Piękna fizyka: dlaczego E = m c kwadrat, a gwiazdy świecą

dział: Nauka (drodzy Redaktorzy: uprzejmie proponuję założyć nowy dział s24 "Nauka". Nie jest ona bowiem i nigdy nie była podrozdziałem Technologii, do której nie należy też ta historia).

artykuł opublikowny został w czasopiśmie Delta w maju 2019 r. 

E = mc². Energia to masa spoczynkowa razy kwadrat prędkości światła. Czyż jest prostsza i piękniejsza zależność opisująca nasz świat? Równanie Alberta Einsteina, oparte na jego szczególnej teorii względności powstało sto kilkanaście lat temu i pozwoliło Arturowi Eddingtonowi wyjaśnić skąd gwiazdy biorą energię którą promienują, w tym jak, i jak długo Słońce ogrzewa Ziemię. Opiera się o nie także działanie wszelkiego rodzaju bomb od termojądrowych do termobarycznych, oraz wszelkich silników spalinowych, zmieniających w reakcji spalania drobną część masy paliwa i utleniacza w energię. Doskonale sprawdza się też w CERNie pod Genewą, gdzie energię zamieniają w masę: fizycy produkują tam masę nowych cząstek (w obu znaczeniach słowa) z energii zmiennego pola magnetycznego, przyspieszającego w akceleratorze cząstki, trochę podobnie, jak pulsar wysyła w kosmos swe dwa strumienie promieni gamma i masywnych cząstek (przechodzących jedne w drugie w procesie kreacji i anihilacji). Dziwne tylko, że żaden absolwent szkoły średniej i prawie nikt kończący nawet studia fizyki nie umie w sposób elementarny udowodnić, że E = mc². Czas to zmienić. Dodatkowo, zobaczymy jak astronomia i fizyka pomogły sobie nawzajem sto lat temu.

DOWÓD  E = mc²

Oto dowód elementarny, będący jednak w miarę ścisłym eksperymentem myślowym. Dokładnie takim, jakie uwielbiał robić Einstein. W świecie bez tarcia i powietrza, na szynach stoi wagon o masie M. Para cząstka-antycząstka o całkowitej masie m znajduje się początkowo na lustrze zawieszonym na lewej wewnętrznej ścianie wagonu. Zachodzi anihilacja, cząstki znikają i pojawiają się fotony, które poruszają się z prędkością światła c od lewej do prawej ściany wagonu wzdłuż osi x. Niosą energię E anihilacji masy m, oraz pęd p = E/c (to właściwość fotonów znana już z równań elektrodynamiki Maxwella). Po czasie Δt fotony dolatują do prawej ściany, gdzie ich energia E z powrotem zmienia się w masę cząstek m. Emisji fotonów o pędzie p towarzyszy odrzut, ruch wagonu z pędem -p. Wagon przemieszcza się w czasie Δt w lewo z prędkością -p/M, czyli -E/(cM), a po uderzeniu fotonów w prawą ścianę, zatrzymuje się. Nieruchomy środek masy układu leży w punkcie x_CM = (M x_M + m x_m)/(M+m).  Niech  Δ oznacza różnicę między wielkościami na końcu i początku eksperymentu. Zmiana położenia środka masy jest zerowa:

0 = (M+m) Δx_CM = Δ(M x_M + m x_m) = M Δx_M + m Δx_m.
Współrzędne wagonu M i masy m zmieniają się w czasie  Δt odpowiednio o:  Δx_M = -E/(cM) Δt, oraz  Δx_m = c Δt. Dlatego
0 = -(E/c) Δt + mc Δt,       czyli   E = mc² ,   c.b.d.o.

EINSTEIN KONTRA EDISON

Dwa lata po opisaniu w 1905 r. w dwóch artykułach swej Szczególnej Teorii Względności lub w skrócie STW, Albert Einstein zdawał egzamin habilitacyjny. Członek komisji zapytał kandydata dla żartu, czy umie udowodnić twierdzenie: E = mc², na co uczony odpowiedział: -- "Nie zapamiętałem dowodu. Ale wiem dokładnie, gdzie znaleźć na półce książkę, w której to udowodnione". Czy to prawdziwa anegdota? Prawie na pewno tak! Einstein zawsze mawiał, że większością informacji nie warto zaprzątać pamięci, można je znaleźć w książkach. Gdy odwiedził po raz pierwszy słynny uniwersytet Harvarda w Bostonie, w Ameryce budziła emocje kontrowersja wokół długiego kwestionariusza z pytaniami o mało istotnych szczegółach z różnych dziedzin wiedzy, który wynalazca Thomas A. Edison dawał  kandydatom do pracy w swej spółce by sprawdzić czy mają dobrą pamięć. Einstein zapytany o prędkość dźwięku (jedno z pytań testu) albo rzeczywiście nie pamiętał, albo udał że nie wie, by móc jeszcze raz powiedzieć: "Nie przechowuję takich informacji w moim umyśle, są dostępne w podręcznikach".  Polemizując ze słabo wykształconym Edisonem, który ogłosił że edukacja wyższa jest niepotrzebna, Einstein podkreślił, że tak nie jest: rozwija bowiem zdolności i ma nie tę wartość, że uczy faktów, lecz że uczy jak myśleć.

