9. Inżynieria skrzydła a jego starcie z drzewem

Obiecalem opisac troche bardziej dokladne oblicznia konstrukcji i wytrzymalosc skrzydla. w rozdz. 6 "Bajka o brzozie-patyczku i niezlomnym skrzydle" zrobilem wiele oszacowan, ktore udalo mi sie teraz uscislic. mam nadzieje ze tym, co tu opisze, zadowole tych, ktorzy dostawali gesiej skorki na widok fizycznej nonszalancji takiej jak traktowanie dzwigarow jak belek o dowolnym ksztalcie przekroju. to odcinek zwlaszcza dla inzynierow, architektow i budowlanych. nazwijmy to wersja 2.2 teorii. (najnowsze uzupelnienie z 2 pzdziernika, to dokladnieksze dane materialowe o brzozie, jak i uscislone dane o poszyciu i stringerach w skrzydle). w przyszlosci postaram sie rozwinac temat, robiac obliczenia dynamiczne. do tego celu nie bedzie mi potrzebny superkomputer, chociaz mam do dyspozycji kilka malych superkomputerow. po prostu do zrozumienia fizyki te wspaniale maszyny nie zawsze sa potrzebne, a czasem wrecz potrafia przeslonic drzewami widok lasu, jak to sie mowi. ogolnie, rzucanie sie do komputera z czyms, co mozna zrobic przy uzyciu brzozowego, badz aluminiowego suwaka logarytmicznego jest szalenie nieeleganckie.

 

BRZOZA 

o brzozie wiemy, ze ma odpornosc na zginanie wiodace do zlamania rzedu 80 MPa. jest to wartosc podobna do modulu pekania (modulus of rupture, albo MOR) wielu rodzajow drewna. jednak trzeba rozroznic mokra i sucha brzoze: jak podaje "Wood engineering handbook " cytowany w bibliografii, brzoza europejska, ktora jest najbardziej zblizona do amerykanskiej paper birch ma nastepujace wlasciwosci:

mokra:  MOR = 44 MPa, E = 8.1 GPa, W = 16.2 psi

sucha:  MOR = 85 MPa (w innym zrodle znalazlem 95 MPa), E = 11 GPa, W = 16.0 psi

mamy tu modul pekania (modulus of rupture, albo MOR) i modul Younga E, oraz prace W do maksymalnego obciazenia. jak widac, ta ostatnia wielkosc jest taka sama dla suchego i mokrego drewna, podczas gdy sila na jednostke powierzchni potrzeba do przelamania belki brzozowej jest mniejsza w przypadku mokrej, "zielonej" brzozy (takiej jak w smolensku). to oznacza, ze mokre drewno wytrzymuje dwa razy wieksze rozciagniecie (strain), niz suche.

potwierdzenie tego faktu znajdziemy w rodzaju wykresu rozciagania dla brzozy, ktory rozni sie znacznie od takich wykresow stress-strain dla innych drzew. na przyklad, porownanie jednego ze swierkow amerykanskich i brzozy pokazuje, ze po przekroczeniu maksymalnego obciazenia bocznego, belka swierku peka i traci wytrzymalosc, a wlokna brzozy przesuwaja sie wzgedem siebie lecz nie pekaja latwo, dzieki czemu sila rozciagajaca musi wykonac juz po przekroczeniu granicy pekania duza prace zeby brzoze rozczlonkowac, a maksymalna deformacja zanim drzewo przestanie stawiac znaczny opor jest duzo wieksza, niz w przypadku swierku.

jaka wartosc przekroju drzewa w miejscu uderzenia przyjac dla obliczenia jego pola powierzchni B? w wersji 2.0 teorii przyjalem 38+-2 cm, na podstawie zdjec. jednak teraz mam dokladniejsze dane z pomiarow zrobionych w tym celu na miejscu. dr Mieczyslaw Proszynski, wspolautor najnowszej ksiazki "ostatni lot - raport o przyczynach katastrofy" (Proszynski i Ska, wydanie 22 wrzesnia 2011) od dawna przygotowywal te materialy na rozszerzenie internetowe ksiazki i po publikacji moich felietonow zawiadmil mnie o powyzszym linku; serdecznie dziekuje i czekam na okazje przeczytania calej ksiazki!).  brzoza miala w miejscu przelomu 44 cm srednicy. uwzgledniajac, ze kora i miekkie zewnetrzne sloje drzewa maja pare cm glebokosci, przyjmuje srednice efektywna 40 cm:

B  = (pi/4) * (40 cm)^2 ~  1260 cm². 

