15. Dokąd doleciała koncówka skrzydła - prawidłowe obliczenia

Po ogloszeniu przez zespol parlamentarny d/s katastrofy smolenskiej kolejnej porcji opinii o fizyce tragicznego wypadku pod Smolenskiem, dokonalem pewnego eksperymentu na żywym czlowieku. To i pozniejsze obliczenia pozwolily mi ustalic, ze symulacje prof. Biniendy lotu koncowki skrzydla tupolewa gwalca zasady aerodynamiki o czynnik wiekszy niz dziesiec. Problem nielotnej koncowki, wytracajacej w powietrzu wiekszosc energii kinetycznej na odcinku porownywalnym z jej dlugoscia nie jest problemem skrzydla, tylko niefizycznych obliczen pokazanych przez zespol.

"TELEMOST #2"

Eksperci posla Macierewicza  w kolejnym polaczeniu skypem z Sejmem i siedzacymi tam niektorymi,  co odporniejszymi parlamentarzystami, oglosili wyniki swych najnowszych badan dotyczacych.. aerodynamiki.

-- Nareszcie! -- pomyslalem i wyciagnalem z szafy czekajace tam juz od pazdziernika (ogloszonej wczesniej daty telemostu) diet coke i czipsy. Nie zawiodlem sie oczywiscie. Fonia byla, co prawda, ledwo slyszalna, moze nagrywali na CVR, ale oczy moje cieszyly nowe slajdy i animacje.

W programie wystapili znowu dr Nowaczyk i prof. Binienda. Bardzo przepraszam dra Nowaczyka, ze nie poswiece tu uwagi jego czesci prelekcji, gdzie uzyczyl swego glosu na odczytanie owocow pracy znanego blogera salonu24 o interesujacym i wbijajacym sie w pamiec imieniu Kacza Zupa i emailu denoiser@yahoo.com. Moze o tej tworczosci kiedy indziej. Tu mamy temat bardziej trzymajacy w napieciu, niz niedokladnosci zapisu danych przez urzadzenia pokladowe tupolewa i zle wydedukowany przez pomocnikow ekspertow timing wydarzen.  

Widzialem w prezentacji jakies industrialne obliczenia tego, co sie dzieje z urwanym na brzozie skrzydlem tupolewa. Koncowka skrzydla wyhamowuje bardzo szybko i spada w dol. Nawet jesli oderwala sie wznoszac i leciala poczatkowo z duza predkoscia rzedu 270 km/h (czyli 75 m/s), czy nawet nieco wiecej, 77 m/s, to w obliczeniach aerodynamicznych prof. Biniendy natychmiast przechodzi do lotu poziomego na odcinku jakichs 5 metrow, (mniej niz sama koncowka mierzy), po czym opada w dol "jak spadochron" (to wyrazenie prelegenta), bezladnie obracajac sie, na ziemie w odleglosci 12 m od brzozy na ktorej sie przerwalo. Koncowa predkosc to 27 m/s albo okolo 100 km/h, jak mowi autor symulacji.

Powtorze, gdyz to stwierdzenie jest w istocie szokujace i jednoczesnie bulwersujace, a mimo to moze umknac uwadze niektorych. Specjalisci od udowadniania niemoznosci zlamania skrzydla twierdza co nastepuje: skrzydlo nie urwalo sie, bo gdyby sie urwalo, to lecac poczatkowo z szybkoscia 1/4 predkosci dzwieku w strone lotniska i 70 km/h w gore, musialoby "z cala pewnoscia" spasc na ziemie w odleglosci mniejszej, niz wysokosc brzozy!  Wspominalem kiedys o fizyce Arystotelesa, ale to wszystko wykracza daleko nawet poza jego metafizyke...

BLEDY BINIENDY

Prof. Binienda popelnil w opisie aerodynamiki lotu koncowki skrzydla pare bledow. Nie moglem pojac, po co pokazal strone sieciowa centrum NASA, zaadresowana do zakresu wiekowego przedszkole (K) -- klasa dwunasta (12), co widac z adresu URL. Ta strona jest  nie na miejscu w prelekcji smolenskiej i bardzo mylaca, gdyz nie podaje jak poprawnie rozwiazac ogolne rownanie balistyczne z sila oporu powietrza. Rozwiazania podane tam sa nieuzyteczne w problemie lotu niemal poziomego. Sa motywowane tym, kim sa adresaci i czym sie interesuja, mianowicie zagadnieniem wykopu pilki noznej prawie pionowo w gore.  Zrobiono przyblizenia stosowne tylko do takiego przypadku. Pomyslalem z poczatku, ze coz, to dziwna strona, ale ze prelegent zna bardziej wlasciwe odsylacze. Ale z prelekcji wynika, ze prof. Binienda nie pretenduje do znajomosci aerodynamiki (wspominal o znajomym z jego uniwersytetu, ktory dobrze zna aerodynamike). Prawidlowa analize i rozwiazanie dla przypadku smolenskiego podaje zatem ponizej, w Uzupelnieniu 1.

Prof. Binienda stwierdzil, ze wspolczynnik Cx (albo Cd) = 0.04 dla oplywowego ksztaltu skrzydla mnozymy przez pole przekroju poprzecznego skrzydla, zamiast powiedziec, ze naprawde ten wspolczynnik mnozymy w aerodynamice skrzydel przez pole powierzchni gornej (lub dolnej) plata. Spora pomylka, o caly rzad wielkosci.

