Elektrodynamika klasyczna - zarys struktury matematycznej.

Klasycznym przykładem zastosowania metod rachunku wektorowego i tensorowego jest elektrodynamika klasyczna, nazywana też elektrodynamiką Maxwella- Faradaya. Z estetycznego punktu widzenia, można powiedzieć, że jest to "piękna teoria" (tak na marginesie, według mnie kryterium "piękna" teorii fizycznych jest pozbawione istotnego sensu ).

Sednem tej teorii są oczywiście równania Maxwella. Ich sformułowanie z użyciem metod rachunku wektorowego jest powszechnie znane i posiada poglądowe reprezentacje - pola wektorowe o odpowiednich własnościach w przestrzeni Euklidesa + ich własności analityczne. I tutaj należałoby docenić zalety zastosowania rachunku wektorowego (co nie jest zasługą Maxwella, tak na marginesie ).

Zwartość i przejrzystość zapisu czynią tę teorię poglądową. I tutaj po raz kolejny widać jak funkcjonuje metoda

interpretacji fizycznej wybranego działu matematyki tj. fizyki teoretyczna + fizyka matematyczna.

Pierwszym nietrywialnym zagadnieniem jakie należy zaakcentować, jest dynamika tych pól, a drugim ich fizyczne pochodzenie. Elektrostatyka i magnetostatyka w obrazie dynamicznym łączą się w jeden obraz pola elektromagnetycznego, a źródłowośc takich pól pozostaje domeną empirii fizycznej.

Warto zwrócić uwagę na kwestię tego, co mówi nam matematyka i tego co wynika z fizyki, a w tym kontekście ważnym jest porównanie swobodnych równań Maxwella i równań źródłowych. I tutaj z pomocą przychodzi matematyka.

(potencjały i ich symetrie, istnienie rozwiązań, warto również zwrócić uwagę na istotne cechy różniczkowego i całkowego zapisu równań Maxwella ). Dalszym "rozwinięciem" jest zapis z użyciem tensora pola elektromagnetycznego i czterowektorów.

To oczywiście zazwyczaj czynione jest w ramach formalizmu STW, na terenie którego elektrodynamika "rozwija swoje skrzydła". Zależności dynamiczne pól wektorowych, poprzez unifikacje w zapisie relatywistycznie niezmienniczym stają się wyraźniejsze. I tutaj kolejny raz widać rolę odpowiedniego formalizmu matematycznego.

Dalej kuszeni siłą zastosowania matematyki możemy wypowiedzieć równania Maxwella z użyciem form zewnętrznych

Wydawać by się mogło, że taki zapis jest przerostem "formy nad treścią", ale nic bardziej mylnego. Byc może dla potrzeb "inżynierii i techniki" jest to zapis "nadmiarowy", ale dla potrzeb dalszych uogólnień i "zaglądania fotonowi pod ogon" jest on istotnie niezbędny. Zaprzężenie do pracy teorii matematycznej zwanej "analizą na rozmaitościach" daje wymierne korzyści, w postaci jasnych uogólnień nieprzemiennych i formalizacji geometrycznego typu (wiązki włókniste i rozmaitości różniczkowe ).

Dalej możemy również powiązać dwie teorie : ogólną teorię względności i elektrodynamikę, wyrażając je w postaci równania Einsteina - Maxwella.

Ogólnie mówiąc, elektrodynamika posiada bardzo bogata strukturę matematyczną, pozwalającą na wielokierunkowe uogólnienia. Struktura ta w obrazie kwantowym daje nam liczne przejawy swej natury np. w postaci holonomii 4-potencjału.

Ogólny szkic w/w struktur (+ literatura ):