PRZYDATNE UOGÓLNIENIE

Energia E w trakcie eksperymentu podróżowała jako bezmasowe promieniowanie (o zerowej energii spoczynkowej), którego pęd p i energia E spełniają 

E = pc.

W ogólności, energia całkowita E to suma energii spoczynkowej mc² i energii związanej z pędem (kinetycznej), a w polach sił jeszcze też potencjalnej. Pomijając tę ostatnią, w STW udowadnia się, że dodawanie energii nie jest arytmetyczne lecz geometryczne, tj. że

 E² = (mc²)² + (pc)².

Uogólniony związek opisuje i cząstki masowe i bezmasowe o dowolnym pędzie. Jest niesłychanie przydatny nie tylko w świecie atomowym, ale i w astrofizyce wysokich i niskich energii. W granicy małych pędów cząstek materii, energia kinetyczna  jest dużo mniejsza niż spoczynkowa:  pc << mc². To domena mechaniki klasycznej, gdzie pęd definiuje się jako  p=mv,  a prędkość v spełnia v << c. Równanie upraszcza się wtedy do postaci asymptotycznej, gdzie energie sumują się arytmetycznie:

E --> mc² + p²/2m.

[Czy umiecie to pokazać matematycznie? Spróbujcie udowodnić, że im x << 1 jest mniejsze, tym lepiej (1+x)^1/2 jest przybliżane przez 1 +x/2]. Energia kinetyczna przybiera postać z fizyki newtonowskiej:

 p²/2m = mv²/2.

ASTRONOMIA DOWODZI OGÓLNĄ TEORIĘ  WZGLĘDNOŚCI

Teoria Einsteina pola grawitacyjnego jako efektu krzywizny czasoprzestrzeni, opublikowana w wersji ostatecznej w 1916 r. jako Ogólna Teoria Względności (OTW), miała z początku jeszcze więcej sceptyków niż jego STW. Dlatego zresztą kiedy w końcu, po wielu kłótniach w komitecie noblowskim Einsteinowi przyznano nagrodę Nobla za rok 1921 w roku 1922, nagrodzono prace inne niż STW i OTW. Przez wiele lat traktowano OTW jako nieudowodnioną eksperymentalnie. Można to było zrobić obliczeniowo, tłumacząc niewyjaśnioną dotąd drobną część precesji orbity Merkurego, ale można było też podać bardziej widowiskowy i bezpośredni dowód astronomiczny, obserwując przewidywany efekt soczewkowania grawitacyjnego, czyli ugięcia promieni świetlnych w kierunku masywnego Słońca. W czasie całkowitego zaćmienia Księżyc blokuje promienie słoneczne i widać pobliskie na niebie gwiazdy. Powinny one być widoczne w odległości nieznacznie większej od środka Słońca, niż w katalogu czy na dokładnej mapie nieba. Pierwsza próba zaobserwowania zjawiska przez asystenta obserwatorium berlińskiego Erwina Freundlicha i Williama Campbella z kalifornijskiego Obserwatorium Licka podjęta była już w czasie zaćmienia  w sierpniu 1914 r. na rosyjskim Krymie. Nie udała się: Amerykanin napotkał zachmurzenie, a Niemiec został aresztowany jako obywatel wrogiego państwa we właśnie rozpoczętej I w. św. Do decydującej próby odkrycia soczewkowania grawitacyjnego doszło w czasie całkowitego zaćmienia słońca w 1919 r. Próbę obserwacyjną podjął tym razem z entuzjazmem znany astrofizyk angielski Artur S. Eddington. Po zapoznaniu się z teorią grawitacji w czasie wojny światowej, w czasie której naukowcy walczących ze sobą państw całkowicie odwrócili się od siebie powodowani fałszywym uczuciem patriotyzmu, Eddington chciał włożyć swój wkład w jej empiryczne udowodnienie nie tylko jako wspanialej teorii grawitacji. Chciał też pokazać, że nauka nie zna granic i ideologii. Einstein i Eddington byli osamotnionymi w swych środowiskach pacyfistami, pierwszy w Berlinie nie wziął najmniejszego udziału w wysiłku wojennym ze względu na przekonania, drugi w Cambridge ze względów religijnych. Eddingtonowi groziło wręcz aresztowanie przez rząd angielski. Organizacja ekspedycji i wyjazd do Afryki była więc ze wszelkich względów priorytetem dla dyrektora obserwatorium w Cambridge. W dżungli,  w zatoce Gwinejskiej na wyspie Principe, Eddington wraz z pomocnikami znów napotykają w ciągu pierwszych kilku minut zaćmienia chmury! Lecz w ciągu pozostałych paru minut zaćmienia zachmurzenie mija. Trudne pomiary nielicznych dobrze naświetlonych klisz fotograficznych dają wkrótce pierwszy wynik pozytywny: Eddington zwracając się na zebraniu Naukowego Towarzystwa Królewskiego z przeprosinami w stronę portretu Newtona oznajmia, że ustanowiono nową teorię grawitacji.

