23. Beczka smoleńska, I. Rodzaj obrotu. Metodologia.

Przechodzę do najważniejszej być może części bloga: analizy lotu #101 po utracie dużej części lewego skrzydła, w skrócie: do teorii beczki smoleńskiej. Po krótkim wyjaśnieniu czterech rodzajow beczek w lotnictwie, odpowiem w tym i następnym odcinku bloga na następujace kluczowe dla zrozumienia katastrofy pytania:

W jaki sposób i co można przewidzieć stosujac fizykę: jak samolot będzie się obracał w pół-beczce i jak bedzie wygladała jego trajektoria w przestrzeni?

Czy wielki samolot potrafi się obrócić do góry kołami w zaledwie kilka sekund, czy potrzebuje do tego więcej czasu?

Z drugiej strony, czy obrót po odłamaniu końcowki może być aż tak szybki, że odłamanie mogło nastapić z dużym opóźnieniem, tj. dużo dalej, niż przy 44-centymetrowej średnicy brzozie na działce p. Bodina?

Czy robiąc pół-beczkę, samolot zaczepi lewym skrzydłem o ziemię pomiedzy brzozą a faktycznym miejscem katastrofy?

Czy fizycznie obliczony tor lotu widziany z góry zagina się zauważalnie, tj. zmienia kierunek, na samej brzozie lub pomiędzy brzoza a punktem, gdzie samolot był już przechylony na bok o 90-120 stopni (2-3 sekundy za brzozą), czy też dopiero pózniej?

Czy na końcu trajektorii, fizycznie przewidywany kierunek lotu odchylony jest od pierwotnego kierunku w lewo o obserwowany w rozkładzie szczątków kąt około 20 stopni?

Czy kształt trajektorii w pionie i miejsce pierwszego uderzenia kadłuba o ziemię (nie tylko odległość za brzozą, ale i odległość od osi pasa, czyli położenie na mapie) zgadzają się ze śladami zebranymi i dobrze udokumentownymi pod Smoleńskiem?

23.1 Rodzaje beczek

Beczka smoleńska bywa nazywana różnie, wiele osób nazywa ją wg. mnie błędnie -- autorotacyjną. Niestety, w polskojęzycznym wiki nie wymieniono i nie wytłumaczono wszystkich wazniejszych rodzajow tego manewru lotniczego, napisano tylko "Beczkę dzielimy na powolną (sterowaną) i szybką (autorotacyjną)" i wyjaśniono te dwa rodzaje, powołując się na dwie polskie prace o akrobacji szybowcowej. Dlatego dla wyjaśnienia, zacznę od pełniejszego przeglądu beczek. Zadziwiająco mało informacji znajduje się też w ang. wikipedii; najlepsze podręczniki papierowe to aerobatyka w ujeciu Williamsa (1977), a także Szurovego i Gouliana (1994 oraz 1997) [zob. bibliografie]

Beczka lotkowa (aileron roll). Mimo, że na wejściu do tego rodzaju beczki nadajemy sterem wysokości pochylenie do góry +15 (w powolniejszych dwupłatach +20) stopni, ta część manewru nie należy do beczki per se. Do beczki lotkowej używamy bowiem wyłącznie lub glównie lotek (kręcimy wolant lub pochylamy drażek sterowy w lewo lub w prawo). Inne powierzchnie kontrolne nie są zasadnicze. W beczce lotkowej typowo samolot wznosi się nieco i opada na koniec do poziomu wyjściowego.
Beczka powolna to beczka podobna do lotkowej, w której staramy się jednak by oś podłużna samolotu nie zataczała kręgu na niebie, a była jak najbardziej wycelowana w jednym kierunku - do kontrowania tendencji do takiego ruchu osi używamy ster kierunku (pedały) jak i star wysokości (ciagniemy kolumnę sterowniczą lekko do siebie/od siebie, w odpowiednich fazach beczki). Beczka powolna odbywa się na jednym poziomie i powoduje w pozycji odwróconej ujemne przeciążenia, co nie miało miejsca pod Smoleńskiem.
Beczka powolna cylindryczna (barrel roll, proponuję polską nazwę: beczka cylindryczna) to w pewnym sensie kombinacja pętli i beczki, ponieważ przeciwnie, niż w beczce wolnej, staramy się by oś podłużna samolotu zatoczyła duży okrąg na niebie a statek powietrzny poruszał się po powierzchni cylindra, wznosząc się i opadajac znacznie względem ziemi, a nie tylko obracając. Czas takiej beczki jest rzędu 10 s lub więcej, co wyklucza ją jako figurę zrobioną przez tupolewa.
Beczka szybka lub autorotacyjna (ang.: flick roll, amer.: snap roll) to zupelnie inny manewr i w systemie oznaczeń figur akrobacji Aresti zaznaczana jest trójkatem na linii, zamiast zakrzywioną strzałką w poprzek linii, jak w przypadku beczek wolnych. Jest to w zasadzie jeden zwitek korkociągu w poziomie, do którego wchodzimy przeciągajac OBA skrzydła samolotu przy użyciu odpowiedniego szybkiego zastosowania steru wysokosci i zaraz po tym pełnego wychylenia steru kierunku, co powoduje glębokie przeciagniecie (deep stall) na jednym ze skrzydeł. Prędkość wejściowa jest duża, 1.7-2 razy przekracza predkość przeciagnięcia (w tupolewie #101 musiałaby wynosic 350-400 km/h).
Jest kilka szkół i wariantów, w niektórych stosujemy też później wychylenie lotek, ale nie jest ono ani typowe, ani zasadnicze (Williams 1977, O'Dell 1984), gdyż robiąc beczkę głównie lotkami da się zrobić tylko poziomą spiralę, a nie poziomą beczkę autorotacyjną. Bardzo gwałtowne wejście do szybkiego obrotu poprzez przeciągnięcie generuje duże początkowe przeciążenia (3-4g), czasem opisywane jako brutalne (Szurovy i Goulian 1997, O'Dell 1984). Takich sił nie zarejestrowano. Ważne jest też, że obrót jest wymuszony przez duże przeciągnięcie, a nie odwrotnie. Beczka #101 zaczęła się przy brzozie, gdzie skrzydła nie były nawet bliskie przeciągnięcia. (Są różne opinie na ten temat, ale nie wszystkie są uzasadnione).