 

SKRZYDLO 

duraluminium D16  ma gestosc 2.8 g/ cm³. wiemy tez, ze dla tego stopu uzywanego w samoolocie Tu-154M na belki i poszycie, nieco podobna role odgrywaja ultimate tensile strength (UTS = 451 MPa) i prog plastycznosci (yield strength ~ 310 MPa), oraz shear strength, wytrzymalosc na scinanie, ktora jest rowna 0.55*UTS=248 MPa (tu jest to opowiedziane dlaczego 0.55). zatem material samolotu jest albo 5.6 razy, 7 razy lub 10 razy bardziej wytrzymaly na rozrywanie, w przeliczeniu na jednostek pola powierzchni przekroju -- w zaleznosci od tego czy przyjmiemy, ze metal podlegal, odpowiednio:  scinaniu, plynieciu (deformacji plastycznj) czy czystemu rozciaganiu.  trudno bez dokladnego modelu kolizji rozstrzygnac, ktory z modow niszczenia belek aluminowych przyjac, najostrozniej bedzie, faworyzujac wytrzymalosc skrzydla, przyjac wartosc graniczna odpowadajaca najwyzszej mozliwej wytrzymalosci duraluminium (UTS): 10 razy wieksza wytrzymalosc, niz mokrego drewna brzozy.  odpowiadac to bedzie nastepujacemu wyobrazeniu o schemacie obciazenia belki: aluminium nie lamalo sie pod wplywem sily punktowej, lecz deformowalo i owijalo wokol pnia, rozciagajac plastycznie, az do przekroczenia maksymalnego rozciagniecia rownego ~15-20% poczatkowej dlugosci tego odcinka, ktory podlegal najwiekszemu rozciaganiu (to wynik wolnego obciazania, przy szybkim obciazeniu to faktycznie tylko 10.5%. zalozenia modelu Binieny sa niewlasciwe ale ja nie chce sie na tymk w tej chwili koncentrowac).

po przekroczeniu maksymalnego rozciagniecia belka pekala. podobnie dzialo sie oczywiscie z cienkimi blachami uderzajacymi w drzewo.  poniewaz rozciagane najpierw byly blachy dzwigara 1, nastepnie 2 a w koncu 3, dzwigary te lamane byly jeden po drugim, nie wspomagajac sie nawzajem. z punktu widzenia wytrzymalosci, bardziej wytrzymaly na szybkie uderzenie i deformacje plastyczna bylby jeden super-dzwigar z polaczonych dzwigarow 1+2+3, co jednak nie ma sensu przy przenoszeniu sil aerodynamicznych bo doprowadziloby  do fatalnego w skutkach skrecania skrzydla.  do omawiania wlasciwosci materialowych nie bede tu juz wracal, uzyje tylko mojego bardzo ostroznie oszacowanego czynnika 10 na koncu, do porownania wytrzymalosci brzozy i elementow skrzydla.

Najwazniejsze pytanie na ktore musimy odpowiedziec to, jak duzy byl przekroj elementow strukturalnych skrzydla (A) w strefie uderzenia, jakie elementy nosne uderzyly w drzewo i jakie mialy przekroje, w porownaniu z brzoza o przekroju B?  jesli  A >> B/10, skrzydlo wygrywa z brzoza (zobacz jednak koncowa dyskusje, ta wygrana moze byc pyrrusowa), jesli A<< B/10 to brzoza wygrywa.

co do budowy samolotu,  jak zwykle odsylam do materialow zamieszczonych przez M. Dabrowskiego w salonie 24. skrzydlo ma trzy glowne dzwigary. sa to uklady polaczonych dwoch belek u gory i u dolu, oraz  plaszczyzn pionowych przeciwdzialajacych ich wzajemnemu ruchowi. belki to teowniki mniej niz centymetrowej grubosci. pionowe scianki dzwigarow wraz pionowymi zeberkami ulozonymi do nich pod katem prostym tworza komory kesonu,czyli kratownicy przestrzennej. dzwigary sa tak wysokie, jak profil skrzydla w danym miejscu, w interesujacym nas miejscu maja wysokosc ~30 cm. pokrycie plata usztywniane jest przez kilkadziesiat malych belek aluminiowych zwanych podluznicami badz stringerami. biegna one w tym kierunku co dzwigary, wzdluz skrzydla, ale sa ze soba polaczone tylko przez zebra i samo pokrycie, ktore jest w kesonowym skrzydle materialem konstrukcj nosnej, to jest powierzchnie skrzydla pracuja na rozciaganie i sciskanie. zarowno podluznice (stringery) jak i poszycie nalezy wliczac do rachunku przekroju elementow nosnych.  z rysunkow przekroju skrzydla wynika ze typowy przekroj kazdej z 25 podluznic to ~2 cm².