TEORIA WZGLĘDNOŚCI ODWZAJEMNIA SIĘ WYJAŚNIAJĄC DLACZEGO GWIAZDY ŚWIECĄ

Gwiazdy były w końcowych dekadach XIX w. trudnym orzechem do zgryzienia. Na przykład Słońce. Wiadomo było jaką ma masę i promień, moc promieniowania i temperaturę powierzchni (5770 K). Ale nie wiadomo było poza tym prawie nic, ani z czego nasza gwiazda jest zrobiona (nieznany stan skupienia ani pełen skład chemiczny), ani jak stare jest Słońce, ani co powoduje, że świeci i grzeje. Istniała już matematyczna teoria struktury wewnętrznej gwiazd, przy pewnych założeniach co do ich materiału (materiał barotropowy, a dokładniej gaz politropowy). Wykazano w niej, że musi istnieć olbrzymia różnica (ściślej, gradient) temperatury, ciśnienia i gęstości materiału gwiazdy: bardzo wysokie wartości oszacowane całkiem poprawnie na ~10 mln K w centrum, przy zaledwie tysiącach na powierzchni. Inaczej gwiazda by się zapadła. Czy taka temperatura, czyli przeskalowana energia termiczna,  mogła wydzielić się  w procesie powstawania gwiazdy, która tworzy się z materii rozproszonej, a kończy w małej objętości, w głębokiej studni potencjału grawitacyjnego? W zasadzie tak (hipoteza Kelvina-Helmholtza uwalniania energii grawitacyjnej wskutek kontrakcji). Było jednak kilka wielkich "ale".

Jeśli powstawanie Słońca i następnie powolne kurczenie wydziela energię grawitacyjną zamienianą na światło, Słońce nie może być starsze niż około 20-30 mln lat, a inne, masywne gwiazdy nie mogłyby utrzymać się dłużej niż 30-70 tysięcy(!) lat. To nie było do zaakceptowania ani w biologii ewolucyjnej (już Charles Darwin rozumiał jak wiele czasu zajmuje ewolucja biologiczna), ani paleontologii, ani w geologii, a zwłaszcza w  używającej radioizotopów geochronologii powstałej po odkryciach H. Becquerela, Marii i Piotra Curie. Zaś w samej astronomii czas kontrakcji Kelvina-Helmholtza też przeczył obserwacjom masywnych, pulsujących gwiazd zwanych Cefeidami. Takie gwiazdy promieniują ze znacznie większą mocą niż Słońce i musiałyby kurczyć się tak szybko, że zmieniałaby kolor (temperaturę powierzchni) co najmniej 150 razy szybciej, niż pokazywały obserwacje astronomiczne. Gwoździem do trumny hipotezy K-H okazało się datowanie radioizotopowe skał ziemskich, które 'powiększały' wiek Ziemi. W roku 1921 konsensus mówił już o ponad miliardzie lat, okresie nareszcie zbieżnym z geologią i teorią ewolucji. No dobrze, ale co grzeje tak długo Ziemię i tak mocno i długo Słońce? Radioaktywność? W przypadku Ziemi to była prawidłowa odpowiedź. Na Słońcu to niewystarczające źródło. Pojawiły się głosy, że jest to jakaś podobna energia subatomowa, wyzwalana z wnętrza atomu. Powoływał się na taki mechanizm grzania Słońca w 1919 r. Henry Russell, mówił też o tym Jean Perrin.

