Dwóch chłopców

  Oka­zu­je się, że od­po­wie­dź nie je­st jed­no­znacz­na, bo za­le­ży od in­ter­pre­ta­cji uży­ty­ch słów. To praw­do­po­do­bień­stwo za­le­ży od in­for­ma­cji, ja­kie ma­my o tej sy­tu­acji. In­ten­cje opo­wia­da­ją­ce­go tę hi­sto­rię, czy to, kim je­st, ma­ją zna­cze­nie, bo mo­że­my mieć wię­cej in­for­ma­cji o tym skąd­inąd. Bo to opo­wie­ść z ży­cia wzię­ta, a nie abs­trak­cyj­na, na­wet je­śli je­st zmy­ślo­na. Istot­ne je­st to, ile in­for­ma­cji o jed­nym z sy­nów prze­ka­zu­je nam au­tor i dla­cze­go aku­rat te. W za­leż­no­ści od te­go, ja­kie ma­my in­for­ma­cje, to praw­do­po­do­bień­stwo bę­dzie licz­bą po­mię­dzy 1/3 i 1/2.

  Nie cho­dzi o to, że praw­do­po­do­bień­stwo zmie­nia się w za­leż­no­ści od in­for­ma­cji. To zda­rze­nie już za­szło, ono je­st pew­ne, więc nie ma już praw­do­po­do­bień­stwa, bo te li­czy­my głów­nie w sto­sun­ku do zda­rzeń przy­szły­ch, któ­re prze­wi­du­je­my. Praw­do­po­do­bień­stwo sza­cu­je­my tyl­ko w sy­tu­acji nie­pew­no­ści. Co do zda­rzeń przy­szły­ch za­wsze ma­my nie­pew­no­ść, ale cza­sem ma­my nie­pew­no­ść co do zda­rzeń prze­szły­ch, bo nie wie­my, co się do­kład­nie sta­ło, ma­my szcząt­ko­we in­for­ma­cje i chce­my osza­co­wać, z ja­kim praw­do­po­do­bień­stwem mo­gło się stać coś bar­dziej kon­kret­ne­go niż to, co wie­my. Im wię­cej się do­wie­my, tym ma­my więk­sze praw­do­po­do­bień­stwo, że zda­rzy­ło się coś, nad czym się za­sta­na­wia­my.

  Na­ukow­cy i de­tek­ty­wi tak mu­szą sza­co­wać. Ale jed­ni z ni­ch wie­dzą wię­cej niż in­ni i ci z więk­szą wie­dzą le­piej sza­cu­ją, je­st więk­sze praw­do­po­do­bień­stwo, że ma­ją ra­cję. Oni wie­dzą, ale nam to mo­że nic nie da­wać, bo mo­gą nas oszu­ki­wać. Im wię­cej wie­my o świe­cie, tym z więk­szą pre­cy­zją mo­że­my twier­dzić, co się daw­niej dzia­ło. Im ma­my wię­cej in­for­ma­cji o ży­ciu bio­lo­gicz­nym, z tym więk­szym praw­do­po­do­bień­stwem mo­że­my twier­dzić, jak ono po­wsta­ło.

  Więc by roz­wią­zać tę za­gad­kę, naj­le­piej je­st prze­ro­bić to sfor­mu­ło­wa­nie na bar­dziej pre­cy­zyj­ne. Naj­le­piej za­mie­nić je na ja­kiś mo­del ma­te­ma­tycz­ny. Na­le­ży za­ło­żyć, że praw­do­po­do­bień­stwo uro­dze­nia chłop­ca lub dziew­czyn­ki je­st ta­kie sa­mo i wy­no­si 1/2 oraz, że praw­do­po­do­bień­stwo uro­dze­nia dziec­ka w każ­dy dniu ty­go­dnia też je­st ta­kie sa­mo i wy­no­si 1/7 i że nie ma­my żad­nej in­nej in­for­ma­cji niż to, że jed­no z dzie­ci to chło­piec uro­dzo­ny we wto­rek i au­tor za­gad­ki po­dał te in­for­ma­cje lo­so­wo, to zna­czy wy­brał jed­no ze swo­ich dzie­ci, któ­re pre­cy­zyj­niej opi­sał, z praw­do­po­do­bień­stwem 1/2.

