Cztery punkty na Ziemi

Znów mam ciekawą zagadkę na wakacje.

Weźmy sobie sferę. W przybliżeniu to powierzchnia Ziemi. No i zaznaczmy na sferze cztery różne punkty. W przybliżeniu to po prostu jakieś miejsca na Ziemi. Jak je ułożyć, by były jak najbardziej oddalone od siebie? Będą bardzo rozproszone gdy nie da się narysować na tej sferze takiego koła wielkiego (a zatem  na przykład równika czy południka) by wszystkie znalazły się na jednej półkuli. Jak będą na jednej półkuli to będą tak jakoś bardziej skupione, nie? Obszar, na którym są, będzie mniejszy lub taki sam, jak obszar, na którym ich nie ma.

Zdefiniujmy zatem co to jest to duże rozproszenie. Weźmy wszystkie odległości między dowolną parą punktów. Oczywiście chodzi o odległość w lini prostej, a nie po łuku - ale w zasadzie to nie ma znaczenia. I weźmy minimalną wartość tych odległości. Ona mierzy to rozproszenie. Im większa będzie ta minimalna odległość, tym rozproszenie będzie większe. Dla jakiej odległości rozproszenie będzie maksymalne?

To zadanie jest proste. Ustawiamy te punkty w wierzchołkach czworościanu foremnego wpisanego w sferę. Szukana odległość do długość krawędzi tego czworościanu. Więcej się już nie da.

No to teraz przystępujemy do właściwego zadania. Weźmy teraz nie minimalną odległość ale maksymalną. Należy udowodnić, że gdy ta maksymalna będzie mniejsza od długości krawędzi czworościanu foremnego wpisanego w sferę, to te nasze cztery punkty zawsze znajdą się na jednej półkuli.

Jeśli uda się to udowodnić, to będzie to znaczyło, że jeśli weźmiemy to maksymalne rozproszenie, jeśli staniemy w czterech punktach jak najbardziej oddalonych od siebie, w wierzchołkach czworościanu foremnego, takich, że te punkty nie będą na żadnej półkuli jakkolwiek byśmy jej nie wyznaczyli, to wystarczy, że wszystkie te odległości zmniejszymy troszeczkę, minimalnie, choćby o milimetrzyk, a już wszyscy znajdziemy się na jednej półkuli.

Ciekawe nie? Kto to potrafi udowodnić? A może to nieprawda?

Dla tych, dla których to zadanie jest za trudne mam łatwiejsze na pocieszenie. To zadanie nawigacyjne. Jesteśmy w Polsce, w Warszawie. Mamy kompas. Zgodnie z tym kompasem wybieramy kierunek dokładnie za wschód, czyli namiar 90 stopni. I idziemy prosto przed siebie po linii prostej (a konkretnie po „prostym” łuku, a zatem po ortodromie). I gdy będziemy szli bardzo długo, przez wiele tygodni, to gdzie dotrzemy? Do Kamczatki, Japonii, czy Australii? A gdy pójdziemy dokładnie na zachód, namiar 270 stopni, to gdzie dojdziemy? Do Kanady, USA, czy do Ameryki Południowej?

 

Grzegorz GPS Świderski

Prostokąty w prostokącie <- poprzednia zagadka

następna zagadka -> Gdzie jest wschód? Gdzie jest zachód?

"Marynarz" na Pajęczej <- poprzednia notka

następna notka -> Ekonomiczne obliczenia partii politycznych