Powszechnie ( no, powszechnie to może nie, ale mniejsza z tym ) wiemy, że podstawowym opisem świata fizycznego jest opis z użyciem języka matematyki. W tym kontekście mówi się standardowo, że przyroda przemawia do człowieka w języku odpowiednich konstrukcji matematycznych – liczb, figur geometrycznych, równań algebraicznych, różniczkowych, funkcjonałów itp.
W tym kontekście często przywołuje się słowa Galileusza :
„Filozofia jest wpisana w wielką księgę – mam na myśli wszechświat – którą wszyscy widzą, ale nie można jej zrozumieć, jeśli się najpierw nie nauczy rozumieć języka oraz interpretacji znaków, których użyto do stworzenia tej książki.Dzieło to napisane jest językiem matematyki, a znakami są tu trójkąty, koła i inne figury geometryczne, bez których istota ludzka nie jest w stanie zrozumieć z owej księgi ani słowa”
W tym kontekście dla fizyki teoretycznej staje się kluczowym zbudowanie odpowiedniego modelu matematycznego – tj. modelu poprzez który, dane eksperymentalne znajdowałyby swoje teoretyczne uzasadnienie.
Poprzez model matematyczny możemy tutaj ogólnie rozumieć odpowiednio wybrany fragment ( lub całość ) określonego działu matematyki np. teorii równań różniczkowych, analizy funkcjonalnej, rachunku wariacyjnego itp. ( lub też odpowiednio połączony kompleks takich działów ), którego parametry zostały zinterpretowane fizycznie, np. wybrano dogodne jednostki i stałe fizyczne, a dalej określono której wielkości matematycznej odpowiada wielkość fizyczna ).
Schemat taki działa w określony sposób tj. da się z jego użyciem liczyc to, co nam potrzeba i np. budowac samoloty, komputery, satelity itp. itd.
Jedni przechodzą nad tym faktem ( tj. roboczo nazwijmy go matematycznością lub matematyzowalnością przyrody - konkretna terminologia zależy od szkoły filozoficznej do jakiej należy lub chce należec czytelnik ) do porządku dziennego, inni budują nad nim "nie pojmowalną i niezasłużoną" filozofię ( Wigner - jeśli mowa o konkretach ), inni zaś mają co do tego wątpliwości.
Osobiście należę do tych ostatnich - tj. uważam, że świat ( prawa natury lub jak kto chce coś innego ) nie jest matematyczny ( ani matematyzowalny ) - matematyczne prawa natury są czymś co człowiek narzuca przyrodzie w określonych obszarach zmienności parametrów fizycznych. To oczywiście nie łatwe w obronie stanowisko.
Pewne argumenty, jak i całościowy wzgląd na podany temat przedstawiam w dostępnym w poniższym linku tekście :
fizyka-teoretyczna.republika.pl/fizyka/Granicezastosowaniamatematyki.zip
Ogóne tezy mojego stanowiska są takie :
1) Matematyka jest swobodnym konstruktem naszej wyobraźni ograniczonym przez formę i doświadczenie empiryczne - tak skłaniam się ku quasiempiryzmowi matematycznemu w duchu Lakatosa. Skoro tak, to nie ma "cudownej" mocy odtwarzania rzeczywistości, bowiem sama jest niejako produktem odtworzonym i dopasowanym do rzeczywistości. Zatem, jeśli nawet świat przemawia do nas językiem matematyki ( w określonych warunkach ), to nie jest tak, że będzie to język jaki narzucimy sami, innymi słowy to przyroda określa jakie są zasady języka w jakim do nas przemawia.
2) Nie ma czegoś takiego jak model matematyczny ( w sensie fizyki teoretycznej ) bez określenia zakresu jego stosowalności tj. bez konkretnego określenia parametrów w nim występujących i określenia zakresu ich zmienności. ( stwierdzenie oczywiście trywialne ). Nie ma również takiegoż modelu w którym ujmowac można wszytskie parametry i cały ich zakres zmiennosci. Na poziomie szerokiej zmienności bardzo wielu parametrów trudno o efektywny model ( reżim dynamiki chaotycznej ), zatem w granicy by moze wogóle nie można mówi o modelu matematycznym (?)
3) Odpowiedniośc typu : przyroda - matematyzowalnośc przyrody, jest jedynie stwierdzeniem faktu - w pewnym zakresie zmienności parametrów istnieje określona struktura relacyjna, którą można modelowac w języku mamtematyki. Zatem matematcznośc przyrody jest jedynie odbiciem jej natury relacyjnej.
Każdej strukturze matematycznej ( np. relacyjnej w sensie np. strukturalizmu Bourbakiego ) odpowiada jakaś struktura rzeczywistości, inymi słowy zawsze możemy zinterpretowac fizycznie ( bilogicznie, ekonomicznie itp. )
zadaną strukturę matematyczną. I odwrotnie - odpowiednio spreparowaną strukturę rzeczywistości fizycznej, zawsze możemy wpisac w odpowieni model matematyczny.
Szerzej omawiam te zagadnienia w przedstawionym tekście. Dalej pozwole sobie jedynie podac końcowy jego fragment :
Ze swojej strony mogę dodać iż, jak to próbowałem dowieść – skuteczność matematyki jest asymptotycznie, umiarkowana.Czy matematykę w modelowaniu zjawisk fizycznych można zastąpić jakimś innym opisem ?
W pewnym stopniu przypomina to pytanie – czy filozofując ( tj. podejmując określone refleksje nad naturą rzeczy ) możemy filozofię zastąpić innym podejściem ?
W samej rzeczy nie – filozofią nazwaliśmy bowiem każdą mniej lub bardziej zorganizowaną formę refleksji, a przecież trudno prowadzić refleksje (myślenie) nie zorganizowane.
Podobnie jest z rolą matematyki – jeśli matematyką nazwiemy każdy dający się ująć w pewne ramy formalne schemat postępowania, strukturę czy też zbiór danych, to trudno jej uniknąć.
Czy prawa natury można opisywać efektywnie używając np. języka poezji, malarstwa czy tez muzyki ?
Oczywiście tak, pod warunkiem, że w wymienionych dziedzinach możemy wyróżnić określoną strukturę dającą się sformalizować innymi słowy – strukturę o określonym modelu.
Jak wiemy o takie struktury jest tam trudno, zatem użycie takich środków jest bardzo mało efektywne.
Oczywiście można namalować obraz olejny przedstawiający fazy Księżyca, można napisać wiersz o zachowaniu płynu, można zagrać coś co naśladuje odgłosy eksplozji, wreszcie można wprowadzić określony porządek w zbiorze nut i opisywać z jego pomocą wyniki pomiarów, ale takie środki nie są w stanie konkurować z metodami matematycznymi.
Można pokusić się o stwierdzenie iż nikt nie wymyśli niczego lepszego do opisu praw natury niż formalizm matematyczny, a jeśli nawet powstanie określona struktura, to okaże się iż jest ona morficzna z pewną strukturą matematyczną.
Jeśli w przyrodzie panuje określony porządek ( tj. rządzą nią określone prawa ), to porządek ten może być wyrażony w języku matematycznych struktur – np. uporządkowanych relacji pomiędzy elementami danego zbioru.
Jeśli takiego porządku nie ma – a jak starałem się pokazać, być może tak jest dla określonych zakresów zmiennych fizycznych – to żaden model nie jest w stanie ująć takiego stanu rzeczy.
W tym przypadku nasuwa się analogia z algorytmiczną ściśliwością tj. np. z zagadnieniem poszukiwania efektywnych algorytmów kompresji danych.
„Mówiąc ogólnie, im krótsze jest możliwe przedstawienie ciągu liczb tym ciąg jest mniej przypadkowy. Jeśli skrócone przedstawienie w ogóle nie istnieje, to ciąg jest rzeczywiście przypadkowy : nie ma w nim żadnego uporządkowania, które mogłoby być wykorzystane do skróconego zakodowania informacji, którą zawiera.
Nie istnieje jakieś inne przedstawienie tego ciągu, różne od przedstawienia, które składa się z wypisanych po kolei elementów ciągu. Ciąg symboli, który można przedstawić w postaci skróconej, będziemy nazywali ciągiem algorytmicznie ściśliwym.
Zgodnie z omawianym poglądem naukę uznaje się za poszukiwanie algorytmicznych skrótów. Wypisujemy ciąg danych obserwacyjnych. Próbujemy budować algorytmy, które w skrócony sposób przedstawiałyby informacje zawarte w ciągach danych. Badając, czy nasze hipotetyczne skróty pozwalają przewidzieć następne elementy ciągu, sprawdzamy ich poprawność. Bez rozwoju algorytmicznych kompresji danych nauka podobna by była do zbioru znaczków : byłaby kolekcją wszystkich niezróżnicowanych i dostępnych nam faktów. Podstawa nauki jest przekonanie, że Wszechświat jest algorytmicznie ściśliwy. Współczesne poszukiwania Teorii Wszystkiego są ostateczną konsekwencją przekonania, że u podstaw struktur Wszechświata tkwi jakaś logika, która da się przedstawić w sposób skrócony i którą człowiek może zapisać w skończonej postaci”
[22, str. 25]
Inne tematy w dziale Technologie