  Oto przy­kład do­pre­cy­zo­wa­nia te­go za­da­nia: „Lo­su­je­my ze zwra­ca­niem dwie licz­by spo­śród liczb na­tu­ral­ny­ch od je­den do czter­na­stu. Wy­lo­so­wa­nie każ­dej z ni­ch je­st rów­nie praw­do­po­dob­ne. Ja­kie je­st praw­do­po­do­bień­stwo, że obie są pa­rzy­ste, je­śli wie­my, że jed­na z ni­ch to dwa?”. Te­raz już je­st wszyst­ko ja­sne — od­po­wie­dź na tę za­gad­kę to: 13/27. Gdy w na­szym mo­de­lu „chłop­ców” zrzu­tu­je­my na „licz­by pa­rzy­ste”, a „chłop­ców uro­dzo­ny­ch we wto­rek” na licz­bę „dwa”, to wszyst­ko sta­je się pro­ste do ob­li­cze­nia i zro­zu­mie­nia.

  Li­czy­my to, ko­rzy­sta­jąc ze wzo­ru na praw­do­po­do­bień­stwo wa­run­ko­we: P(obie licz­by są pa­rzy­ste | jed­na z liczb je­st 2) = P(obie licz­by są pa­rzy­ste i jed­na z ni­ch je­st 2)/P(jed­na z liczb je­st 2). Par liczb pa­rzy­sty­ch, z któ­ry­ch jed­na je­st 2, je­st 13: (2,2), (2,4), (2,6), (2, 8), (2,10), (2,12), (2,14), (4,2), (6,2), (8,2), (10,2), (12,2), (14,2). Par, w któ­ry­ch jed­na z liczb je­st 2, je­st 27. Mo­że­cie so­bie sa­mi je wy­pi­sać. Wszyst­ki­ch par liczb od 1 do 14 nie mu­si­my li­czyć, zo­staw­my to ja­ko nie­wia­do­mą x. Więc szu­ka­ne praw­do­po­do­bień­stwo to (13/x)/(27/x) = 13/27. A więc je­śli ktoś ma dwój­kę dzie­ci i jed­no z ni­ch je­st chłop­cem uro­dzo­nym we wto­rek, to praw­do­po­do­bień­stwo, że ma dwój­kę chłop­ców, wy­no­si 13/27.

  Gdy nie wie­dzie­li­śmy, że je­den chło­piec uro­dził się we wto­rek, to szu­ka­ne praw­do­po­do­bień­stwo wy­no­si­ło 1/3. To, co nam wy­szło, to wię­cej, ale cią­gle mniej niż 1/2, a więc szan­se, że cho­dzi o dwó­ch chłop­ców wzro­sły, gdy do­sta­li­śmy in­for­ma­cję o wtor­ku. Gdy­by­śmy się do­wie­dzie­li, że je­den z chłop­ców to bru­net z nie­bie­ski­mi ocza­mi, to jesz­cze bar­dziej by­śmy się zbli­ży­li do 1/2. A gdy­by­śmy go po­zna­li, przy­bi­li mu pio­nę i z nim po­ga­da­li, to praw­do­po­do­bień­stwo, że ma bra­ta, wy­nio­sło­by już 1/2. Bo za­kła­da­my, że każ­dy czło­wiek je­st uni­ka­to­wy, uro­dze­nie się do­kład­nie ta­kie­go sa­me­go je­st nie­praw­do­po­dob­ne, na­wet jak to są bliź­nia­ki, czy klo­ny. Po pro­stu po­zna­jąc go, ogra­ni­czy­li­śmy zbiór po­ten­cjal­ny­ch sy­nów do 1, a pó­ki tyl­ko do­sta­wa­li­śmy o nim róż­ne in­for­ma­cje, to do ni­ch pa­so­wa­ło wie­lu lu­dzi. Tak dzia­ła de­tek­tyw, że ogra­ni­cza zbiór po­dej­rza­ny­ch, mi­mo że spraw­ca je­st za­wsze kon­kret­ny.

__________________

Koniec POPiSu <- poprzednia notka

na­stęp­na not­ka -> Upadek, Odrodzenie i Ekspansja Kosmosu

__________________

Tagi: gps65, zagadka, prawdopodobieństwo