W 1920 r. przedstawił konkretne dowody nie kto inny, jak przyjaciel Einsteina Artur Eddington. Według niego hel,  jedyny pierwiastek wykryty po raz pierwszy spektroskopowo poza Ziemią, to produkt syntezy wodoru w naszej gwieździe. Eddington użył wzoru  E = mc²  by wyjaśnić dokładne pomiary Francisa W. Astona mas pierwiastków chemicznych przy użyciu spektrometru masowego (nagr. Nobla 1922). Wg tych pomiarów, cztery jądra wodoru od których synteza helu startuje, są nieco masywniejsze od produktu końcowego reakcji -- jądra atomu helu -- o  0.8% (dzisiejsza wartość to 0.71%). Tracona w reakcji termojądrowej część masy (mniej niż 1% masy wodoru) zamieniana jest, jak zrozumiał Eddington, na energię promieniowania i ciepło, utrzymując gwiazdy w równowadze. Gwiazdy świecąc odrobinę chudną. Zasoby wodoru są w nich tak duże, a transformacje pierwiastków tak nieefektywnie powolne,  że gwiazdy podobne do naszej mogą  przetwarzać wodór przez czas aż ~10 miliardów lat, dzięki czemu ewolucja doszła od jednokomórkowców do nas.

To łatwo pokazać.  Masa Słońca obliczona z okresu ruchu i odległości od Ziemi, oraz zmierzonej w laboratorium stałej grawitacji to 2e30 kg.  Zaniedbując wymianę materiału z resztą gwiazdy i coraz mniejszy stosunek wodoru do helu w gorącym jądrze gwiazdy, przyjmijmy że tylko ono bierze udział w produkcji energii. Ma 1/5 masy Słońca. Z tego 3/4 to oryginalnie wodór, którego 0.7% znika w produkcji helu. ΔM ~ (1/5)(3/4) (0.007) 2e30 kg  jest zatem szacowanym ubytkiem masy wodoru. Całkowita energia, którą Słońce wyświeca jako normalna gwiazda to E = ΔM c², albo E ~ 1.9e44 J.

Słońce dostarcza Ziemi około 1380 W na każdy metr kw. powierzchni prostopadłej do jego promieni, co przy znanej odległości Ziemi od Słońca daje moc Słońca L=3.9e26 J/s. Energia E zapewnia wyświecanie stałego strumienia L przez długi czas:  

t = E/(dE/dt) = E/L ~ 15 mld lat.

To górne oszacowanie, gdyż nie sposób zużyć cały wodór. Słońce ma obecnie 4,6 mld lat, a stanie się coraz mocniej pulsującym czerwonym olbrzymem za kolejne ~5 mld  lat, aż zrzuci z siebie połowę masy.  Jądro Słońca zostanie odsłonięte jako biały karzeł i zacznie ostygać.  Niedawno zaobserwowano takiego nowo powstałego białego karła, gdzie wyłączyła się właśnie synteza termojądrowa. Ma bardzo wysoką temperaturę 300 tys. K, bliższą na skali logarytmicznej obecnej temperaturze wnętrza Słońca niż jego powierzchni.  Ciekawe, co stanie się z Ziemią po przemianie Słońca w białego karła.

Opisanie zasadniczego mechanizmu produkcji energii przez Eddingtona było jedyne początkiem badań reakcji termojądrowych w gwiazdach (przemian inicjowanych przez wysoką temperaturę). Pojawiły się  wątpliwości: jak cztery jądra wodoru mogą zbliżyć się dostatecznie do siebie by utworzyć jądro helu? Mają dodatni ładunek elektryczny i silnie się odpychają. Energia wymagana do ich zbliżenia i zetknięcia odpowiada temperaturze tysiąc razy większej, niż istniejąca w środku Słońca. Zgodnie z fizyką klasyczną, żaden proton w Słońcu nie może się zbliżyć dostatecznie do innego protonu.

W sukurs przyszła wtedy powstająca mechanika kwantowa. W 1928 r., dwa lata po skończeniu studiów na uniwersytecie leningradzkim, Georgij Gamow zaproponował zjawisko tunelowania kwantowego jako podstawę zrozumienia klasycznie niemożliwych reakcji jądrowych. Dwie następne dekady zajęło naukowcom na całym świecie badanie skomplikowanych cykli i łańcuchów reakcji, wykorzystywanych przez gwiazdy do łączenia mniejszych i mniej gęstych jąder atomowych w większe i gęstsze, z częściową utratą masy. Dopiero od połowy wieku zrozumiano w szczegółach, jak działają naturalne reaktory gwiazd. A od lat 60-tych aż do końca XX w. trwało rozwiązywanie tzw. zagadki brakujących neutrin słonecznych, cząstek unoszących część energii z syntezy termojądrowej. Ale to osobna historia.