skrzydlo ma w sumie 88 zeberek; sa prostopadle do 3-go dzwigara, a wiec leza w kierunku odchylonym od kierunku lotu o prawie 35 stopni. sa one bardzo lekkie i cienkie, mniej wiecej 0.06 cala czyli 1.5 mm, najwyzej 2 mm.  3 z nich sa wzmocnione i grubsze (pomijam to, gdyz nie sa rejonie zderzenia). na wyzej cytowanych rysunkach zaznaczona jest typowa grubosc poszycia kadluba samolotu 1.5 mm. grubosc pokrycia skrzydla jest zmienna: w poblizu kadluba to az 4 mm blachy W95, natomiast w okolicy uderzenia to tylko 2 mm blachy D16 na kesonie i na nosku i skrzelach, a 1.5 mm na klapach.  w kolizji keson traci swa wytrzymalosc. destrukcje poprzedza wybrzuszonie i giecie najbardziej plaskich elementow: cienkich zeber i scianek dzwigara uderzonych mniej wiecej od przodu skrzydla, prostopadle do kierunku pionu, w ktorym normalnie pracuja. powoduje to, ze keson gnie sie, a konstrukcja skrzydla atakuje drzewo glownie swymi najmocniejszymi i najciezszymi elementami: belkami pierwszych dwoch dzwigarow, a nastepnie trzecim dzwigarem i zawieszona w miejscy zderzenia mala gondola techniczna zawierajaca szyny i prowadnice mechanizacji skrzydla (ten element znajduje sie tuz pod skrzydlem, na jego krawedzi splywu. gondola moze odpowiadac za dodatkowe, ostateczne zniszczenie wlokien brzozy, mimo ze nie uczestniczy aktywnie z najwazniejszych zmaganiach dzwigara #1 z drzewem).  to pomaga zrozumiec zagadkowy poczatkowo fakt, ze zarowno skrzydlo jak i drzewo doznaly w koncu znacznych uszkodzen i przerwaly sie.

skrzydlo nie jest prostopadle do kierunku ruchu,  krawedz natarcia ma skos 40 stopni w stosunku do takiego ustawienia. cztery zebra (numery 27-30) i trzy dzwigary sa na linii ruchu pnia.  musialy byc przeciete (jesli skrzydlo zostalo przeciete drzewem). to, ze zeberka byly pod katem ~50 stopni do kierunku ruchu a dzwigary ~40 stopni, powodowalo ze drzewo nie pozwalalo sie skrzydlu w zaden sposob zeslizgnac i musialo lamac jedne lub/oraz drugie.

aby policzyc  calkowite pole przekroju elementow skrzydla A, a w szczegolnosci waznych belek dzwigarow, w miejscu podlegajacym zderzeniu, zrobie szkicowe obliczenia wytrzymalosci skrzydla TU-154, tak jak to sie robi przy wstepnym projektowaniu samolotow. to daje minimalne przekroje elementow struktury skrzydla, zapewniajace bezpieczenstwo w locie.

by lepiej poznac zakres mozliwego wyniku, dodam druga metode, ktora daje gorne ograniczenie i opiera sie na empirycznym skalowaniu masy skrzydla wraz z masa calego samolotu transportowego, sprawdzona w konstrukcjach z ostatniego polwiecza.

Obliczenie pierwsze (v. 2.1):

filozofia rachunku jest nastepujaca: rozwazam sily dzialajace na skrzydlo nieuszkodzone, ale na jego czesc ktora nazywam koncowka, nie na cale skrzydlo, tak jakby stabilnosc i przetrwanie czesci na prawo od linii uderzenia przez drzewo byly zapewnione, a koncowka skrzydla byla przytwierdzona do niewidzialnej sciany. chce bowiem dostac lokalny warunek maksymalnego obciazenia pod wplywem granicznych przeciazen, a stad wymagane lokalne grubosci belek dzwigarow. poczatkowe obliczenie, ktore podalem w rozdz. 6, opieralo sie na podzieleniu oszacowanej sily lamiacej skrzydlo w obciazeniu granicznym przez wytrzymalosc stopu aluminium na scinanie. bylo to najprostsze co moglem zrobic na predce, jednak bylo to z inzynieryjnego punktu widzenia, przyznaje, oburzajace przyblizenie. ale poczekajmy ze stanowcza ocena i zapamietajmy, ze tamto przyblizenie dalo A~90 cm² dla calkowitego przekroju 3 dzwigarow.

samolot musi w locie nieprzyspieszonym uniesc swoj ciezar, ale w manewrach, turbulencji, musi wytrzymac 4 razy wiecej, zanim pekna mu skrzydla. Bechtir i in. (1997) podaje, ze dozwolone w eksploatacji maksymalne przeciazenie strukturalne i to tylko w niektorych zakresach wysokosci lotu i predkosci, wynosi n = 2.5g; to oznacza, ze tzw. ultimate load factor prowadzacy do uszkodzenia skrzydla wynosi okolo n = 1.5*2.5 = 3.75g; przyjmijmy n(uszkodzenie) = 4g.

przy przeciazeniu 1.3g (sytuacja przy brzozie) pokaze w rozdz. 4 ze sila nosna na 6-metrowej koncowce skrzydla wynosi 10-11 t. (najprostsza teoria Prandtla rozkladu eliptycznego sily mowi, ze optymalne wzgledem oporu indukowanego skrzydlo o rozpietosci 18.7 m, na koncowce od 13. 5 do 18.7 m ma sile nosna 9t w takich warunkach, zob. przypis ponizej). przy obciazeniu granicznym rownym 4g, przy ktorym koncowka zagrozona bylaby lamaniem, ta sila wynosilaby odpowiednio wiecej, ~10*4/1.3 ton = 41 t.

a oto budowlane sekrety dzwigara. jest on w istocie bardzo cienki w srodku (po ang. ta czesc nazywa sie web), ale obramowany jest masywnymi belkami. plyta srodkowa pracuje na scinanie, belki u gory i u dolu na zginanie. w miejscu, w ktorym chcemy zapewnic przetrwanie konstrukcji, gorna belka dzwigara poddana jest sciskaniu, dolna rozciaganiu. jakie sily od koncowki skrzydla dzialaja na te belki, tj. jakie sily naprezen sciskajacy/rozrywajacych generuje sila nosna przy obciazeniu granicznym? grubosc skrzydla to ok. 30 cm w miejscu uderzenia. to mozna ocenic zarowno z rysunkow skrzydla jak i z rodzaju jego profilu, ktory na wysokosc ~10 razy mniejsza niz dlugosc (3.1 m  wzdluz zeber /10 = 0.30 m). efektywne ramie dzialania sily nosnej to niecale pol rozpietosci koncowki skrzydla rownej ok. 5 m, dokladniej  2.13 m. to z kolei wynika z calkowania przy zalozeniu sily o rozkladzie eliptycznym; nie chce przerywac ciagu mysli wiec releguje to obliczenie do uzupelnienia zaraz pod tym fragmentem. nie-eliptyczny rozklad sily dalby troche mniejsze ramie, wiec jak zwykle moje zalozenia sa calkiem fair, sprzyjaja wytrzymalosci skrzydla.

stosunek efektywnego ramienia do calkowitej grubosci przekroju skrzydla to 213:30 = 7.66. o taki wlasnie czynnik sily sciskajace i rozrywajace belki sa wieksze od przylozonej sily nosnej (to jak przekladnia albo lom o ramionach, 1:7.66; im ciensze skrzydlo tym bardziej musi byc wytrzymale). sily wewnetrzne sa rzedu 41 t * 7.66 = 314  t.

w dokladniejszych obliczeniach, uwzgledniam takze fakt, ze plyta pionowa dzwigara tez podlega naprezeniom scinania i przenosi sile. to powoduje, ze do powyzej wyliczonej sily trzeba dodac jeszcze okolo 60% sily nosnej do wartosci sily sciskajacej (314 t +25 t =339 t) a odjac 60% tej sily od wyliczonej sily rozciagajacej dolna belke (314 t -25 t = 289 t). dokladniej, mowa tu o dodawaniu polowy sily nosnej podzielonej przez tangens kata α, jaki tworza naprezenia wewnetrzne w pionowej cienkiej plycie z poziomem. i w teorii Wagnera i w praktyce α = 40-43 ^o. szczegoly tych zagadnien zawarte sa w podrecznikach takich, jak zasluzony Bruhn (1973), albo nowszy podrecznik projektowania struktur samolotowych Megsona (1999, rozdz. 6.13 Tension field beams, zob. bibliografie bloga). pamietajmy, ze w rzeczywistym skrzydle, jego gieciu przeciwdzialaja tez liczne, niewielkie usztywniacze-podluznice (stringery) przyczepione do poszycia. trzeba bedzie wziac na to poprawke, ale na razie myslimy o nich jak o czesci belek dzwigara.

dolna belka pierwszego dzwigara pierwsza stanela do walki z brzoza, ze wzgledu na kat nachylenia skrzydla rowny okolo 14 stopni do poziomu (pitch = 13.5^o, ustawienie skrzydla w stosunku do kadluba okolo zera w tym miejscu skrzydla; kat wznoszenia okolo 4 stopni w gore - nalezy go odjac jesli pytamy okat natarcia skrzydla na brzoze). dolna belka wystawala na ~30cm*(10/57)rad ~ 5 cm przed gorna. dlatego warto jej pierwszej poswiecic uwage. trzeba jednak wiedziec, ze gorna i dolna czesc dzwigara maja podobne przekroje, wiec nie jest kompletnie bledne traktowanie ich razem.

latwo teraz wyliczyc minimalne powierzchnie przekroju belek zdolnych wytrzymac naprezenia graniczne. z wlasnosci wytrzymalosci na rozciaganie (σ = 541 MPa) stopu D16 wynika przekroj calkowity belki dolnej dzwigara #1 wraz z pobliskimi stringerami (pamietajac, ze skrzydlo ma 3 dolne belki dzwigarow):

A_d1 = 289*9.81 kN /(3 σ ) ~ 18 cm².

moje inzynieryjne oszacowanie calkowitego pola przekroju wszystkich 6 glownych belek dzwigarow w miejcu uderzenia w drzewo to

A ~ 6 * 17.5 cm² = 105 cm²,

nie odbiega wiec znacznie od mojego (kawaleryjskiego i niescislego) fizycznego oszacowania A ~ 90 cm²!  (jest naprawde lepiej, niz myslalem).

tutaj wypadaloby w koncu uwzglednic to, ze na rozciaganym silami aerodynamicznymi poszyciu dolnym jest zamontowanych w sumie 9 stringerow, a na gornym wiecej, 15, aby przeciwdzialac wybrzuszaniu sciskanych blach poszycia. pierwszy dzwigar ma za soba 5 stringerow dolnych o lacznym polu 10 cm²,  a gorny 7 nieco mniejszych stringerow o lacznym polu takze okolo 10 cm²,  dolna belka pierwszego dzwigara ma wiec ostatecznie nie 18 cm², a mniejszy przekroj

A_d1 ~ 8 cm²,

to jest mniej niz przekroj pobliskich stringerow. skrzydlo TU-154M jest wiec pełnoprawną konstrukcją samonośną, kesonową, nie zdominowaną przez duże dźwigary, jak w starszych samolotach.

Obie belki dzwigara maja  ~16cm², zas cały dźwigar ma po doliczeniu jeszcze 30cm * 2 mm = 6 cm² przekroju slabej plyty pionowej (web) i wszystkich pobliskich stringerow (~20 cm²), nastepujace pole powierzchni przekroju jednej trzeciej elementow nosnych skrzydla

A₁ ~ 42 cm²  

nota bene, płyta pionowa jest zabezpieczana przed wyginaniem bocznym faldami czy rozpórkami, ale ja nie będę ich liczyl osobno, gdyż nie przenoszą wiele siły nośnej, a ich wylamanie nie stanowi dla brzozy problemu.

jaki jest ksztalt przekroju belki dzwigara?  to teownik. ale, co ciekawe, o cienszym pionowym "pniu" a grubszej poziomej listwie. mozna spojrzeć na ksztalt dzwigarow w prezentacji prof. Biniendy, jednak wymiary moga byc mylace, bo podane sa rysunki dzwigarow w centroplanie, a nie na zewnetrznej czesci skrzydla (ros. slowo centroplan widoczne jest na obu rysunkach na slajdach profesora. mam nadzieje, ze do obliczen miejsca zderzenia skrzydla i brzozy nie bral wymiarow tych dzwigarow centroplanu! to by bardzo zawyzylo wytrzymalosc skrzydla.) z mojej oceny wynika, ze teownik ma podstawe o przekroju 1 cm x 6 cm, a pien  o przekroju 4 cm x 0.5 cm. to juz jest bardzo konkretna podstawa do dalszych szczegolowych rozwazan o niszczeniu dzwigara #1 i znajdujacych sie za nim mniejszych podluznic.

koncowy wniosek jest oczywisty. A₁ ~ 42 cm² dla calego dzwigara #1 i okolicznych elementow to znacznie mniej, niz przekroj brzozy B = 1260 cm²!

jeśli, bardzo szacunkowo, przyjmując podobny czynnik wydlużenia skrzydla i pnia drzewa, porównamy miary wytrzymałości tych dwóch obiektów (przekrój razy wytrzymałość materiałowa, przy czym ta ostatnia jest najwyżej 10 raza mniejsza w brzozie), to dla pierwszego dźwigara zachodzi

  A₁ ~ 42 cm²  <<  B/10 ~ 126 cm²

to sugeruje, że i w obliczeniach dynamicznych wytrzymałość brzozy wielokrotnie przewyższy wytrzymałość dźwigara. jak wspomnialem juz wczesniej, poszycie i zeberka sa grubosci ~2 mm i sa swietne do opierania sie w skladzie kesonu malym silom aerodynamicznym, ale przy zderzeniu z grubym drzewem niewiele maja do gadania: zeberka wyginaja sie (wybrzuszaja) a poszycie wygina i rwie.  oczywiscie szczegoly tego procesu trzeba uczciwie policzyc. a teraz uzupelnienie.

 

Ramię efektywne siły nośnej:

rozklad naprezen w skrzydle zaprojektowanym z uwaznym potraktowaniem oporu indukowanego (teoria Prandtla) jest eliptyczny, czyli opisany jest wzorem opisujacym rowniez elipse,

dF/dy = f  sqrt[1 - (y/(b/2))^2]

y oznacza odleglosc liczona prostopadle do osi samolotu, od y=0 do konca skrzydla w odleglosci y=b/2 (b = rozpietosc calkowita skrzydla).

f jest sila na jednostke dlugosci skrzydla, obserwowana przy kadlubie, zas dF/dy ogolnie, tym samym, tylko w dowolnym miejscu.

Prandtl nie rozwiazal problemu skrzydel skosnych, ale do naszych oszacowan to nie jest wazne - przyjmijmy, ze skrzydlo jest proste. jaka calkowita sila gnie do gory koncowke skrzydla, ktora jest na zewnatrz punktu o wspolrzednej Y =13.5 m, gdzie uderzyla brzoza?

F(Y) = S_Y^b/2 {dF/dy} dy.

Uzywam symbolu  S_Y^b/2  na oznaczenie calki od Y do b/2.

jeszcze wazniejsze jest, zeby opisac moment tej sily wzgledem linii ciecia:

M(Y) = S_Y^b/2 {dF/dy} y dy.

moment sily podzielony przez nia sama to efektywne ramie dzialania sily r.

M(Y) = r F(Y) (oczywiscie r jest liczone od punktu y=Y, a nie od srodka samolotu jak y).  na szczescie calki w wyrazeniu

r(X) = (b/2) [S_X¹ {sqrt(1-x²) (x-X)} dx] / [S_X¹ {sqrt(1-x²)} dx]

daja sie policzyc, jesli nie analitycznie, to przynajmniej numerycznie. np. F(Y) to przepis na liczenie pola powierzchni pod cwiartka elipsy i ta calka jest latwa.  dla zmiennej pomocniczej X = Y/(b/2) = 0.719 (gdyz zachowalo sie okolo 72% rozpietosci skrzydla liczonego od osi samolotu, a reszta byla urwana), dostajemy efektywne ramie dzialania sily gnacej do gory skrzydlo, ktore zawsze jest takie samo, niewazne jaka konkretnie sile nosna caly samolot czy koncowka skrzydla produkuje:

r = 0.114 (b/2) = 0.114 (37.6m /2) = 2.13 m

zawsze tez mozemy oszacowac dobrze sile na koncowce skrzydla, w ramach teorii skrzydla o eliptycznym rozkladzie sily Prandtla. podalem wyzej wzor na F(y), ktory zawiera pewna stala f. mozna ja latwo znalezc z warunku F(b/2) = n W/2, gdzie n jest przeciazeniem w jednostkach 1g = 9.81 m/s² (n = 4 g w obliczeniu maksymalnej wytrzymalosci), zas W jest ciezarem calego samolotu przy n=1 (powiedzmy masa maksymalna odpowiadajaca ciezarowi W=100 ton). dzielimy W przez 2, poniewaz robimy obliczenia dla koncowki jednego, lewego skrzydla. pole powierzchni pod elipsa to iloczyn jej dwoch polosi, razy π/4. dlatego calka po prawej stronie wyrazenia na F(Y) rowna jest F(b/2) = (π/4) (b/2) f, a stad mamy

f = (4 n W) / (πb), oraz

F(Y) = (2 n W /π) S_X=Y/(b/2)¹ sqrt[1 - x^2] dx.

na przyklad F(Y) ~ 9 ton sily dziala na koncowke skrzydla, jesli n = 1.3 (przyspieszenie pionowe z rejestratorow ros. i pol.). to nieco zanizone oszacowanie, dokladniesze wyliczenia macierzowe ze skoszonym skrzydlem (zob. rozdz. 6 bloga) pokazuja, ze F(Y) ~ 10-11 ton. zas przy n= 4 g, byloby az F(Y) = 34 ton sily i skrzydlo byloby na skraju pekniecia.

 

Obliczenie drugie (v. 2.1):

istnieje bardzo dobra korelacja masy skrzydel w samolotach transportowych z ich maksmalna masa startowa. tu mozna z rysunku odczytac wiele ciekawych wartosci dla samolotu ktory unosi prawie 200,000 lb wagi. dwa skrzydla tupolewa powinny wazyc okolo 8.5-9.5 t. z tego wiekszosc to elementy nosne, chociaz mozna oszacowac, ze poszycie i zeberka tez swoje kilka ton waza. mi wyszlo, ze dzwigary to 4 tony.