Zainteresowala mnie oczywiscie glownie sprawa drogi hamowania koncowki skrzydla. Pilotujac, nie zdarzalo mi sie jeszcze zgubic kawalka skrzydla i mierzyc jak daleko zalecial. Ale zrobilem pewien kluczowy  eksperyment. Zdarzylo mi sie wyrzucic cos z lecacego samolotu. Pewnego razu, w Kalifornii, wybralem sie polatac z odleglego o 25 mil lotniska. Ktos uprzejmy mnie tam po drodze podrzucil, bo samochod mial zostac w domu, potrzebny tego dnia na zakupy. Pomylkowo zabralem z domu jedyne klucze do samochodu z wypozyczalni. Nie dosc, ze uziemilem rodzine, to nie mialem potem jak wrocic. Jednak... mialem przeciez samolot! Polecialem nad spaloną słoncem łąkę kampusu Uniwersytetu Kalifornijskiego w Santa Cruz, gdzie czekala juz zawiadomiona i ciekawa co sie stanie rodzina. Zrzucilem im z samolotu klucze zapakowane w male, plaskie pudelko plastikowe po ciasteczkach. Calosc byla w miare lekka, jak skrzydlo. Znalezli te klucze, chociaz polecialy daleko, a przy uderzeniu o ziemie wypadly z torebki/pudelka i skryly gdzies w suchej trawie. Wiec wiem bardzo dobrze, jak daleko lataja przedmioty rzucane z samolotu przy predkosci rzedu ~150 km/h.  Przy wiekszej predkosci leca jeszcze dalej! I nic a nic sie tu nie zgadza z prelekcja. Tyle anegdotka. [Nie na temat! Ale musze przeciez dac nickom ktore czytaja poruszajac wargami, cos do zacytowania na blogach poswieconych w calosci mojej skromnej osobie, a teraz takze kluczom i Chocolate Chip Cookies, ktore zalapaly sie na ten lot :-]

Skrzydlo Biniendy jest wystrzelone ukosnie, z predkoscia cwierc predkosci dzwieku, jak poltonowy pocisk z katapulty albo dziala. A leci tylko 12 m wprzod, czyli dwie swoje dlugosci?!!  Pomyslalem sobie, ze musi miec jakies magiczne wlasciwosci, bo ja przeciez moge rzucic sliwke reka dalej niz dolecial ten magiczny przedmiot....  tylko jakie?

Nie, nie mowe tu o nonsensownym kacie lotu samolotu zalozonym przez profesora: predkosc pozioma 77 m/s a pionowa 19 albo 20 m/s. Przy takim wznoszeniu, to samolot doslownie musialby 1/3 sekundy przed zderzeniem z brzoza wyskoczyc spod ziemi! (po prostu jakies 7 m = 6m + ~1m w pionie, bo jeszcze ~1 m opadania terenu przed brzoza, podzielone przez te 19 m/s, to daje troche ponad 1/3 sekundy.)

[Do tej pory eksperci amerykanscy nie zrozumieli, ze to nie kat wznoszenia, tylko kat natarcia (AOA) mial duza wartosc przy brzozie. W symulacjach ciagle kat natarcia jest bliski zeru. Obliczen z roznym katem wznoszenia a zlym, znikomym katem natarcia, nie warto oczywiscie robic, bo i po co. Wiadomo, ze jedyna roznica to niewielkie zwiekszenie ilosci drewna na drodze skrzydla, natomiast realistyczny kat natarcia daje duzo wieksze efekty niszczace skrzydlo; wiaze sie to z tym, ze pien tnie blachy dolnego poszycia. To osobna historia, nieslychanie wazna  dla tego, jak konkretnie bylo niszczone przez pien skrzydlo. Jest tez wazna i tutaj, poniewaz kat natarcia w chwili oderwania skrzydla zadecydowal o kierunku jego rotacji, co jest  zasadnicze]

MAGIA OBLICZEN?

Otoz pierwsza magiczna wlasnoscia skrzydla jest to, ze w filmiku profesora tnie ono znowu brzoze o srednicy 44 cm!  Nie wiem ciagle dlaczego, poniewaz zbior danych do obliczen jest nadal tajny. Nie jest to wylacznie kwestia gestosci brzozy, gdyz ta zostala zmieniona na prawidlowa, taka mniej wiecej jaka ja wyprowadzilem w odcinku 12 bloga. Nie jest to kwestia wylacznie tych katow, ktore prof. Binienda zmienial.

Pisalem o tym wiele wczesniej, pokazywalem tez (od poczatku do konca jawnie, eksplicite) jak z prostych oszacowan wytrzymalosci brzozy i wytrzymalosci konstrukcji skrzydla wynika, ze drzewo jest mniej wytrzymale na lamanie dynamiczne, niz keson skrzydla (silownik mechanizacji skrzydla to inna sprawa, mogl pomoc w niszczeniu drewna.) W programie sa zapewne jakies grubsze bledy: niewlasciwe grubosci blach, albo zastosowanie FEM do niedozwolonych w tej metodzie wielkich deformacji, gdzie inne, nowsze metody bylyby lepsze. Trudno powiedziec bez danych wejsciowych.

Nota bene, p. Dziekan skorzystal z iscie niedzwiedziej przyslugi pomocnika Kaczej Zupy. Polski blogger dostarczyl wideo, na ktorym C-130 Hercules (sic!), bardzo solidnie zbudowany amerykanski wojskowy samolot transportowy, jedyny chyba hermetyzowany przy cisnieniu powietrza na poziomie morza (a do tego jest potrzebna mocna konstrukcja kadluba, co wymaga tez odpowiednio nieco mocniejszej konstrukcji skrzydla), gubi koncowke skrzydla. Dlaczego skrzydlo C-130 lamie sie? Czy wpada na brzoze o srednicy > 44 cm? Nie! Skrzydlo lamie sie, gdyz pilot po prostu dosc twardo przyziemil. Samolot zamachal bezradnie skrzydlem i ciach, odlamalo sie, nie gorzej niz to pod Smolenskiem.  Przysluga z tym filmikiem byla niedzwiedzia, poniewaz ilustruje on doskonale, ze koncowki skrzydel samolotow transportowych, takich jak tupolew 154M, nie sa bynajmniej pancerne i daleko im do wytrzymalosci Chucka Norrisa. Wrecz przeciwnie, jesli doznaja przyspieszenia rzedu zaledwnie 10 g i to w kierunku, na ktory sa zaprojektowane by przenosic najwieksze naprezenia (zginanie plata do gory i dolu), to lamia sie bez pomocy brzozy. Z niedowierzaniem patrzylem, ze wlaczono ten dowod slabosci skrzydel do prezentacji, ale stalo sie swietnie, bo nie musze sam dawac do tego wideo namiarow, co zamierzalem i tak zrobic.

