Wakacyjne filozofowanie o matematyce i fizyce - wymiary i czas

Jak pewnie wiecie, Podstawowe Twierdzenie Matematyki mówi, że każdy zbiór można dobrze uporządkować. Oznacza to, że każdy zbiór można ładnie ułożyć w jednej linii, czyli w postaci przestrzeni jednowymiarowej. Dlaczego więc człowiek porządkuje swoje postrzeganie świata w postaci przestrzeni trójwymiarowej? 

Aby to zrozumieć, przypomnę teorię modeli - dzieło największego polskiego matematyka - Tarskiego. Model w uproszczeniu jest zbiorem (zwanym uniwersum), który posiada określone relacje i ma nadbudowany język do jego opisu. Dzięki modelom można zdefiniować zdania prawdziwe, czyli spełniane w modelach przy każdym podstawieniu elementów z modelu do zmiennych. Spełnianie sprawdza się po prostu, patrząc, czy wartości zmiennych są we właściwej relacji, jako elementy uniwersum.

W fizyce takie relacje nazywane są oddziaływaniami, a uniwersum nazywane jest Wszechświatem. Łatwo teraz sobie wyobrazić, jak trudno byłoby nam zrozumieć Wszechświat, gdybyśmy postrzegali go jako jednowymiarowe uniwersum. W jaki sposób ciała się poruszają, mijają, zachowują spójność... Nawet w dwóch wymiarach wydaje się absurdem próbowanie opisania wszystkich oddziaływań. Czasem fizycy pokazują modele Wszechświata dwuwymiarowego, więc pewnie każdy, kto widział coś takiego, zauważył, jak trudno jest wyobrazić sobie połączenie między ustami i odbytem bez zdziwienia, dlaczego taki dwuwymiarowy człowiek (zwany Płaszczakiem) nie rozpada się na dwie części.

Dlatego nasze zmysły wykształciły w procesie ewolucji trójwymiarowy opis Wszechświata. Dzięki trzem wymiarom łatwiej jest uporządkować spostrzeżenia tak, aby było widać, którędy płynie krew, jak mijamy się w przestrzeni i dlaczego nasze ciała się nie rozpadają. Trzy wymiary pozwalają też wyobrazić sobie lepiej oddziaływania na odległość - po prostu odległości w trzech wymiarach są mniejsze, a różnorodność kierunków pozwala nam łatwiej organizować postrzegane przedmioty.

Fizyka kwantowa pokazała jednak, że trzy wymiary to za mało. Fizycy odkryli "efekt tunelowy", czyli takie miejsca, gdzie elementy naszego uniwersum nie mogą się ominąć, tak jak Płaszczaki, które muszą przez siebie przeskakiwać, żeby się ominąć. A kiedy nie ma miejsca na przeskoczenie... Płaszczaki omijają się za pomocą efektu tunelowego - przenikają przez siebie jak duchy. W czterowymiarowej przestrzeni efekt tunelowy nie istnieje, gdyż można się omijać korzystając z czwartego wymiaru. 

Podobny charakter ma odkrycie "stanu splątanego", czyli elementów będących w uniwersum w "bliskiej" relacji, podczas gdy my widzimy je jako elementy odległe w naszym trójwymiarowym modelu Wszechświata. Łatwo sobie wyobrazić, że gdyby nasz umysł widział czterowymiarową przestrzeń, to nie widzielibyśmy żadnych stanów splątanych. Po prostu widzielibyśmy splątane obiekty w postaci jednego ściśle związanego spójnego podzbioru uniwersum i nikt by się nie dziwił, że istnieją "upiorne" natychmiastowe oddziaływania na odległość. W dobrze zdefiniowanej czterowymiarowej (a może więcejwymiarowej?) przestrzeni nie ma żadnych natychmiastowych oddziaływań, gdyż stany splątane to są zwyczajne stany związane bardzo blisko.

Jeszcze ciekawszym błędem kurczowego trzymania się trójwymiarowej przestrzeni było do niedawna postrzeganie czarnych dziur. Niedawne odkrycia fizyków pokazują, że czarne dziury są obiektami dwuwymiarowymi. Trzeci wymiar, wprowadzony do nich sztucznie przez Ogólną Teorię Względności, nie pozwala nam sensownie wyjaśnić tego, co się dzieje w środku czarnej dziury. Tymczasem pojęcie "horyzontu zdarzeń" powinno już wcześniej naprowadzić fizyków na konstatację, że skoro istnieje horyzont zdarzeń, to znaczy, że w tym miejscu znajduje się granica Wszechświata. "Wnętrze" czarnej dziury wg modelu fizyki jest poza uniwersum tego modelu - po prostu nie istnieje - uniwersum nie posiada takiego podzbioru. Nic nie może się przedostać za (pod, w) horyzont zdarzeń, ponieważ jest to obiekt dwuwymiarowy. Wszystko, co spada na horyzont zdarzeń zaczyna krążyć coraz szybciej i opada coraz wolniej... i nigdy nie dotknie horyzontu... oczywiście tylko w oczach odległych obserwatorów inercjalnych, ponieważ fizycy spadający na czarną dziurę po prostu nigdy jej nie zobaczą - przelecą przez środek gromady gwiazd, jeżeli w ogóle przeżyją taki lot, i będą dowodzić swojej prawdy, że nie ma tam żadnej czarnej dziury... Uroki teorii względności: Każdy obserwator ma swoją prawdę, równie prawdziwą, potwierdzoną eksperymentami... ale to już temat na osobną notkę. Wracamy więc do zagadnień łatwiejszych.

Ile wymiarów potrzebujemy, aby nie widzieć już żadnych efektów tunelowych ani żadnych stanów splątanych? Tu niestety pamięć mnie zawodzi. Zdaje się, że przeczytałem gdzieś, że cztery wymiary nie wystarczą, ale nie jestem pewien, czy dotyczyło to tego właśnie zagadnienia, czy jakiegoś szerszego, np. unifikacji oddziaływań. Może ktoś z Was pamięta?