mozna to uzasadnic mniej lub bardziej dokladnie. nie bede przedstawial calej strony wyliczen, gdyz kazdy moze i powinien zrobic swoje, na podstawie rysunkow z instrukcji rosyjkich. szkicowo, robi sie to tak: dzielimy skrzydlo myslowo na trzy czesci: (1) poszycie (wraz z malymi wregami), na (2) zeberka z przyleglosciami, i na (3) belki dzwigarow. nastepnie z rysunkow odczytujemy wszystkie interesujace wymiary i oszacowujemy calkowite pola powierzchni tych czesci skrzydla, wstawiajac niewiadoma d₃ zamiast najwazniejszej danej, grubosci dzwigara. czesc (1) i (2) musza byc przemnozone przez czynnik f_n.o.(nieoptymalnosc wagi), zeby realistycznie opisac rzeczy, ktore w samolocie sa nieodzowne, lecz z wytrzymaloscia konstrukcji do czynienia nie maja. dostalem nastepujace wyniki:

(1) pole poszycia skrzydla  to jednostronnie 200 m², obustronnie dwa razy tyle. przy sredniej grubosci blachy 3 mm (zewnetrzne czesci skrzydla pokryte sa blacha 2 mm, ale centroplan pokryty jest blacha 2.5-4 mm) i gestosci 2.8 g/cc, calkowity ciezar (przy zalozeniu f_n.o. = 1.2) rowny jest 4 tony.

(2) pole calkowite zeber= 235 m², pojedynczego profilu zebrowego 3.13 m ². przy grubosci 1.5 mm waza w sumie 1.2 tony, uwzgledniajac f_n.o. = 1.2. wlasnie dlatego elementy nosne w pkt 3. waza ok. 4 tony: 9 ton to caly maksymalny ciezar skrzydla. odejmujemy 4 t oraz ~1 t i dostajemy ~4 t.

(3) pole dzwigarow i podluznic/stringerow  (tyle roznych nazw!) biegnacych w ich strone oznaczam jako A. latwo policzyc srednia na dlugosci calego skrzydla rownej ok. 44m:

<A> = 4000 kg/(2800 kg/ m³ ) /44 m = 330 cm².

w miejscu zderzenia, na koncowce, przyjme pole o czynnik 2 mniejsze niz srednie. dlaczego? zasadnicze dla wagi dzwigary sa grubsze i wyzsze przy kadlubie, aby wytrzymac kilka razy wieksza sile nosna na calym skrzydle, niz na koncowce skrzydla. ostatecznie dostaje

A ~ 330 cm² / 2 = 170 cm².

zarowno naiwne zalozenie, ze 3 dzwigary sa identyczne, jak i dokladny odczyt z rysunku wysokosci profilu w roznych odleglosciach od noska profilu mowi, ze trzeba 170 podzielic przez 3 zeby dostac A₁, przekroj dzwigara #1, z wliczonymi podluznicami na skrzydle: 

A₁ ~ 60 cm².

otrzymalem bardzo niedokladne, ale bardzo uzyteczne oszacowanie górne. znamy niezle mase skrzydla (nie wiecej niz ok. 9 ton) i jesli dzwigar+okoliczne stringery mialyby sredni przekroj duzo wiekszy niz 60 cm², wszystko inne tez musialoby byc masywniejsze, a skrzydla stalyby sie nierealistycznie masywne i nieuzyteczne, choc faktycznie mocniejsze. naprawde skrzydla z dala od kadluba to pudelka zrobione glownie z 1.5-2 mm blachy, lekki keson z puszek aluminiowych...masa towarow i pasazerow zabieranych na poklad to tylko 17 ton, nie mozna wiec sobie pozwolic na zmniejszenie jej przez niepotrzebny 'over-design' skrzydla na okolicznosc przeciazen 9g (ja w pierwotnej wersji obliczen az tak szczodrze oszacowalem przeciazenie graniczne!).

 

WNIOSKI

wartosc  powierzchni przekroju dzwigara i jego pojednczych belek lezy pomiedzy minimalna wartoscia zapewniajaca, ze koncowka skrzydla nie odlamie sie w locie przy duzej turbulencji (obliczenie pierwsze), a wartoscia maksymalna (obliczenie drugie, wychodzace ze znanej proporcji masy roznych czesci samolotow klasy transportowej).

uzywajac aerodynamiki, teorii budowy dzwigarowo-kesonowej skrzydla, i realistycznej masy calego skrzydla, dostalem zakres mozliwych wartosci pola przekroju pojedynczego dzwigara #1 --  tego, co nie klanial sie brzozie -- zawierajacego dwie belki plus podluznice bezposrednio za nim 

A₁ = 42...60 cm². 

jakze ciekawa liczba: pomiedzy 20 a 30 razy mniejsza od pola przekroju brzozy!