Teraz dowiedzialem sie o drugiej magicznej wlasciwosci tupolewowego skrzydla (w symulacji Biniendy, ma sie rozumiec, nie w rzeczywistosci). Potrafi ono hamowac w powietrzu tak, jakby wpadlo do wody, doslownie w cwierc  sekundy! Nie moglem porownac dynamiki Biniendy z dynamika ruchu w wodzie tylko dlatego, ze zapodziala mi sie kopia kreskowki o rybce Nemo.

Ile czasu potrzeba aby wyhamowac od 77  m/s do 27 m/s na drodze rzedu 12 m  i jakie jest srednie opoznienie ruchu hamowanego przedmiotu, w jednostkach przyspieszenia grawitacyjnego?

Co prawda calkowita droga hamowania byla 13 m (5 m do przodu, a dalej ~7 m do przodu i ~6 na ukos w dol i w bok), a nie 12m, bo skrzydlo nie poruszalo sie po linii prostej, ale to nie ma znaczenia. Nie jestem zabobonny, ale 12 m jakos brzmialo mi tego dnia lepiej, niz 13.

Moja nieswiadoma ofiara byl pewien torontonski nastolatek, licealista. Normalny, nie jakis 'nerd' czyli technicznie zorientowany kujon. Najglebsza wiedza techniczna ktora posiada, to jak zlutowac do kupy wzmacniacz gitarowy. Po fakcie byl na mnie potwornie zly, gdy dowiedzial sie ze zadanie mialo cos wspolnego ze Smolenskiem, bo ma podobnie jak 80% ludzi w Polsce powyzej uszu tego tematu i odmawia przyjmowania jakichkolwiek informacji o domniemanym przez posla z zespolem zamachu. Eksperyment zakonczyl sie po dwoch minutach, z wynikiem pozytywnym. W dodatku, wszystkie obliczenia zrobil w pamieci. 

Nastolatek podzielil droge hamowania 12 m przez srednia predkosc ruchu (zalozyl ruch jednostajnie opozniony, wiec bylo to 52 m/s) i dostal czas hamowania okolo cwierc sekundy, dokladniej 0.23 s. Nastepnie, dzielac roznice predkosci poczatkowej i koncowej (77 m/s - 27 m/s = 50 m/s) przez ten czas, oszacowal, ze przyspieszenie srednie wynosilo -22 g. Dobrze policzyl? Nie chce mi sie wyciagac suwaka logarytmicznego. Chyba niezle.

NIE MA TAKIEJ SIŁY!

Przyspieszenia w symulacji

Wystarczy popatrzeć na wyliczoną przez eksperta trajektorię skrzydła, aby natychmiast zrozumieć, że chwilowe opóźnienie środka masy było w pierwszej fazie ruchu większe, szacunkowo dwukrotnie większe, niż to średnie opóźnienie ruchu na całej drodze hamowania. To dlatego, ze trajektoria jest poczatkowo dosyc prosta (tam właśnie następuje gros hamowania!), a następnie opada bardziej "jak spadochron", używając wyrażenia z prezentacji sejmowej (na tym odcinku przyspiesznie, tj. opóźnienie, jest mniejsze niż średnie). Oprocz tego, nawet gdyby ruch byl jednostajnie opóźniony, to i tak z początku przyspieszenie bylo (77/27)^2 czyli 8 razy wieksze niz na koncu. Mozna pokazac, ze w ruchu jednowymiarowym z opoznieniem proporcjonalnym do V², przyspieszenie poczatkowe rowne przyspieszeniu sredniemu razy (V0 / V), w naszym przypadku razy 77/27 (zob. Uzupelnienie 2).  To pozwala oszacowac, ze na pokazanej symulacji koncowka skrzydla poddana byla jak calosc przeciazeniu chwilowemu dochodzacemu do  (77/27)*22 g ~63 g, czyli wartosci spotykanej w powaznych wypadkach samochodowych.

A wiec, po pierwsze, nie zgadza sie to z doskonale zachowana strukturą końcowki skrzydła. Przyspieszenie środka masy bierze się z  nierównomiernie rozłożonych sił przyłożonych do powierzchni skrzydła, a to właśnie produkuje naprężenia wewnętrzne gnące skrzydło tak, jak samochód w wypadku. Trudno uwierzyć, że rożnice przyspieszeń równe jeśli nie ~60 g, to przynajmniej ~15(?) g,  nie pogną skrzydła. Nic takiego jednak nie nastąpiło, co przeczy hipotezie hamowania na odcinku zaledwie 12 m.

Po drugie, jest to mówiąc szczerze bzdura, z punktu widzenia aerodynamiki. Dlaczego?

