Przepraszam Drogich Kursantów, że to sie tak długo ciągnie. Ale na swoje usprawiedliwienie podam, że dużo czasu mi zabrało sporządzenie rysunków, które są niezbędne, by kurs pociągnąc dalej w sposób jasno zrozumiały. Wszystkie ilustracje, które tutaj sie pojawią, sprządzałem "tymi ręcami", i była to żmudna robota, bo chciałem, żeby obrazki były "tip-top", nie żadna tam partanina.
Ja zaczne od załadowania trzech pierwszych ilustracji, po czym będe stopniowo dodawał tekst (więc nie pojawi się on cały zaraz łacznie z obrazkami).
Pierwszy obrazek, to po prostu igła magnetyczna (kompasowa) w polu magnetycznym pomiedzy nabiegunnikami magnesu. Pokazane sa linie sił pola (dla prostoty, pomijamy zakrzywienie tych linii -- w rzeczywistosci, tylko ta na samym środkujest prosta, inne sie powinny "wybrzuszać" na zewnątrz, im dalej od środka, tym silniej). B to wektor natężenia pola (symbole napisane "tłustym drukiem" na obrazkach oznaczaja wielkosci wektorowe). Dwie koliste strzałki mają pokazywać kierunek, w jakim pole usiłuje obrócic igłę.
(mam kłopoty z załadowywaniem, dłuzszy tekst mi "zjadło", więc teraz tylko dodam dwa obrazki, a objasnienia dodam później).
Rysunek drugi przedstawia proste wahadełko, składajace się z ciężarka o masie m, osadzonego na precie o długosci r . Drugi koniec pręta moze sie swobodnie obracać wokół punktu O.Pręt zawsze jest skierowany w jakims kierunku, wiec dlatego r oznaczamy tłustą czcionką jako wektor. No i zakładamy, ze pręt jest tak leciutki, że jego masa może byc pominięta w dalszych rozważaniach.
Całość jest umieszczona w polu grawitacyjnym Ziemi. Pionowe równoległe linie to linie sił pola grawitacyjnego, a g to wektor matężnia tego pola. Długość wektora g określa siła, z jaką pole działa na jednostkową masę. Jak wiemy, Ziemia przyciaga obiekty z siłą F=mg, zatem długość wektora g to po prostu wartość przyśpieszenia ziemskiego, g=9.81 m/s^2.
Po co jest ten rysunek? Co ma wahadełko do NMR-u? Otóż, ten rysunek jest "pomocą dydaktyczną", która nam ułatwi zrozumienie tego, co jest na Rysunku 3. Chodzi mianowicie o energię. Wahadełko w każdej pozycji ma jakąś energie potencjalną. A ta energia, jak pamiętamy jeszcze ze szkoły, wynosi Ep = mgh, gdzie h to wysokość, na którą wzniesiona jest masa m, a g to przyśpieszenie grawitacyjne.
Z energia potencjalną jest tak, że nie istnieje kryterium określające, gdzie ona ma wynosić zero. Ktoś moze powiedzić: na poziomie gruntu, bo wysokosc jest wtedy zero! Ale przecież sa jeszcze piwnice, lochy, kopalnie... Górnik może się upierać, że zero wysokosci jest własnie na jego "przodku". Wiec jak to rozstrzygnąć? Ano, fizyka znalażla bardzo proste rozwiązanie: mozemy sobie dowolnie ustalić, gdzie jest "zero" energii potencjalnej! Wybieramy, kierując sie po prostu wygodą, w zależności od zagadnienia, które rozpatrujemy. A jesli obiekt znajdzie sie poniżej tej wysokosci, to co?! Nic! Energia potencjalna jest wtedy po prostu ujemna wzgledem naszego "zera".
No więc my sobie wybieramy nasze "zero" w punkcie O. w takiej sytuacji wysokosc h naszego ciężarka mozna wyrazic poprzez kąt "teta" na rysunku: h= - r*cos(teta) -- śladem tego, energia potencjalna wahadełka wynosi Ep = mgh = -(mr)*(g)*cos(teta) . To "pogrupowanie" symboli we wzorze miało cel, jaki -- zaraz się okaże.