brzoza, jak juz wiemy, moze byc nawet 10 razy slabszym na lamanie materialem (na jednostke pola przekroju).  ale przy takiej przewadze pola przekroju (i rowniez przewadze efektywnie zderzajacej sie dynamicznie masy) wniosek moze byc tylko jeden: brzoza najprawdopodobniej przecina dzwigary, jeden po drugim.  naiwnie oceniajac wytrzymalosc jako naprezenie krytyczne materialu razy pole przekroju, brzoza jest trwalsza na uderzenie o czynnik (20...30) /10 =  2...3. jesli odejmiemy od A₁  20 cm² dodanego oszacowania pola przekroju stringerow, sam w sobie dzwigar #1 mial 22..40 cm², a wtedy dostaniemy przewage o czynnik 3...6. tak wiec konkretne liczby zaleza od tego, czy wliczamy do dzwigara znajdujace sie za nim i biegnace rownolegle do niego listwy stringerow.

to elegancki wynik, uzyskany bez potrzeby meczenia komputerow i bez ustalania kiedy elementy obliczeniowe maja znikac jak kamfora w programie LS-DYNA. sugeruje on mocno, ze nawet jesli keson bylby nieuszkodzony i rozprowadzal efektywnie naprezenia, to znaczy nie dopuszczal do wybrzuszenia cienkich scian, a powodowal ze najwazniejsze elementy konstrukcji obciazane sa silami czysto sciskajacemi i rozciagajacymi, wtedy tez jego przetrwanie byloby nieco watpliwe.  pozostaje teraz zobaczyc, czy obliczenia dynamiczne potwierdza te przewage drewna nad teownikami z duraluminium o przekroju calkowitym rzedu ~10 cm².

 * * * 

Mam tu na koniec prosbe, zeby nie nadinterpretowac tego, co zrobilem. wielu czytelnikow blednie zrozumialo moje oszacowanie jako dokladne i wiazace obliczenie.  uspokajam: nie udowodnilem tu tego, ze brzoza nadal stoi :-) oszacowania fizyczne nie sa zreszta po to. wezmy chociazby zasadniczy fakt: drzewa bardzo roznia sie od siebie wytrzymaloscia. rowniez skrzydlo moglo miec zmeczeniowo obnizona wytrzymalosc. [nota bene, pisalem o tym w rozdz. 7 bloga, ze trzeba smiac sie z ludzi ktorzy wierza, ze Binienda udowodnil na 100% jedna wersje, jak i z tych ktorzy twierdza (przekornie) ze ja cos udowadniam na 100%.]

jesli jednak ktos, tak jak prof. Binienda, stawia kategoryczna teze, ze skrzydlo musialo sie urwac, ze wynika to z jego modelu, to latwo moglem podac kontrprzyklad rzeczywisty i/lub oszacowanie fizyczne mowiace, ze zgodnie z fizyka spodziewam sie czegos zupelnie innego. szczegolowe modele prof. B sa mylace (latwo pokazac mozliwe przyczyny tego; prawdziwe poznamy moze po opublikowaniu input file profesora, a moze nigdy).  dodatkowo, mysle ze fakt, iz konsola mechanizacji skrzydla trafila na drzewo juz po rozstrzygnieciu walki pierwszego dzwigara z drzewem na korzysc drzewa, mogl spowodowac, ze brzoza zostala po pokonaniu dzwigarow 1 i 2 tak powaznie uszkodzona, ze ostatecznie zaczela padac pol sekundy pozniej, pod wplywem podmuchu powietrza od samolotu.

od tej chwili robocza hipoteza powinno byc to, ze skrzydlo zostalo zniszczone i nie odlecialo w kierunku syberii. od tego momentu, samolot na pewno byl nie do uratownia. (w istocie, byl nie do uratowania juz wczesniej, ale tego tu nie analizuje). zrobie moze kiedys dokladniejsze obliczenia i pokaze jak sie to prawdopodobnie stalo. zachecam do tego samego. rozsadek mowi, ze strace niepotrzebnie czas. ogledziny brzozy i fotografii wraku (gdzie urwany kawalek skrzydla jest prawie idealnie zachowany, a sasiednie czesci skrzydla, te blizej kadluba, polecialy wraz samolotem dalej i zakonczyly podroz w stanie znacznego rozdrobnienia; zob. fotografie u gory teg strony) wystaczaja, by zgodzic sie z interpretacja komisji badania wypadkow samolotowych dwoch krajow. jednak chcialem podejsc do zagadnienia z sercem, nie tylko rozsadkiem.

 

* * *

mysle, ze dobrym punktem wyjscia do przyblizonej oceny naprezen w belkach brzozy i dzwigara  moga byc rownania Eulera-Lagrange'a dla belki Eulera-Bernoulliego. zdaje sobie sprawe, ze Euler i mlody Bernoulli byli dworzanami Katarzyny II, co dyskwalifikuje ich teorie przy rozwazaniach o Smolensku. jak macie lepszy pomysl, dajcie znac...

[uwaga dodana w kw 2012: w rozdz. 20 bedzie zanalizowany aspekt lokalizacji deformacji plastycznej, w przypadku szybkich zderzen oraz wynikajacej z tego tzw. krytycznej predkosci zderzenia].