Więc jaka była (pół)beczka TU-154M pod Smoleńskiem? Nie autorotacyjna i nie powolna. Wg. mnie, to była prawie klasyczna beczka lotkowa spowodowana przez duży moment (parę sił) wymuszajacy obrót wokół osi podłużnej.

W beczce lotkowej samolot rozkreca obrót stopniowo, bez konieczności zjawiska przeciągnięcia. Do częściowego i niezbyt głębokiego przeciągniecia może, ale nie musi dojść w wyniku beczki. Jest to możliwe po znacznym rozkręceniu tempa przechyłu na opuszczającym się skrzydle w jego części końcowej, albo w początkowej chwili, w sekcji skrzydła unoszącego się z maksymalnie opuszczoną lotka. Wtedy czuje się to jako drobne drgania samolotu w czasie obrotu. Jednak zarówno niewielkie przeciążenia całego samolotu jak i reżim pracy całego opadajacego skrzydła nie kwalifikuje tej sytuacji do miana poziomego korkociągu, w którym -- zasadnicza rzecz -- obrót jest nie tylko bardzo gwałtowny, bo przeciągniecie jest bardzo znaczne, ale i mocno trójosiowy a nie jednoosiowy.

Tupolew, jak pokażę dalej, obracał się nie szybciej, niż rzędu ω~40 stopni na sekundę. (To wynika z tego, jak jest zbudowany i z warunków początkowych. Zgodne jest to z tym, ze obrócił się on faktycznie o mniej więcej pół obrotu w ciagu 4.7s, jak wynika z zapisu CVR: ω~180 st./4.7s ~ 40 st./s). W takim ruchu, stosunek prędkości obrotu końcowki skrzydła, składowej prostpadłej do kierunku ruchu, rω, do prędkości postępowej V, jest mały. Jeśli lewe przycięte skrzydło ma dlugość r~13 m, to koniec jego opada (obraca się) z prędkoscia rω~(0.7 rad/s)* 13 m ~ 9 m/s. Zmiana kąta natarcia to tylko rω/V ~ 9/75 radiana, czyli niecale +7 stopni, i to tylko na samym końcu lewego skrzydła.

Nawet gdyby samolot od razu obracal sie 40 st./s, nie byłoby szansy na głębokie przeciągniecie. Początkowo, kąt natarcia na urwanej końcowce skrzydła wynosił bowiem tyle, co pochylenie (pitch, ~13 stopni) powiększone o kąt umocowania skrzydła względem kadłuba, w tym miejscu skrzydła prawie dokładnie zerowy, a pomniejszone o kąt wznoszenia samolotu, poczatkowo v_z~6.5 m/s (zob nizej.) podzielone przez 75 m/s, czyli 5 stopni. Zatem kąt natarcia, z pomienięciem zaczynajacego sie obrotu, wynosił około 13-5 = +8 stopni, co jest bardzo odległe od kąta przeciągniecia równego około 20-21 stopni, a z maksymalnym tempem przechyłu, tylko 8+7 = 15 stopni. W salonie24 omawiana była kwestia dlaczego wskazywany kąt natarcia różnił się od tego niewielkiego kąta +8 st. (to częściowo kwestia kalibracji wskazań skrzydełkowego urządzenia do pomiaru AOA).