Przyspieszenia w fizyce

Mój królik doświadczalny nie miał po prostu czasu tego policzyć, ale my policzymy tutaj jaki opór aerodynamiczny i jakie przyspieszenia powoduje naprawdę (w zgodzie z aerodynamika) skrzydło takie, jak smolenski niesymetryczny kawalek  #101 o rozmiarach 6 m x 2.5 m (a wlasciwie 5 m x 3 m = 15 m^2, jeśli liczyć odleglości wzdluż i w poprzek osi samolotu i posłużyć się średnim rozmiarem), o masie ~600 kg, czyli o gęstości powierzchniowej rzędu M/A=50 kg/m². Ma ono średni przekrój poprzeczny wszystkich dźwigarów, stringerow, poszycia ORAZ silownikow hydraulicznych, klap, skrzel i innych elementow nie-konstrukcyjnych skrzydła równy ~360 cm^2 (metr biezacy skrzydla ma mase ~100 kg, co przy gestosci stopow aluminium 2800 kg/m^3 daje wlasnie ~360 cm^2). To wartosc niesprzeczna z wyliczonym przeze mnie w rozdz. 9  bloga polem przekroju poprzecznego blach kesonu nośnego, równym 130...180 cm^2.

Opór aerodynamiczny, które takie skrzydło stawia, zależy od jego ustawienia w stosunku do kierunku ruchu względem powietrza. Troche o tym napisano w polskiej wikipedii, ale niedokladnie, bo w aeronautyce akurat NIE bierzemy jako powierzchnie referencyjna powierzchni prostopadlej do kierunku ruchu tylko powierzchnie gorna plata. Lepiej to opisano w wersji ang.   Współczynnik oporu zmieniać się może od Cd = 0.04 (lub nawet mniejszej wartości, w niektorych samolotach, takich jak mój), przy zerowym kącie natarcia, zarówno w stronę mniejszych, jak i większych wartości. Bedzie mniejszy, jesli skrzydlo bedzie leciec w kierunku swojej 6-metrowej dlugosci, a większy jeśli odwroci sie całkowicie prostopadle do kierunku ruchu, wtedy Cd~1.17...1.28 dla plyty lub skrzydla w 3-D; wynik dwuwymiarowy jest inny ale stosuje sie tylko do nieskonczenie dlugich skrzydel). Niesymetryczne skrzydlo tupolewa, unika takiego prostopadlego ustawienia, ktore jest dynamicznie niestabilne. Woli obracac sie, "koziolkowac" i wtedy srednio Cd~0.6 (wezmy naiwnie srednia arytmetyczna najwiekszego i najmniejszego oporu, jesli obrot jest kompletnie bezladny i zachodzi wokol wszystkich osi). Gdyby nie koziolkowalo, fragment skrzydla moglby leciec ciezsza czescia do przodu, na przyklad krawedzia przelomu do przodu. Wtedy  Cd ~0.03, tzn. prawie nie ma sily oporu. Jednak raz rozpoczety w ulamku sekundy obrot wokol najdluzszej osi skrzydla nie daje sie juz zatrzymac i nie powinnismy tej sytuacji oczekiwac. To tak, jak rzucona plasko jak skrzydlo modelu podluzna koperta, prosze sprawdzic! Oszacuje nizej, w Uzupelnieniu 3, ze rozkrecanie tego obrotu trwa okolo  t ~0.17 s.

W czasie koziołkowania trzeba jeszcze uwzglednić dodatkowy efekt - opor indukowany. Znika on przy locie wzdluz kazdej z trzech osi skrzydla, np. przy locie krawedzia przelomu do przodu, ale pojawia sie przy ustawieniu posrednim. Jest to wynikiem odchylenia od pionu sily, ktora wynika z roznicy cisnien pod i nad skrzydlem i dziala prostopadle do plaszczyzny skrzydla. Jej skladowa pozioma to właśnie opór indukowany, nieodłączny od pionowej składowej -- sily nośnej. Uśredniony po obrocie, daje wklad do Cd rzedu ~0.5 (nie chce tu zagłębiać się w teorię oporu indukowanego, który jest tym mniejszy, im bardziej wydluzony jest ksztalt skrzydla). Moge to wytlumaczyc w taki sposob: w czasie obrotu, kat ustawienia skrzydla do kierunku ruchu przechodzi przez wartosci 0, 45, 90, 90+45, 180, itd, stopni. Wspolczynnik oporu wynosi przy tych polozeniach odpowiednio: Cd = 0.04,  ~1,  1.17,  ~1,  0.04, ... Srednia po czasie jest mniejsza niz Cd = 1; Cd = 0.8 byloby najlepsza, przyblizona wartoscia i taka uzyje w obliczeniach numerycznych. Dla calkowitej pewnosci wezme jednak teraz chwilowo Cd=1. To troche przesadne oszacowanie wspolczynnika oporu, bo to tak, jakby przekroj skrzydla byl kwadratowy (rys. na poczatku tego rozdzialu), to znaczy tak jakby grubosc skrzydla byla rowna paru metrom!). Ale to da bardzo konserwatywne, ostrozne, gorne oszacowanie wartosci opoznienia, dajace najkrotszy lot.

Cisnienie oporu aerodynamicznego to oczywiscie

P = Cd*0.5*ρ*V²,

gdzie ρ = 1.29 kg/m³ to gestosc powietrza w Smolensku (bez helu; z helem opory sa jeszcze mniejsze a skrzydlo leci dalej :-). Owo  cisnienie to sila oporu w przeliczniu na jednostke plaskiej powierzchni skrzydla rownej A=15 m², a nie na pole jego waskiego przekroju (co juz omowilem). Sila P*A, podzielona przez mase M=600 kg, to opoznienie a=PA/M. Oszacowanie odgorne, biorac V=77 m/s, to

a < 1*0.5*1.29*77² * 15/600   m/s²

czyli a < 9.7 g, w chwili poczatkowej.