Wykresik na rysunku pokazuje, jak energia potencjalna zalezy od kąta wychylenia wahadełka "teta". Funkcja cosinus ma wartosc 1 dla zera, i -1 dla 180 stopni, wiec nasza energia przy wzrastającym kącie rosnie od -mgr ("negatywnego magistra") do +mgr, czyli "pozytywnego magistra".
A po co było to pogrupowanie we wzorze na Ep ? Ano, po to, by zapisac ten wzór jeszcze "kompaktniej", ze uzyję takiego wytwornego polskiego słowa. Przy użyciu tzw. "iloczynu skalarnego dwóch wektorów".
Otóż, wektory mozna mnozyć na dwa sposoby: pierwszy, to tzw. "iloczyn wektorowy", i wtedy rezultat mnozenia tez jest wektorem. Ale szczegóły pominiemy, bo akurat dla nas nie sa wazne. Druga operacja mnożenia to tzw. "iloczyn skalarny", i wtedy wynikiem mnozenia jest skalar.
"Iloczyn skalarny" to brzmi groźnie, ale naprawdę to nic takiego groźnego nie jest. Mamy dwa wektory, nazwijmy je A i B. Ich długosci oznaczamy tez A i B, tylko juz zwykłą czcionka. I niechkąt, jaki wektory A i B tworza ze sobą, wynosi "teta". No i teraz już prosciutko: iloczyn skalarny tych dwóch wektorów ma wartość:
A*B = AB cos(teta).
czyli iloczyn ich długosci, pomnozony dodatkowo przez cosinus kąta, jaki ze sobą tworzą ("Ortodoksyjna" matematyczna definicja jest nieco bardziej skomplikowana, ale ta podana jest dostatecznie dobra dla naszych celów).
Jak mówiliśy, pręt w naszym wahadełku mozna uważać za wektor, bo zawsze skierowany jest w jakimś kierunku. Masa m to skalar, oczywiście. A wektor pomnożony przez skalar to nadal wektor, o tym samym kierunku, tyle, ze o innej długości.
Więc m*r to po prostu wektor (zdaje sie, że cos takiego nie ma specjalnej nazwy w fizyce, ale jest rzeczą jak najbardziej legalną, my go sobie "roboczo" nazwijmy po prostu "wektorem M".
Prosze teraz zauważyc, ze nasza "pogrupowane" wyrażenie na energie potencjalna można zapaisac po prostu w postaci iloczynu skalarnego wektorów M i g:
Ep = -(mr)*g*cos(teta) = -M*g
No i ten wynik to juz wszystko, co chcieliśmy z Rysunku 2 "wycisnac".
Rysunek 3. Teraz wahadełko zastępujemy iglą magnetyczną, a pole grawitacyjne -- polem magnetycznym. Proszę zauważyć, że pole B ma taki sam wpływ na igłę, jak pole grawitacyjne na wahadełko: dąży do jego przekręcenia. No, analogia nie jest pełna, bo wahadełko ma tylko jedna częsc po jednej stronie osi obrotu, a igła "jest po obu stronach", że tak sie niezwykle precyzyjnie wyrażę. Ale okazuje się, ze zależność energii potencjalnej od kąta "teta" w obu przypadkach jest nader podobna.
Jeśli igła swoim niebieskim końcem (N) jest zwrócona ku górze, to pole magnetyczne daży do obrócenia tego końca ku dołowi (bo niebieski z niebieski sie odpycha). Igła, obraając się, może wykonać pewną pracę. Ale kiedy się juz obróci niebieskim końcem w dół, to energia potencjalna osiąga minimum i z igły już wtedy żadnej pracy nie wyciśniemy. Dokładnie tak, jak z wahadełkiem -- jak zwisa pionowo w dół, to energia potencjalna osiąga wartość najniższą.
Jak energia wahadełka zalezy od kata "teta", to sobie łatwo obliczylismy. Ale jak jest z igłą? Jak to policzyć?