Aż do momentu przechyłu o znaczny kąt nie było więc mowy o przeciągnieciu lewego skrzydla, gdyż ani nie osiągnęło ono jeszcze prędkości kątowej ω~40 st./s, ani nie jest samo z siebie skłonne do przeciągniecia. Co dzieje się potem? Kąt natarcia przechylonego mocno samolotu automatycznie spada (leci w figurze zwanej po ang. ostrzem noża, bokiem), ale też spada zmniejszajacy go efekt wznoszenia. Tego co nastepuje, nie można w żadnym razie traktować jako głębokiego przeciągniecia wiekszości lewego skrzydła, co byłoby wymagane do beczki autorotacyjnej. Ja wolę zatem termin szybka beczka lotkowa, zwłaszcza, że podkreśla on skąd bierze się obrót: z przyłożonego w rejonie skrzydła koło ocalalej prawej lotki nadmiarowego momentu siły nośnej prawego, większego i dluższego w tym momencie skrzydła.

23.2. O co chodzi w obliczeniach?

Nie staram się w tych rozdziałach o super dokładność, ani o dopasowanie jakichś modelowych, fenomenologicznych parametrów obrotu do śladow na ziemi czy w roślinności, chociaż to można oczywiście probować tak robić.

Pokażę obliczenia innego rodzaju. Postaram się opisać i obliczyć zasadnicze cechy lotu w beczce smoleńskiej, wynikające z zasad fizyki i znanej nam konstrukcji skrzydeł tupolewa, ab initio. Będe stosował zasade aikido, czy jak kto woli fizyczna zasadę minimalnego działania. Odrzucę to, co jest efektem mniej waznym, a pozostawie zjawiska najważniejsze. Celem będzie najprostszy model, ale model który nie pomija zasadniczej fizyki oddziaływania uszkodzonego tupolewa z polem przyciągania ziemi i powietrzem.

Jak to w obliczeniach fizycznych, to wymaga zaniechania dokładnego opisu niektórych rzeczy, przez co jednak model bedzie dużo czytelniejszy i prostszy. Na przykład, uwzględnię efekty wychylenia steru kierunku tylko w gdubym przybliżeniu. To, że obaj piloci wciskali (bardzo prawidłowo) prawe pedały steru kierunku próbując bezskutecznie przeciwdziałać silnej tendencji do lewego przechylu, uwzględnię w taki właśnie sposób. To nie jest zasadnicze, a sprawdzić to można zarówno w doświadczeniu (ktore wykonałem w samolocie duzo bardziej czułym na wychylenia steru kierunku, małym RV6A) jak i teoretycznie, patrząc na wartości współczynników w standardowej teorii dynamiki samolotu (np., Phillips 2004). Sterem kierunku nie da się po prostu powstrzymać w znacznym stopniu obrotu, nawet tak wolnego jak pod wplywem lotek.

A lotkami? Piloci rownież je prawidłowo użyli (a raczej ją, bo pozostała do użycia tylko jedna). Spowołniło to nieznacznie obrót. To policzę trochę dokładniej, bo to jak klapy i lotki modyfikują siłę aerodynamiczną jest cześcią mojego prostego modelu numerycznego. Jednak idę na skróty i nie liczę pełnej dynamiki w trzech osiach dawanej równaniami bryły sztywnej Eulera. Zakładam, że predkość postępowa zmieniała się tak, jak w raportach (spadała, ale niedużo). Posiłkuję się też zapisami parametrycznymi i w sposob bardzo zgrubny modeluję przyspieszenia działające na samolot w zaawansowanej fazie obrotu. To ma sens, gdyż przeciażenia, w odróżnieniu od pochylenia i przechyłu, są mierzone w układzie samolotu a nie ziemi. Tym samym dają pewną informacje o kącie natarcia (AOA), od którego zależą siły nośne.

Sprawdzę jednak i pokaże, że na poczatku półobrotu zapis parametryczny jest bardzo prawidłowo przewidywany przez model fizyczny. Pewne przybliżenia warto robić, gdyż nawet taka podstawowa praca nie została zrobiona lub nie została jasno opisana w raportach MAK i PKBWL, ani innych znanych mi miejscach. Po drugie, jak to często bywa, liczne efekty wyższego rzedu nawzajem się częściowo kasują.