[Mozna by to wszystko jeszcze prosciej policzyc, wiedzac, ze sila nosna czyli  L = CL*0.5*ρ*V², gdzie CL~1.6 kolo brzozy, rowna byla liczbowo okolo 10 ton (sily). Wspolczynnik sily nosnej CL jest w tym momencie wiekszy, niz Cd w pozycji na szorc (Cd~1.2), wiec maksymalna sila oporu aerodynamicznego jest tez odpowiednio mniejsza. Dajmy na to, opor  = 6 ton sily, czyli dziesieciokrotnie wiecej, niz ciezar koncowki skrzydla. Stąd, w położeniu prostopadłym do kierunku ruchu, skrzydło doznaje opóźnienia 10g, c.b.d.o.]

Niższe przyspieszenie a, niż to przed chwilą obliczone, występuje pod koniec hamowiania, przy predkosci 27 m/s:

a < 1*0.5*1.29*27²  * 15/600   m/s²

czyli a < 1.2 g, w chwili końcowej.

Dla oszacowania sredniego przyspieszenia/opoznienia na odcinku calej drogi hamowania, zerknijmy do Uzupelnienia 2. Wynika z niego, ze powinniśmy wziąć średnią równą 9.7 g *(22/77) = 2.8 g. W porownaniu z wartoscia sredniego przyspieszenia z symulacji Biniendy (22 g), roznica jest az osmiokrotna.

A wiec, jak to sie mowi, nie ma takiej sily (oporu powietrza), zeby eksperymenty cyfrowe z Akron mialy jakis sens fizyczny. Nigdzie i nigdy lecace z predkoscia 77 m/s w powietrzu skrzydlo nie moze stawiac oporu dajacego srednie opoznienie ponad 20 g, a zwlaszcza chwilowo ponad 60 g, jakiego doznawalo w niefizycznej symulacji prof. Biniendy, chyba ze np. przy powierzchni 15 metrow kw. ma mase osmiokrotnie mniejsza, niz koncowka skrzydla w tupolewie. Nie ma oczywiscie takich samolotow. (Nie chce tu spekulowac o tym jakie dane byly wczytane do programu, ale sadze, ze w poprawnie liczacym programie do CFD, czyli dynamiki obliczeniowej cieczy, tak niefizyczne zachowanie jak hamowanie na odcinku 13 m mozna by dostac,  pomylkowo wczytujac mase skrzydla w kg, podczas gdy program oczekuje ciezaru w niutonach.)

Sila nosna urwanego skrzydla

Zespol Macierewicza nie zrozumial tez, ze w pierwszej fazie lotu koncowka skrzydla poszybowala jak wystrzelona z procy w gore (i nieco na prawo), gdyz sila aerodynamiczna nadawala jej poczatkowo przyspieszenie rowne az +16 g = (10 ton/0.6 tony) *g,  skierowane w gore. To zreszta jest rozwiazanie zagadki odleglosci miejsca upadku skrzydla okolo 100 m za brzoza. Skrzydlo, zanim zaczelo koziolkowac a potem  spadac w dol, najpierw szybko wzbijalo sie w gore, odchylalo przednia krawedzia do gory i rozkrecalo. Po przekroczeniu kata prostego z ziemia,  obrot byl tak szybki, ze naprzemian wystepowala sila nosna ciagnaca srodek masy raz w gore raz w dol, co dawalo tylko zafalowanie lotu, ktore ja zaniedbam w rachunkach jako malo dla istotne dla koncowego polozenia. Zarowno w pierwszej, jak i drugiej fazie lotu dzialal na nie opor powietrza znacznie mniejszy niz symulowany niepoprawnie przez ekspertow z zespolem i skrzydlo nie mialo najmniejszego problemu z przedostaniem sie daleko do przodu, jak i na prawo od poczatkowej trajektorii samolotu #101. Opisuje prosty model numeryczny w Uzupelnieniu 1, zgodny z danymi o katastrofie smolenskiej i aerodynamika.

KONKLUZJA  O PREZENTACJI

Tak mniej wiecej, jak to zaprezentowal prof. inz. Binienda z Ohio, poruszac sie moze skrzydlo wrzucone z predkoscia 270 km/godz do wody, a nie wyrzucone w gore w powietrze. Wydaje sie, ze w symulacji lub w danych wejsciowych do niej byly grube bledy, gdyz symulowany ruch przypomina ruch obracajacego sie skrzydla o 30 razy zbyt duzej powierzchni lub tyle razy za malej masie (to potwierdzaja moje ekperymenty numeryczne).  Swiadomie lub nie, dokonany zostal gwalt na fizyce.  Chyba, ze prof. Binienda nie wie, jakie sa predkosci poczatkowe skrzydla w symulacji i startuje ono po odlamaniu od reszty samolotu ze znikoma energia kinetyczna. (To jednak byloby z kolei kompletnie sprzeczne z wieloma innymi faktami, z inzynieria mechaniczna i z faktem ze samolot nie zszedl istotnie z kursu, to znaczy jego lewe pozostale skrzydlo nie zostalo znacznie wyhamowane.)  W kazdym przypadku, symulacja jest niefizyczna a wnioski sa nieuzasadnione.

Lepsze obliczenia, przyblizone, ale za to zgodne z fizyka (aerodynamika), podalem w ponizej.  Wnioski sa oczywiste i juz do podobnych doszedlem analizujac inne fragmenty zagadki smolenskiej. Tu, przypadek koziolkujacego skrzydla pasuje dobrze do licznych dowodow i pomiarow zebranych przez zarowno komisje panstwowe d/s badania wypadkow lotniczych, jak i osoby prywatne (na przyklad, moje model przewiduja ze koncowka skrzydla dolatuje w okolice punktu, gdzie zostala faktycznie znaleziona, ponad 100 m od brzozy). Albo wiec katastrofa smolenska byla CFITem, albo ktos dokonujac zamachu (mowie to dla zartu!) nie tylko zawczasu przycial krzaki na odleglosci kilometra i wykonal cala tytaniczna prace aby upozorowac katastrofe, ale takze posiadal znajomosc fizyki nieporownanie lepsza niz ta, ktora jest udzialem ekspertow Macierewicza. Albowiem wszystko w danych o katastrofie wydaje sie niesprzeczne z fizyka, podczas gdy wiele zasadniczych elementow w bajkowych symulacjach zespolu prof. Biniendy - jest z nia sprzeczne.