Tutaj trzeba troszeczke powiedzieć o ciałach namagnesowanych. W szkole mnie uczono staroświeckiej teorii, według której każdy magnes ma dwa "bieguny", które są zasadniczo punktami. No i równania opisujące przyciąganie sie czy odpychanie biegunów maja dokładnie taka sama postać, jak w przypadku elektrycznych ładunków jedno- i róznoimiennych, a ładunek elektryczny zastępuje sie czymś, na co wymyślono nazwe "masa magnetyczna".
Ale taka teoria jest dobra, owszem, dla ciemnych mas. W rzeczywistości jest ona potwornie grubym przybliżeniem. Jako tako jeszcze pracuje ona w przypadku bardzo długich magnesów sztabkowych, które zachowuja sie tak, jakby rzeczywiście miały dwa róznoimenne "bieguny" na końcach. Ale jak ma sie sprawa biegunów w przypadku magnesów o kształtach mocno odbiegających od długiej sztabki, czy pręta? Gdzie sa te sławetne "bieguny"?
Bieguny sa dobre, owszem, ale na poziomie "Kubusia puchatka", gdzie "Wszyscy w długim szli szeregu, by pólnocny odkryć biegun..."
Otóż całą te "biegunową" teorię trzeba o kant d... potłuc. W porzadnej teorii materiałow magnetycznych pojecie bieguna w ogóle nie funkcjonuje. Podstawowym "nośnikiem" magnetyzmu jest coś, co się nazywa dipolem magnetycznym. Takim dipolem jest, na przykład, pieścień, w którym płynie prąd. Elementarnymi dipolami są również atomy niektórych pierwiastków, żelaza i kilku innych grup metali. Magnes składa się po prostu z wielkiej liczby takich elementarnych dipoli. Jeżeli sa one ukierunkowane chaotycznie, to wszystkie pola sie znoszą i wtedy dany materiał magnesem nie jest. Ale wiele materiałów daje sie "namagnesować" -- w procesie takim następuje ustawienie wszystkich (lub przynajmniej większości) dipoli w jednym kierunku i wtedy ich pola sie sumują, a dane ciało staje sie magnesem.
Pole magnetyczne wytwarzane przez elementarny dipol jest dużo bardziej skomplikowane, niz pole elekryczne wytwarzane przez pojedynczy ładunek. A jeśli do tego jeszcze z tych dipoli zrobic magnes o wyrafinowanym kształcie, to obliczenie rozkładu pola zewnętrznego potrafi stac sie problemem tak złozonym, ze tylko siąść i plakać. Ale nie trzeba sie od razu załamywać -- w wielu przypadkach dokładna charakterystyka pola nie jest w ogóle potrzebna. Tak jest chociażby w przypadku obliczania energii potencjalnej magnesu umieszczonego w jednorodnym polu zewnętrznym. A nam własnie o to chodzi.
Otóż, nie wszystko w dipolach jest takie skomplokowane. Mianowicie, magnetyzm elementarnego dipola można w sposób jednoznaczny opisac przy pomocy jednego jedynego wektorka, który nosi nazwę "magnetycznego momentu dipolowego", lub też, po prostu, "momentu magnetycznego". No i jesli mamy do czynienia z wiekszym układem, to wszystkie te wektorki się dodają -- w sposób, oczywiscie, własciwy wektorom -- no i ta suma daje wypadkowy wektor, który jest juz momentem magnetycznym całego układu.
Moment magnetyczny tradycyjnie oznacza sie grecka literką "mu" . Wielkości momentów magnetycznych indywidualnych atomów magnetycznych pierwiastków (żelaza, kobaltu, niklu, manganu, gadolinu, europu i jeszcze całej kupy innych) , jak równiez swobodnego elektronu i protonu, zostały pomierzone w niezliczonych eksperymetach i policzone przez tłum zrówno brodatych jak i bezbrodych teoretyków. Są to wiec dane bardzo dobrze znane.
