekurencyjnie przeliczalne (maszyna Turinga),języki typu 1 – kontekstowe (automat liniowo ograniczony),języki typu 2 – bezkontekstowe (automat ze stosem),języki typu 3 – regularne (deterministyczny automat skończony).
Język należy do danej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy jest możliwe zbudowanie gramatyki formalnej, która generuje dany język, a której reguły nie wykraczają poza ograniczenia dla danej klasy. Zdefiniował on także postać normalną, czyli zapis gramatyki języków bezkontekstowych.