 Pozostaje już więc tylko jedno pytanie: Ile czasu potrzeba, aby wyhamować sejmowo-sakiewiczowe koło zamachowe? Nie do zera, ale przynajmniej na tyle, aby przestali twierdzic, ze cos wiedza o aerodynamice i ze Fizyka pozwolila im udowodnić "bez wątpienia", że oderwane skrzydlo wyhamowaloby lot w cwierc sekundy na drodze okolo 12 m, co sie ewidentnie nie stalo ---  wiec wg. posla Macierewicza to oznacza naturalnie zamach. A może to, po prostu, zwykła nieznajomość fizyki i jakieś wzniosłe, lecz chybione polityczne motywy.

 * * *

UZUPEŁNIENIE  1 -  Obliczenia trajektorii końcówki skrzydła

W tekście wyjaśnilem, dlaczego nie należy używać (jak prof. Binienda) wyrażeń z edukacyjnej strony sieciowej NASA dla przedszkoli, szkol podstawowych i srednich (K-12). Traktuje sie tam ruch w pionie i poziomie jako niezalezne (zob. uwage w Uzupelnieniu 2). Sformuluje tu i rozwiaze dla danych smolenskich najprostszy poprawny model fizyczny ruchu cial w powietrzu (z sila oporu proporcjona do kwadratu predkosci). Nastepnie powiem, jak go zmodyfikowalem aby urealnic pionowa predkosc poczatkowa i uwzglednic nie tylko balistyke, ale takze poczatkowa sile nosna skrzydla, ktora pozniej w wyniku jego szybkiego obrotu usredniala sie do zera po czasie.

Model balistyczny (z oporem, ale bez sily napedowej i nosnej)

Oznaczam przez x i z odleglosci w poziomie i pionie srodka masy ciala od podstawy brzozy, a przez Vx i Vz odpowiednie predkosci. Przez

V = sqrt(Vx^2 + Vz^2)

oznacze szybkość ruchu. Ponieważ siła oporu skierowana jest w kierunku przeciwnym do wektora predkosci, jej skladowe wzdłuż osi x i z sa rowne wartosci sily oporu (Fd ~V^2) razy cosinus kierunkowy (Vx/V, albo Vz/V).  Oznaczajac przez g przyspieszenie grawitacji ziemskiej, otrzymuje newtonowskie rownania ruchu

dx/dt = Vx,         dVx /dt = -Cd*0.5*ρ *(A/M) * Vx * V

dz/dt = Vz,         dVz /dt = -Cd*0.5*ρ *(A/M) * Vz * V - g

gdzie ρ = 1.29 kg/m³ to gestosc powietrza o temp 2 C, g = 9.81 m/s^2, zas  A/M to stosunek pola powierzchni do masy. Warunki poczatkowe przy brzozie niech beda takie

x = 0, Vx = 77 m/s, z = 6 m, Vz = 19.2 m/s.

Warunkiem koncowym niech bedzie wyladowanie na pochylonej plaszczyznie oddajacej pochyly teren, na wysokosci z= b x powyzej podstawy pnia brzozy, gdzie b = 3/180*Pi  jest zalozonym katem pochylenia terenu w radianach (pochylenie terenu ~3 stopnie). 

Ponizsza tabela podaje po jakim czasie t, jak daleko, i z jaka predkoscia koncowa dolecialo cialo o danym w pierwszej kolumnie wspolczynniku oporu aerodynamicznego (wynik calkowania numerycznego przy uzyciu programu w jezuku IDL, który podam poniżej): 
1.   Cd  =  0.04,      t =      3.39 s ,    x =      241 m,   v =      67.4 m/s
2.   Cd   = 0.48,      t =      2.95 s ,    x =      131 m,   v =      30.3 m/s
3.   Cd   = 0.80,    t =      2.78 s ,   x =    102 m,   v =      23.3 m/s
4.   Cd   = 1.20,      t =      2.64 s ,    x =      82  m,   v =      18.9 m/s

[5.  Cd   = 16.0,      t =      2.03 s ,    x =   13 m,   v =      6 .0 m/s;  Uwaga: niefizyczna wartosc Cd!]

Nastepujące, policzone przypadki oddają dość dobrze odległości x (podane w metrach) na jakie przemieści się ciało o podanym współczynniku oporu Cd: 

1. skrzydło smoleńskie, 15 m^2, masa M=600 kg, lecace przy zerowym kacie ataku,

2. kula o polu przekroju 15 m^2 i masie 600 kg (dla porownania)

3. jak punkt 1, tylko przy zalozeniu koziolkowania wokol trzech osi.

4. jak punkt 1, tylko przy zalozeniu lotu prostopadle do powierzchni skrzydla (ta orientacja nie jest mozliwa do utrzymania przez dluzszy czas, to przypadek graniczny dla ilustracji ograniczenia dolnego na odleglosc przebyta przez rzeczywiste skrzydlo).

5. ten model pokazuje, że aby uzyskać x ~ 13 m, trzeba wziąć dwadzieścia razy za duży (niefizyczny) współczynnik oporu dynamicznego, równy Cd=16, albo pomylić się grubo w jakichs danych wejsciowych do symulacji, cos w stylu: masa w kg, podczas gdy program oczekuje ciezaru w N, albo cos rownie blednego.

Nie uwzglednilem w obliczeniach trzeciego kierunku ruchu, wzluz osi y, to znaczy zaniedbuje zboczenie w prawo z poczatkowego toru ruchu samolotu przy brzozie. To ma niewielki wplyw na podane odleglosci i czasy spadku.