Na szczegóły może bedzie czas później. Powstrzymajcie chwilowo pytania typu 'na jakiej wysokosci drzewo nr. ileśtam przy szosie Kutuzowa bylo przyciete nad ziemia w modelu?'. Na razie chodzi raczej o to, zeby z całą pewnością policzyć, czy samolot w ogóle może się w kilka sekund obrócić, dolecieć do szosy Kutuzowa nad a nie pod ziemią, i być obrócony mniej wiecejż tak, jak przycięta była zieleń i jak to widzieli ludzie na szosie czy gdzie indziej (zob. raporty komisji i media). Ponieważ ślady na ziemi maja priorytet nad teorią, można powiedzieć, że chcemy się tu przekonać, czy prosty model fizyczny jest w stanie wyjasnić zadowalajaco tor ruchu, po którym poruszał się tupolew we wszystkich wymiarach, łącznie z czasem. Nie mam najmniejszej gwarancji, ze sie to uda! Może okaże się, że trajektorie wydedukowane przez MAK lub KBWL sa tak diametralnie różne od tego co otrzymam, iż wydadzą sie jawnie niefizyczne (czyt.: podejrzane)?... Jeśli zaś uda się zrozumieć liczne, niezależne dane z okolic lotniska przy użyciu praktycznie bezparametrowego modelu fizycznego, będzie to bardzo ważna konkluzja.

23.3. Czy zderzenie z brzoza obróciło nos samolotu w lewo i czy spowodowało zauważalną zmianę trajektorii?

To musimy rozważyć na samym początku. Jeśli spodziewamy się istotnego efektu, będzie to nagły skręt pozycji samolotu o kilka stopni w lewo skosu (yaw) lub kilka stopni przechyłu, to będzie to trzeba uwzględnić w modelowaniu trajektorii. Jeśli nie, to trajektoria za brzozą początkowo będzie się niewiele różnić od tej przed brzoza. W istoce, komisje wypowiadały się na tem temat, ale nie ma specjalnie podstaw żeby w to, co mowiły świecie wierzyć (3.5 stopnia zmiany kursu w opinii KBWL, o ile pamiętam, bez jasnego podania zródeł informacji). Na przyklad TAWS nie zarejestrował mierzalnej zmiany kursu. Czy powinien był?

Policzmy najpierw momenty bezwładnosci samolotu. Wokół osi poziomej, moment ten można oszacować tak. Urwanie koncówki skrzydła pomiedzy ~13m a prawie 19m od osi kadluba (bo tak bede zakladac) odciąża samolot o ~600 kg masy koncowki (mysle, że to jest dobre oszacowanie masy, ta dana nie jest w tym miejscu potrzeba z wielką precyzją). To powoduje przesuniecie osi obrotu (środka masy bryły) w prawo. Nie wpływa ono w ważny sposob na wyniki. Można pokazać, że środek cieżkosci przesuwa sie o około m/M*R, gdzie R jest odległoscią od osi samolotu do, powiedzmy, punktu na bliższej połowie urwanej koncówki skrzydła (okolo 15m), m~600kg, a M~78 ton masy. Wychodzi x_cm ~ 9/78 m ~ 12 cm prawo. Mój program ocenia moment bezwładności biorąc to pod uwagę, ale to nie jest wielka rożnica - mozna ją zaniedbać w pierwszej próbie.

Moment bezwładności oceniłem biorąc każdy ważny podsystem samolotu: skrzydła podzielone myślowo na trzy strefy, kadłub, bagaże, wózki podwozia, silniki, stateczniki, paliwo, i sumujac ich oszacowane masy (zgadzające się z rozkładem masy w typowym samolocie transportowym i całkowitą masą #101, co omawiałem we wcześniejszych rozdziałach bloga) pomnożone przez kwadrat efektywnej odległości od osi wokół której wyliczam moment bezwładności. Podobnie jak inne wyliczenia, oceniam względną dokladność moich wyliczeń na 15%. Oznaczając oś podłużna symbolem x, otrzymałem wartosc I_x ~ 1280 ton(masy)*m². Względem zaś osi pionowej otrzymałem I_z ~ 6000 ton(masy)*m².

Oszacujmy od góry pęd przekazany skrzydłu w wyniku zderzenia, jako pęd metrowej wysokości odcinka pnia brzozy, rozpędzonego w zderzeniu do prędkości ~50 m/s (w rozdz. 20 argumentowałem, że najważniejsze jest oddziaływanie lokalne)

p ~ 6 kN*s

co odpowiada np. działaniu 14 ton siły przez 1/24 sekundy. Faktyczny pęd będzie mniejszy, jeśli skrzydło lub brzoza poddadzą się i pękną szybko w zderzeniu (co jest i oczekiwane w związku z nadkrytyczną predkością zderzenia i zaobserwowane faktycznie na miejscu wypadku). Uzyskany przez samolot moment pędu, przy działaniu siły na długości ramienia 15 m, wyniósł mniej niż L_z ~80 kN*s*m, a uzyskana predkość obrotu wokół osi pionowej nie przekraczała

dγ/dt ~ L_z / I_z ~ 0.08 MN*s*m/6 Mkg m² ~ 1 st./sek.

Ruch wokół osi pionowej, czyli odchylenia boczne (yaw, γ) odbywał się nie szybciej niż około 1 stopnia na sekundę i został zahamowany po mniej, niż sekundzie przez usterzenie pionowe i dodatkowe efekty, dając < ~1 stopnia odchyłki bryly samolotu (ale nie trajktorii! pamietajmy o roznicy miedzy tzw. heading a ground track). Ustawienie samolotu podlegało następnie malejącym wahaniom. Odchylenie kątowe trajektorii pochodzące od uderzenia to zatem bardzo mała, z trudem mierzalna wartość, ktorą można zaniedbać. Beczka spowodowała bowiem, jak wiadomo z kierunku rozrzutu szczątków, około 20-stopniowe odchylenie kursu.

23.4. Metody

Aby policzyć moment siły przyłożony do skróconego, asymetrycznego skrzydla tupolewa za brzozą, należy rozwiazac równania uogolnionej metody panelowej dla skrzydla o konkretnym kształcie i dużym skosie (jest nieco bardziej ogólna niż tzw. metoda Weissingera, zob. ksiazke Kroo online w bibliografii; albo metody omówione przez Katza i Plotkina 2006). Dane do metody zawarte są w podręcznikach do TU-154M w bibliografii. Zwłaszcza skos przedniej krawedzi równy 40 stopni jest ogólnie znanym problemem przy szacowaniu sily nośnej. Do wyznaczenia deficytu siły nośnej nie wystarcza proste porównanie pola brakującej koncówki z polem całkowitym. W momencie, kiedy 1/3 długosci jednego skrzydła urywa się, cały rozkład siły nośnej na skrzydłach zmienia się i dostosowuje. Zawsze jest duża względna różnica w sile nośnej lewego i prawego skrzydła, co do rzędu wielkości podobna do procentu utraconej cześci. Wiadomo, że w skrzydłach o dużym skosie, a tupolew ma jeden z większych skosów stosowanych w podobnych konstrukcjach, stosunkowo większa niż dw skrzydłach prostych cześć siły nośnej bierze się z końcowki skrzydła. To jeden z powodów dużego tempa obrotu #101, który zajał w rzeczywistości tylko 4.7 sekundy.

Przetestuję metodę licząc np. siłę nośna lub przyspieszenie całego samolotu zaraz po zderzeniu. Bedzie to pierwszy test metody. Wiemy, że w zwiazku z rosnącym w czasie kątem ataku przy brzozie, rosła też siła nośna do wartości wytwarzanego w środku ciężkosci przeciażenia n = 1.35g. Metodę panelowa z jej przyczepionymi do paneli wirami omówilem już dokładnie w części 3-ej blogu. Jeśli to wyliczenie, które jest robione ab initio, da nam rozsądny wynik, tj. zgadzający się z danymi ze skrzynek (np. jeśli metoda przewidzi dobrze przyspieszenie pionowe zaraz za brzoza), wtedy zyskamy nieco zaufania do Prandtla i jego równań całkowo-różniczkowych. Równania te rozwiążę jako macierzowe, N x N, gdzie N ~ 300. W tej chwili nie wywieszę tekstu programu, gdyż nie ma on dostatecznych komentarzy dla łatwego zrozumienia co tam jest czym, poza tym zmieniam jeszcze ciągle ostatnią wersję programu - to typowy problem z programami badawczymi, które się samemu rozwija. Ale postaram się albo wywiesić tu w przyszłości jakąś stabilną wersję tego 800-linijkowego programu w języku IDL, albo będę go dawał do wglądu "jak jest" tym, którzy mnie prywatnie poproszą i zapewnią, że są zorientowani w kodach w tym języku i będą wyrozumiali co do ewentualnych problemów z jego zapuszczeniem u siebie. Naturalnie, żadnych tajemnic nie będzie.

____________

Jak zawsze, proszę o krytyczne uwagi, które pomogą mi ulepszyć blog. Następny rozdział juz pisze, ale nie jest jeszcze gotowy.