Strukturalizm matematyczny

Strukturalizm matematyczny. 
Na matematykę można spoglądać z różnych perspektyw, można przyjmować taką, lub inną filozofię jej – jak, to się mówi ugruntowania, można być pragmatykiem – mając na względzie jej zastosowania, lub teoretykiem – analizując i dowodząc kolejnych jej twierdzeń. Można również być matematykiem, nie zagłębiając się w jej uwarunkowania filozoficzne, czy też historyczne.
Faktem jest, że przez liczne wieki rozwoju, matematyka nie doczekała się jednolitego i formalnego opisu, czym właściwie ona jest – w swej istocie - i jakie posiada fundamenty.
Klimat tego faktu, być może trafnie oddają słowa B. Russella :
Matematyka może być zdefiniowana jako nauka, w której nigdy nie wiadomo o czym się mówi i czy to, co się mówi, jest prawdą.

Poza, takimi fatalistycznymi słowami można wymienić i inne opinie :       
Matematyka – jest to nauka o nieskończoności (H. Weyl )
Matematyka – jest to nauka o mierze i porządku (R. Kartezjusz )
Matematyka  - jest to sztuka dawania różnym rzeczom, ogólne nazwy ( H. Poincare )
Matematyka – jest to część logiki (logicyści )
..... 
Inne myśli zobacz np. :
http://www.matematyka.wroc.pl/book/o-matematyce

Ogólne autorskie spojrzenie na matematykę :
http://fizyka-teoretyczna.pl/tekstyinne/Ogolnometodologiczne_aspekty.pdf

Pośród licznych stanowisk, opinii i upodobań (których kilka wymieniono powyżej ) jest i taka, która nazywa się „strukturalizmem matematycznym”
Głównym twórcą i współczesnym prekursorem strukturalizmu matematycznego był  Nicolas Bourbaki
( jak powszechnie wiadomo – była to grupa matematyków, której „ojcem” był matematyk francuski Jean Dieudonné  ) 
Strukturaliści przychylają się do poglądu mówiącego, że matematyka, jest to nauka aksjomatyczno- dedukcyjna, w której buduje się i bada określone struktury – struktury matematyczne.
Dalsze wyjaśnienia opierają się na wskazaniu jak funkcjonuje takie podejście w praktyce matematycznej.
 
Streszczenie takiego poglądu wyłożył Nicolas Bourbaki w artykule, który pozwalam sobie przetłumaczyć  :

http://fizyka-teoretyczna.pl/tlumaczenia/N_Bourbaki_Architektura_matematyki.pdf

Tutaj jedynie fragment :
....
„Teraz można wyjaśnić, co należy rozumieć w przypadku ogólnym pod pojęciem struktury matematycznej.
Ogólną cechą różnych pojęć, ujednoliconych poprzez nazwę rodową, jest to, że są one stosowane do zbioru elementów natura, których nie jest określona
( trzymamy się tutaj na tzw. „naiwnego” punktu widzenia i nie rozważamy subtelnych zagadnień o naturze półfilozoficznej, półmatematycznej pojawiających się w związku z problemem „natury” „obiektów” matematycznych. Ograniczymy się jedynie do uwagi iż pierwotny pluralizm w naszych wyobrażeniach  takich „obiektów” pomyślanych na początku jako idealizowane „abstrakcje” zmysłowego doświadczenia i zachowujący wszelką różnorodność takich odczuć, w wyniku analiz aksjomatycznych XIX – XX wieku, został zamieniony  na jednolita koncepcję, polegająca na kolejnym sprowadzaniu  wszystkich pojęć matematycznych, na początku do pojęcia liczby całkowitej, następnie w drugim etapie do pojęcia zbioru.
Pojecie zbioru rozpatrywane długi czas jako „pierwotne” i „nie definiowalne”, było obiektem wielu sporów, związanych z charakterem jego wyjątkowej ogólności i bardzo zwodniczej natury, jaką wyzwala w naszej wyobraźni.
Trudności znikły wtedy, kiedy znikło samo pojęcie zbioru ( a wraz z nim wszystkie metafizyczne pseudoproblemy związane z „obiektami” matematycznymi ) i było to związane z niedawnymi pracami dotyczącymi formalizmu logicznego
(*zapewne mowa o pracach B. Russella *)
Z punktu widzenia tej koncepcji jedynymi obiektami matematycznymi stają się – ogólnie mówiąc – struktury matematyczne. Szczegółowe omówienie takiego punktu widzenia czytelnik znajdzie w następujących dwóch artykułach :
Dieudonne’ J. Les methodes axiomatiques modernes et les fondements des mathe’matiques
Revue Scientifique 78 (1939), 224- 232
Cartan H. Sue le fondement logique des mathe’matiques
Revue Scientifique 81 (1943), 3- 11

Aby zdefiniować struktury, zadaje się jedną lub wiele relacji, w jakich znajdują się elementy tego zbioru ( w przypadku grupy – jest to relacja xty = z miedzy trzema dowolnymi elementami )
( W rzeczywistości taka definicja struktury nie jest na tyle ogólna, na ile wymagają tego matematycy. Należy również uwzględnić i ten przypadek, kiedy relacje, określające daną strukturę, zachodzą nie miedzy elementami rozpatrywanego zbioru, a miedzy podzbiorami  tego zbioru, a nawet w ogólniejszym przypadku – między elementami zbiorów „wyższego rzędu” w tzw. teorii klas. Dalsze szczegóły czytelnik  znajdzie w naszych książkach :
„Ele’ments de mathe’matique” księga I ; Actual. Scient. Et Industr. No 846
Następnie postuluje się, że dana relacja lub dane relacje  spełniają pewne warunki (które się wymienia i które są aksjomatami rozpatrywanej struktury.
W przypadku grup należałoby, jeśli trzymać się pełnej ścisłości, przyjąć jako aksjomat oprócz a, b, c również stwierdzenie o tym, że relacja z = xty określa jedno i tylko jedno z, kiedy dane są x, y.
Zazwyczaj przyjmuje się iż własność ta jest domyślnie spełniona poprzez sam zapis takiej relacji.
Zbudować teorię aksjomatyczną danej struktury – to znaczy wyprowadzić logiczne następstwa z aksjomatów struktury, pomijając wszelkie inne stwierdzenia dotyczące rozpatrywanych elementów ( w szczególności, pomijając wszelkie hipotezy dotyczące ich „natury” )

Więcej o strukturach matematycznych w notce :

http://fizyka-teoretyczna.pl/tekstyinne/struktury_matematyczne.pdf

Dlaczego akurat strukturalizm matematyczny ?
No cóż, oprócz motywów filozoficznych, przeważają motywy praktyczne, otóż strukturalizm matematyczny jest według mnie najlepszym punktem wyjścia do wprowadzenia w metody matematyczne w fizyce teoretycznej i analizę zagadnienia tzw. „matematyczności przyrody”.
Struktura matematyczna, odpowiada w określonym sensie i określonym stopniu strukturze zjawisk fizycznych.