Dlaczego bralem Vz = 19.2 m/s jako predkosc poczatkowa w pionie, po tym jak za ten parametr oczywiscie sam skrytykowalem prof. Biniende, ze to nierealna dana? Przeciez wtedy samolot 1/3 sekundy wczesniej bylby pod ziemia! Otoz biore te dana, poniewaz odpowiada ona zupelnie przypadkowo predkosci pionowej po zakonczeniu pierwszej fazy ruchu skrzydla, czyli do osiagniecia kata natarcia = pi/2. Oszacowalem w Uzupelnieniu 3, ze pierwsze ~0.17 sekundy po oderwaniu od samolotu koncowka skrzydla poddana byla malejacemu do zera przyspieszeniu pionowemu sily nosnej. To jest okres ruchu regularnego, o ciagle jeszcze malym tempie obrotu, czyli ruchu nie koziolkujacego. Powolnosc obrotu na tym etapie jest bardzo wazna, gdyz sila nosna calkowana po dlugim czasie daje duza zmiane predkosci pionowej. Jak mowilem, poczatkowe przyspieszenie sily nosnej tej czesci skrzydla przylozone do masy M to az +17 g. Po odjeciu 1g grawitacji to przyspieszenie srodka masy +16g.  Jesli przyspieszenie to spada po okolo 0.17 s do  zera, to predkosc pionowa koncowki skrzydla od predkosci calego samolotu przy brzozie (+6 m/s) przyrasta do wartosci Vz0~ 6 + ((16+0)/2)*9.81*0.17  m/s = 19.3 m/s. Mozna dla uproszczenia wziac Vz0~19 m/s. Nie jest to dana nierealistyczna pod warunkiem, ze rozumiemy o czym mowa: jest to predkosc na koncu krotkiej fazy ruchu regularnego koncowki skrzydla. Poniewaz to taka krotka faza, nie poprawialem rachuby czasu na jej okolicznosc. Oto skrypt, w holdzie zasadzie otwartosci w badaniach naukowych.

; A simple aerodynamic drag simulation: ballistic curve + extended model w/lift force
; SI units.

; tym koloremzaznaczono zmodyfikowany model uwzgledniajacy sile nosna skrzydla.

; aby otrzymac model balistyczny, trzeba usunac fragmenty tak zakolorowane.

; (c) p.art. 28 nov 2011

    A = 15.
    M = 600.
    A_M = A/M
    Cds = [0.04, 0.48, 0.8, 1.2, 16] ; table of drag coefficients
    b = 3./180*!pi ; terrain slope
    g = 9.81
   
    for ic = 0, n_elements(Cds)-1 do begin ; loop over Cd's

    t = 0   &   dt=0.001   
    x = 0
    z = 6.
    vx = 77.
    vz = 19.2     (6.5)   ; predkosc poczatkowa 19.2 m/s (jak u Biniendy), albo 6.5.

    Cd0 = 0.18
    Cd1 = Cds(ic)   

    ; vterm = sqrt(9.81*2/Cd/A_M/1.29)   
    ; print,' init x, v ',  x, sqrt(vx^2+vz^2), '   terminal V = ',vterm
    N = 4./dt
    qdt = 0.5*dt
   

; the main time loop, leapfrog symplectic integrator
    for it = 0,N-1 do begin  
        t = it*dt
        v = sqrt( vx*vx+vz*vz )

        Cd = Cd0 + (Cd1-Cd0) *(t/0.17 < 1.) ; up-ramp Cd in time
        Lift = +16*g *((1.-t/0.17) > 0.) ; przysp. sily nosnej, spada z +16g do 0g w ciagu 0.17s.

        p_v = -Cd * 0.5*1.29*v 
       
        fdx = p_v * vx *A_M
        fdz = p_v * vz *A_M - g +Lift
       
        vx = vx + fdx * qdt
        vz = vz + fdz * qdt
        qdt = dt
        x = x + vx * qdt
        z = z + vz * qdt
       
    ;if (it/40*40 EQ it) then print,t,x,z,vx,vz
    if (z LE b*x) then goto, finish
    endfor; it
finish:
    print, 'Cd',Cd,',  t =',t, 's ,  x =',x, ' m,   v =',sqrt(vx^2+vz^2),' m/s'
    endfor; ic
end

Model z sila nosna skrzydla

Na koniec, omowie modyfikacje programu konieczna do modelowania poczatkowej fazy ruchu koncowki skrzydla, poddanemu w momencie urwania na brzozie znacznej sile nosnej (~10 ton), a w zwiazku z tym znacznemu poczatkowemu przyspieszeniu pionowemu tej sily rownemu +16 g. Mimo, ze wartosc sily jest efektem moich osobnych, dokladniejszych obliczen wg. teorii Prandtla  (ktora zaczalem opisywac w rozdz. 3 bloga), to  zgadza sie mniej wiecej z wartoscia dawana przez proste przemnozenie A przez cisnienie dynamiczne i wspolczynnik sily nosnej CL = 1.7, wlasciwy dla kata pochylenia kadluba 14 stopni przy brzozie (Bechtir 1997, rys. 1.5 na str. 19). Odpowiada to katowi natarcia 13 stopni na koncu skrzydla. Sila ta rozkreca poczatkowo skrzydlo wokol jego najdluzszej osi.

Pierwsza faza ruchu konczy sie w momencie, gdy skrzydlo, poddane niezrownowazonemu momentowi sily zwiekszajacemu bardzo szybko jego pochylenie (pitch angle), osiaga kat natarcia 90 stopni i tym samym zerowa sile nosna. Z moich oszacowan wynika, ze to nastapi po okolo 0.2 sekundy. Jest to jednak dostatecznie dlugi czas, aby nadac koncowce znaczna predkosc pionowa. Modeluje to tak: zakladam, ze pomiedzy t=0 a t=0.17 s, istnieje malejace liniowo w czasie, dodatkowe przyspieszenie pionowe rowne

L = +16*g *((1. - t/0.17) > 0.)