Igła magnetyczna (jak w ogóle i każdy magnes) składa sie z "zilionów" elementarnych dipoli. Jak to juz powiedzielismy, ich momenty magnetyczne się wektorowo sumują, i tak powstaje wypadkowy moment magnetyczny. Igła, jak każdy magnes, ma więc taki moment -- i przez to sama staje sie dipolem magnetycznym. No i igłę specjalnie magnesujemy tak, by jej wypadkowy moment pokrywał się z jej długą osią -- tak, jak to pokazane jest na rysunku.
Jeżeli jakikolwiek dipol magnetyczny umieścimy w polu magnetycznym o natężeniu B, to jego energia potencjalna wyraża sie nader prostym wzorem (tutaj uprasza się Szan. Kursantów, by przyjeli ten wzór bez dowodu -- wsadzanie go tutaj by straszliwie rozciagnelo tekst, i bez tego już długi):
Ep = - (mu) * B
(z braku czcionki na greckie "mu" w tekście oznaczam je jako "mu" własnie, a na rysunku -- z braku tłustej czcionki, wektor "mu" wyjątkowo jest oznaczony strzałką u góry). Prosze zwrócic uwage na pełną analogię z wahadełkiem, którego energia potencjalna, jak to pokazaliśmy, wyraża sie wzorem:
Ep = - (m r)*g
Czyli też jest to iloczyn skalarny i też wystepuje w nim wektor pola -- tyle, ze pola ciężkosci).
W sposób równoważny możemy zapisać energię dipola jako:
Ep = - (mu)B cos(teta).
(przypominam: symbol napisany tłusta czcionką to wektor, a ten sam symbol napisany nie-tłustą kursywą to długość tegoż wektora).
Zatem energia jest najnizsza, gdy wektor mu ustawi się równolgle z polem, i wynosi ona wtedy Ep = -(mu)B -- a największą wartośc, Ep=+(mu)B, przybiera ona przy ustawieniu "antyrównoległym", kiedy kąt teta przybiera wartosc 180 stopni. Kształt zalezności energii od teta jest dokładnie taki sam, jak w przypadku wahadełka. Co powinno juz do końca wyjasnic, po co ja tutaj "wtryniałem" to całe wahadełko: ano, z tego powodu, że w przypadku wahadełka wszysto jest dośc proste i oczywiste. No i jeśli teraz wyjasnić, że zachowanie dipola w polu magnetycznym jest w pełni analogiczne do zachowania wahadełka, to i "sprawy dipolowe" stają się całkiem przejrzyste.
To juz niemal koniec tego przydługaśnego wywodu -- jeszcze tylko dodamy rzecz ostatnią, i juz bedzie koniec tortur (Prezydent Obama, w jednym z pierwszych dekretów, jaki wydał po objęciu urzędu, stanowczo zabronił stosowania jakichkolwiek tortur -- więc ja, jako lojalny obywatel, muszę też natychmiast zaprzestać!). Chodzi mianowicie o to, że ostatni wzór możemy przepisać, zmieniajac porzadek wyrazów i wyraźnie rozdzielając pole od reszty:
Ep = -B [mu*cos(teta)]
A co to jest mu*cos(teta)? -- prosze przywołać w pamieci szkolną trygonometrię: otóz, jest to po prostu długość RZUTU WEKTORA
(mu) na kierunek wektora B ! Zatem energie mozemy jeszcze zapisac w formie:
Ep = - B razy (długosc rzutu mu na kierunek B)
I to już jest koniec tej dłuuuuugiiieeeej "padgatowki" (jak to mówią bolszewicy). Ten ostatni wzór to jest w zasadzie jedyny wynik Odcinka II Kursu, którego będziemy potrzebowac w Odcinku III.
Jeśli ktos z Sz. Kursantów dotarł do tego miejsca i czuje sie juz totalnie skonfudowany -- to prosze sie nie martwić! W takim wypadku wystarczy po prostu przyjąc ostatni wzór "na wiarę", i to już będzie wystarczyło (mam nadzieję!) do jasnego zrozumienia dalszych odcinków.
Tutaj jeszcze za chwile dodam rysunek ilustrujący te rzuty, żeby już nie było zadnych zagwostek -- no i na tym juz zakończymy Odcinek II.
Inne tematy w dziale Technologie
