Zagadka: jak wywołać efekt synergiczny?

Wraca cykl zagadkowy na moim blogu. Będzie fajna zagadka. Ale to nie wszystko - do zagadki dodam wątek społeczny. Już jedną taką zagadkę kiedyś zadałem. Chodzi o: piratów. A tu jest lubczasopismo, gdzie opublikowano wiele ciekawych zagadek: Zagadki – z lewej strony jest tematyczny podział zagadek – są zagadki matematyczne i logiczne, ale też literackie czy fotograficzne. Każdy znajdzie coś fajnego dla siebie. 

Ta piracka zagadka jest dobrą analogią demokracji. Chodzi w niej o to, że najsilniejszy pirat ma zaproponować swoim kompanom najlepszy podział złotych monet. Piraci głosując większością głosów zgadzają się na propozycję podziału, albo ją odrzucają, co skutkuje wyrzuceniem tego najtwardszego za burtę, i potem następny w kolejności proponuje – i tak dalej. Każdy pirat zgadza się na podział gdy dostanie najwięcej ile się da, a gdy dostanie mniej to głosuje za wyrzuceniem za burtę tego proponującego podział. Piraci nie kierują się emocjami, ale optymalizują swoją decyzję. Liczy się tylko zysk – im większy, tym lepiej.

Rozwiązanie tej zagadki jest takie, że jeśli będzie dziesięciu piratów i sto monet, to ten najsilniejszy bierze sobie dziewięćdziesiąt sześć monet, a po jednej daje czterem innym i wygrywa głosowanie. To jest optymalne rozwiązanie dla wszystkich. Więcej żaden nie ma szans dostać. Można to matematycznie udowodnić.

W demokracji też dokładnie tak jest - rządząca partia zgarnia prawie całą kasę, a małą częścią musi przekupić połowę elektoratu dając im jakieś marne ochłapy - druga połowa wyborców nie dostaje nic. Tak działa demokracja.

A teraz właściwa zagadka. Otóż pewien profesor matematyki zorganizował swoim studentom zabawę. Jest ich tysiąc. Profesor tłumaczy im zasady zabawy, potem pozwala im się umówić co do strategii działania w zabawie, a następnie studenci dowolnie, tak jak się umówili, ustawiają się w rzędzie, gęsiego, jeden za drugim, tak, że pierwszy stoi tyłem do wszystkich i nikogo nie widzi, drugi widzi tylko pierwszego, trzeci dwóch przed sobą i tak dalej, każdy widzi tych przed sobą, nie widzi tych za sobą. Ostatni widzi wszystkich.

Profesor ma tysiąc jeden kapeluszy z wypisanymi z tyłu numerami od jednego do tysiąc jeden. Jeden kapelusz chowa, a resztę zakłada studentom, każdemu po jednym, tak, że każdy student widzi wszystkie numery przed sobą, ale nie widzi numeru na swoim kapeluszu i tych z tyłu. Ostatni widzi więc 999 numerów, przedostatni 998 i tak dalej - pierwszy nic nie widzi.

No i teraz każdy student począwszy od ostatniego musi podać numer kapelusza jaki sam ma na głowie. Wolno podać tylko liczbę od jeden do tysiąc jeden - nie wolno nic innego mówić, ani podawać innych liczb. Nie wolno podawać liczby, która już padła, którą już ktoś próbował zgadnąć. Kto zgadnie jaki numer ma jego kapelusz dostanie sto złotych, kto nie zgadnie nic nie dostanie. Profesor nie losuje kapeluszy, układa je jak chce, być może najbardziej złośliwie, tak by było trudno zgadnąć.

Jeśli ktokolwiek złamie zasady, odwróci się, powie coś innego niż dozwolone liczby, da jakiś sygnał etc. to profesor wszystkim odbiera pieniądze - nikt nic nie dostaje. Liczbę wymawia się na głos, tak że każdy ją słyszy, a profesor wypłaca po sto złotych od razu po podaniu prawidłowej liczby, tak że wszyscy słyszą czy dany student zgadł, czy nie. Raz powiedzianej liczby nie wolno następnym powtarzać.

Wydaje się, że sprawa jest prosta. Ostatni student widzi 999 numerów, więc ma do wyboru dwa numery. Więc z prawdopodobieństwem 1/2 zgadnie numer swojego kapelusza. Przedostatni ma do wyboru trzy numery, ale słyszy co powiedział ten ostatni. Więc jemu pozostają też tylko dwa numery do wyboru, bo ten, który usłyszał odpada, bo ten ostatni widzi co ma przedostatni i nie powie, że ma taki numer jaki widzi - a więc znów przedostatni zgadnie z prawdopodobieństwem 1/2. I tak dalej, każdy będzie miał do wyboru dwa numery.

Widać, że średnio statystycznie studentom da się w sumie zarobić 500*100 zł czyli 50 tysięcy zł. Ale to nie jest pewne, tylko najbardziej prawdopodobne. Czy da się więcej? Czy studenci mogliby opracować strategię pozwalającą zarobić w sumie więcej i na pewno, a nie z pewnym prawdopodobieństwem? Zagdaka więc brzmi: co mogliby zrobić studenci, by zarobić w sumie więcej? Czy mogliby się jakoś umówić by dostać więcej na pewno? Ile da się najwięcej zarobić?

Wyjątkowo podam rozwiązanie tej zagadki. Ale nie do końca. Podam rozwiązanie, ale bez uzasadnienia. Należy udowodnić, że tak się da.

Otóż jest taka strategia, że studenci mogą w sumie zarobić 998*100 zł, czyli 99 800 zł. Każdy dostanie po stówie oprócz dwóch. Ostatni, ten który zaczyna, poda jakiś numer, który widzi u innego studenta. Więc on nic nie dostanie. Nic też nie dostanie ten, którego numer poda, bo on już nie będzie mógł podać tego numeru. Reszta poda dokładnie ten numer, który widnieje na ich kapeluszach. Nie będą zgadywać - obliczą to sobie i odpowiedzą na pewniaka.

Póki w komentarzach nie przeczytacie rozwiązania, czyli opisu strategii pozwalającej tyle zarobić, musicie mi uwierzyć na słowo, że się da.

Ta zagadka jest analogią pokazującą jak współpraca wywołuje efekt synergiczny. Jeśli każdy działa indywidualnie, nie współpracuje, nie myśli, nie komunikuje się z innymi, to każdy średnio statystycznie dostanie po 50 zł - jeden nic, drugi 100 zł. Ale jeśli pomyślą, umówią się, jeśli jeden się poświeci, a potem poświęci drugiego, to reszta dostanie więcej i to na pewno, a nie z pewną szansą.

Tych dwóch nawet nie musi się poświęcać, bo mogą się umówić, że po zabawie całą wygraną kwotę podzielą po równo na wszystkich, tak, że każdy dostanie 99 zł 80 gr. Mogą też ustalić, że ten, który wymyślił strategię, albo kilku, którzy pracowali przy jej wymyśleniu dostanie więcej, a reszta mniej. Niemniej gdy będą współpracować, to każdy dostanie na pewno ponad 50 zł.

Dodatkowo widać, że to musi być współpraca dobrowolna. Nie da się nikogo zmusić przemocą, by współpracował, bo powodzenie całej akcji zależy od każdego, więc każdy musi w to wejść dobrowolnie. Jeśli kogoś się zmusi siłą, albo ustalą, że dostanie mniej niż 50 zł ze wspólnej puli, to każdy może się zbuntować i nie tylko zepsuć zabawę łamiąc reguły, podając niedozwoloną liczbę, albo odwracając się, ale może zepsuć obliczania podając legalną, zgodną z zasadami, ale nieprawidłową, niezgodą ze strategią, liczbę - sam nic nie dostanie, ale spowoduje, że wszyscy po nim dostaną mniej, bo będą musieli zgadywać. Z drugiej strony nikomu się nie opłaca psuć zabawy, bo każdy kto postąpi nielegalnie lub niezgodnie ze strategią nic nie dostanie.

Myślę, że ta zagadka to analogia do wolnego rynku i wolnościowej gospodarki. Ani przemoc państwa zmuszająca ludzi do kolektywnych działań, ani pełen indywidualizm nie wywołują efektu synergicznego. Maksymalizację synergii daje tylko dobrowolna, mądra, pokojowa, przemyślana, zaplanowana współpraca. Współpraca racjonalna, oparta o rozum i myślenie, a nie wsparta emocjami czy spontanicznością. Wolny rynek to właśnie taka współpraca. Każda interwencja państwa i każdego innego podmiotu inicjującego przemoc tylko to psuje, co uzasadniam w wielu notkach.

Grzegorz GPS Świderski

---

PS. Przypominam, że zagadka o kapeluszach już kiedyś była, ale łatwiejsza - kapelusze były tylko czarne i białe: Matematycy w kapeluszach.

Wjeżdża kto chce i wwozi co chce <- poprzednia notka

następna notka -> Altruistyczny kapitalizm