(operator > nie oznacza w IDL znaku wiekszosci, tylko funkcje maksimum, to znaczy wiekszy z dwoch argumentow po lewej i prawej stronie).

Wspolczynnik oporu musi przyrosnac od wartosci poczatkowej Cd0=0.18 do wartosci koncowej Cd1. Cd0 odpowiada katowi natarcia skrzydla okolo +13 stopni (do pochylenia samolotu okolo 14 stopni dodalem kat zaklinowania koncowki skrzydla okolo -1 stopien). U Bechtira i in. (1997),  do ktorego jest link w Bibliografii  (rozdz. 0 bloga), na stronie 19 znajdujemy krzywe Cx i Cy dla sredniego profilu skrzydla tupolewa 154M. (Dziekuje dr Nowaczykowi za przypomnienie mi tej ksiazki w jednym z komentarzy na innym blogu; z poczatku bralem nieco mniejsze wartosci Cd0. To jednak nie mialo wielkiego wplywu na ostateczne wyniki.) Mozna przyjac Cd0 = 0.18 z interpolacji krzywych 3 i 3' (w efekcie gruntowym). Zmienne Cd modeluje linia programu

Cd = Cd0 + (Cd1 - Cd0) *(t/0.17 < 1.) ; up-ramp Cd in time

Wazna modyfikacja to zmiana nierealnej pionowej predkosci poczatkowej z 19.2 m/s na realistyczna, znana z przycietej zieleni pomiedzy brzoza Bodina, a poprzednio przycietym mniejszym drzewem. Srednia predkosc na odcinku przed brzoza wynosila Vz_ = +4.6 m/s, ale chwilowa predkosc w manewrze emergency terrain avoidance stale rosla, biore zatem Vz (przy brzozie) = 6.5 m/s, zmieniajac odpowiednia liczbe w programie. Wyniki sa podobne do modelu balistycznego - przez koincydencje! (pierwsza faza ruchu daje predkosc zblizona do 19 m/s).

1.  Cd1     0.04,       t =    3.44 s ,      x = 241 m,      v  =   66.4 m/s
2.  Cd1     0.48,       t =    3.06 s ,      x = 136 m,       v  =  30.1 m/s
3.  Cd1     0.80,     t =   2.90 s ,     x = 108 m,    v  =  23.2 m/s    (84 km/h)
4.  Cd1     1.20,       t =   2.76 s ,      x =  88 m,        v  =  18.8 m/s

[ 5.  Cd1      20,      t =    2.31 s ,     x = 16.3  m,      v =  5.5 m/s
 6.   Cd1      30,      t =    2.43 s ,     x = 12.7 m,      v  =  4.5 m/s ;   uwaga!  niefizyczne duze wartosci Cd1]
 
Podsumowujac,  model nr. 3, w ktorym koncowka skrzydla obraca sie przez wiekszosc czasu, ze srednim wspolczynnikiem oporu aerodynamicznego rownym jak argumentowalem 0.8, daje najlepsze rezultaty.  W ciagu pierwszych 0.17 sekundy skrzydlo katapultuje sie do gory (i nieco na prawo, ale ten wymiar zaniedbuje), po czym przelatuje w sumie 108 m w ciagu 2.9 sekund i laduje na krzakach/drzewach z predkoscia 84 km/h. 

Koncowa uwaga dotyczy nieoznaczonosci i statystycznej natury wynikow. Spodziewam sie sporego rozrzutu faktycznych wynikow - co jest konsekwencja chaosu deterministycznego w tym problemie,  co jest wynikiem dzialania turbulencji wokol i za skrzydlem. Inne zrodla nieoznaczonosci to nieznana dobrze struktura skrzydla wraz z silownikami klap i wiele innych. Glowna niepewnosc dotyczy chyba jednak warunkow poczatkowych. Do ich uscislenia potrzebne beda bardziej realistyczne symulacje lamania skrzydla. Prawdopodobnie nieoznaczonosc odleglosci skrzydla od brzozy w serii obliczen  Mt Carlo bylaby wieksza, niz 20%. Ja podalem tu wartosci najbardziej prawdopodobne.

UZUPELNIENIE   2 - Przypadek jednowymiarowy

Pokaze tu zwiazek przyspieszen poczatkowego i sredniego, w ruchu jednowymiarowym z oporem powietrza.

dV/dt = -c  V^2, gdzie c = Cd*0.5*ρ *(A/M) =const. Calkujac to rownanie po czasie metoda separacji zmiennych dostaje

V(t) = V0/(c*V0*t + 1), gdzie V0 jest predkoscia poczatkowa w chwili t=0.

Gdyby ktos potrzebowal znac zaleznosc drogi od czasu, x(t), moze to rownanie jeszcze raz przecalkowac po czasie i dostac zaleznosc logarytmiczna.  Jedna z postaci wyniku widac na slajdzie NASA w prezentacji zespolu sejmowego. To oznacza, ze traktuja oni (w NASA) ruch w poziomie i w pionie jako niezalezne (zle przyblizenie, w ogolnosci, ale niezle dla klas K-12).

Przyspieszenie chwilowe w t=0 rowne jest a0 = -c V0^2. Natomiast przyspieszenie srednie w czasie t rowne jest = (V - V0)/t, co przy uzyciu wyrazenia na V(t) daje

 = -c*V0^2 /(1 + c*V0*t) = a0 / (1 + c*V0*t) = a0 * (V/V0)

a0 = (V0 / V)

W  przypadku symulacji Biniendy mamy a0 = (77/27) = (77*22/27) g = 63 g.

Zobacz galerię zdjęć: