Biedronka i Bóg

Na zajęciach studenci obliczają zadanie z biedronką. Biedronka wyrusza z początku układu współrzędnych poruszając się ruchem jednostajnym, prostoliniowym. Ale biedronka (o czym nie wie) znajduje się na płycie (np. starej płycie winylowej) wirującej ze stałą prędkością kątową. Jaki tor zakreśli biedronka w układzie nieruchomym i ruchomym (wirującym)? Podaję odpowiedź. W układzie wirującej płyty biedronka porusza się ze stałą prędkością po linii prostej. W układzie nieruchomym torem biedronki jest spirala Archimedesa. Jak zatem jest z tą biedronką?

 Idzie sobie biedronka z punktu A do punktu B. Jak to widzi biedronka? Ona porusza się ze stałą prędkością po odcinku AB. Biedronka ma małe oczka i jeszcze mniejszy mózg. Dla biedronki świat jest stały, nieruchomy, a ona porusza się ruchem jednostajnym, prostoliniowym. Nie widzi ruchu płyty, na której się znajduje, to do niej nie dociera. Ale jest zadowolona ze swego świata i z siebie. I idzie sobie tam, gdzie planuje. Studenci śmieją się z małej, głupiutkiej biedronki, co ma pancerz w kolorze czerwonym w czarne kropki. Pewnie mają rację. To tylko biedronka. Weźmy inny przykład. Pewien obywatel – niech mu będzie Jan na imię – jedzie eleganckim i drogim, nowiutkim samochodem tylko co wyprowadzonym z salonu. Lato, ładna, słoneczna pogoda, a pan Jan jedzie po prostym odcinku drogi czy autostrady. Pan Jan jedzie z rodziną w wakacje? Albo w odwiedziny do przyjaciela? Czy na spotkanie z pewną panią poznaną w Internecie i w lędźwiach czuje już tak lubą niemoc, słodką zapowiedź czekających go rozkoszy? Mniejsza o przyczyny podróży. Pogoda jest piękna, setki koni mechanicznych pod maską nowego samochodu aż się rwie do pędu, wiatr we włosach, ruch niewielki, droga prosta i bezpieczna, można docisnąć pedał gazu… Pan Jan jedzie ze stałą prędkością po prostym odcinku drogi. Gdyby go spytać o wrażenia to przysiągłby, że ziemia jest nieruchoma i płaska, pomijając niskie wzgórza na horyzoncie. Zresztą jakie to ma znaczenie? Pan Jan jedzie w tylko sobie znanych sprawach i jest szczęśliwy.

 Można powiedzieć, iż fizyka jest nauką o liczbach, o wielkich liczbach. Bardzo wielkich albo bardzo małych. Rozmiar człowieka to metr, w przybliżeniu jeden (~1). Chodzi o rząd wielkości. Co widzimy nieuzbrojonym okiem? Od około milimetra (~10^-3) do kilku kilometrów (~10^4). Odległość do naszej gwiazdy to 150 mln. km, czyli (~1.5 10^11). Odległość do najbliższej gwiazdy, poza Słońcem – Proximy Centauri – to 4.26 lat świetlnych, czyli około (~4∙10^16). Ilość gwiazd w galaktyce (średnia) – 100 miliardów gwiazd, takich jak nasze Słońce (10^11). Ilość galaktyk we wszechświecie? Około 2∙10^12. W znanym nam Kosmosie jest więcej galaktyk niż ziarenek piasku na wszystkich ziemskich plażach. Łatwo oszacować ilość gwiazd w Kosmosie. Promień wszechświata? Około 47 mld. lat świetlnych (4.7∙10^10), czyli w mierze człowieka (~4.4∙10^26). Największa liczba z jaką się spotkałem, to liczba barionów, np. protonów i neutronów we Wszechświecie to 10^80. Idąc w dół, w głąb materii. Promień (średnica) atomu: 10^(-10), jądra atomowego: 10^(-15), elektronu: ~10^(-18). Najmniejsze liczby to tzw. liczby Plancka, najmniejsze możliwe wielkości, które mają sens fizyczny. Jest to długość Plancka: ~1.6∙10^(-35) i czas Plancka: ~5.4∙10^(-44) sekundy. Liczy te oszałamiają i miażdżą swym ogromem. Mowa o fizyce, nauce o świecie rzeczywistym.

Matematycy w swoim idealnym świecie abstrakcji, pomijają takie trudności, jak rzeczywiste wielkości, gładko przechodząc do wielkości typu plus nieskończoność (+∞), czy minus nieskończoność (-∞). I tak definiują zbiór liczb rzeczywistych {R; 0,1,+,∙} - inaczej ciało liczb rzeczywistych Geometrycznie: oś liczbową, zorientowaną prostą z wyróżnionymi liczbami: 0, 1. Zanurzmy się teraz w czystej matematyce i to w jej jednej z najbardziej abstrakcyjnej części – w teorii mnogości. Bez obaw o trudne wzory. Zajmiemy się tylko jednym, ważnym twierdzeniem. Mowa o twierdzeniu o równoliczności zbiorów albo twierdzeniu Cantora. Twierdzenie o wielu nazwach. Odkryte czy sformułowane przez Georga Cantora (1845 - 1918) wielkiego niemieckiego matematyka, twórcy teorii mnogości. Czy matematycy odkrywają, czy formułują twierdzenia, czyli prawa matematyki? Ja bym powiedział, że odkrywają. Fizycy odkrywają prawa rządzące naszym światem, zatem również matematycy odkrywają prawa matematyczne, w tym meta – języku, którym opisujemy nasz świat. Jest tu pewien problem. Georg Cantor – niemiecki matematyk (1845 - 1918). Nie mylić z niejakim Tadeuszem Kantorem (1915 - 1990) niegdyś słynnym „twórcą teatralnym”, w królewskim, stołecznym mieście Krakowie. Z wyglądu i zachowania kompletnym wariatem. Ale w Krakowie ten… powiedzmy oględnie – dziwak był znany i powszechnie szanowany. Krakusi tak mają, uwielbiają takie klimaty, cóż, wyższa cooltura. Lubią zapach kultury i… stęchlizny, jak w dawno niewietrzonym mieszkaniu. Tego naszego Kantora pomijamy, niech mu ziemia lekką będzie. Skupiamy się na prawdziwym Cantorze. Niestety, to jego jedyna wada, Niemcu.

Cantor odkrył czy sformułował to twierdzenie, ale nie pokusił się o jego udowodnienie. Nie chciało mu się? Czy uznał dowód za oczywisty? Albo był zbyt zajęty. Jakie by nie były powody lenistwa Cantora… Puryści matematyczni bardzo nie lubią takich odkryć – twierdzeń bez dowodu, szczególnie gdy te twierdzenia okazują się być prawdziwe. Burzy to ich widzenie uporządkowanego świata matematyki z ścisłą, sformalizowaną hierarchią idąca od dołu do góry. Na dole lematy – twierdzenia pomocnicze – oczywiście udowodnione, nad nimi twierdzenia z dowodami! Wyżej kolejne twierdzenia z dowodami i tak dalej. Kolejne piętra twierdzeń (z dowodami!) jak warstwy kamieni w murze. Twierdzenie bez dowodu to dla nich żadne twierdzenie. Twierdzenie Cantora udowodnili dwaj inni matematycy, Feliks Bernstein i Ernst Schröder, również Niemcy. Dlatego w literaturze twierdzenie to jest znane jako twierdzenie: Cantora, albo Cantora – Bernsteina, lub Cantora – Bernsteina – Schrödera. Później to twierdzenie było udowadniane przez wielu innych matematyków w tym naszego Stefana Banacha. Poniżej podaję brzmienie tego twierdzenia. Oto twierdzenie Cantora albo Cantora – Bernsteina:

Jeśli istnieje injekcja ze zbioru A w zbiór B i istnieje injekcja ze zbioru B w zbiór A, to istnieje bijekcja z A w B.

Dla wyjaśnienia:

iniekcja – funkcja różnowartościową, w której każdy element przeciwdziedziny przyjmowany jest co najwyżej jeden raz. Przykład: numer PESEL, każdy ma jeden, unikalny numer PESEL.

bijekcja – funkcja wzajemnie jednoznaczna, injekcja w obie strony. Każdemu elementowi z dziedziny odpowiada jeden i tylko jeden element z przeciwdziedziny. Funkcja jeden na jeden.

Dla tych, co omijali lekcje matematyki szerokim łukiem. Są wyjaśnienia, po których jest mroczniej i ciemniej, czyż nie tak? Matematyka jest trudna, jest abstrakcyjna i spisana ścisłym, sformalizowanym językiem. Teoria mnogości to abstrakcyjna dziedzina nawet na tle matematyki. Twierdzenie Cantora to jedno z podstawowych twierdzeń teorii mnogości. Czemu zatem to przytaczam? Żeby pokazać, jaki jestem mądry? Aby lata ciężkiej walki – pracy na polu matematyki – nie poszły na marne? Ze złośliwości: niech i inni choć przez chwilę się pomęczą? Nie jestem matematykiem. Zajmuję się matematyką, owszem, ale… stosowaną. Lektura podręczników teorii mnogości to dla mnie wysiłek ponad siły, przyznaję. Ale co nieco z tego rozumiem, jeśli się skupię i wysilę. Mniejsza o powody. Postaram się wykazać, że twierdzenie Cantora to prawdziwie rewolucyjne twierdzenie. I to niezależnie czy się zna, lubi matematykę, czy też nie. Przewrót cantorowski, na wzór kopernikańskiego? Przykład innej rewolucji umysłowej. Ogłoszona ponad sto lat temu teoria względności zmieniła nasze widzenie świata. Nie tylko fizyków. Dotarła pod strzechy, czyli mediów wszelakiej maści. Nawet jeśli potem została tak strywializowana, czyli sprowadzana do poziomu gleby i guana. Twierdzenie Cantora ma równe, jeśli nie większe znaczenie niż teoria względności. Oto inna postać twierdzenia Cantora:

Jeżeli zbiór A jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru B zaś zbiór B jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru A, to zbiory A i B są równoliczne.

Zamiast dwóch trudnych słów (i pojęć) mamy jedno, lecz bardziej zrozumiałe: równoliczność. Przykład: jeśli w jednej kieszeni mam dwie monety i banknot, a w drugiej chusteczkę do nosa, klucz i cukierka, to te dwa zbiory są równoliczne. Gdy liczba elementów w obu zbiorach się różni, to zbiory nie są równoliczne. Ta sama zasada obowiązuje tak samo dla zbiorów skończonych, jak dla tych, gdzie liczba elementów jest nieskończona! Piękne twierdzenie, powiedziałbym oczywiste, bo i równoliczność wydaje się oczywista i zrozumiała. Mamy dwa zbiory, A i B. Jeśli istnieje wzajemnie jednoznaczna relacja (funkcja) między elementami tych zbiorów – funkcja jeden na jeden – to zbiory A i B są równoliczne. Ktoś się spyta: ile jest elementów w zbiorach A i B? Odpowiedź: bez znaczenia. Ważne, aby między elementami obu zbiorów istniała funkcja (relacja) różnowartościowa: jeden do jeden. Wówczas zbiory A i B są równoliczne. W obu zbiorach jest tyle samo elementów.

 Twierdzenie Cantora brzmi dość abstrakcyjnie i takie jest. Ważne są wnioski. Jeden wniosek, najważniejszy, na którym się skupimy. Na dostawie twierdzenia Cantora łatwo wykazać, że dowolny otwarty przedział liczb rzeczywistych, np. (a,b), a <b, czy szczególny przypadek przedział: (0,1) jest równoliczny z całym zbiorem liczb rzeczywistych, ma zatem taką samą moc continuum (liczbę kardynalną) jak zbiór liczba rzeczywistych! Moc continuum ma dowolny przedział oraz oś liczbowa, czyli zbiór liczb rzeczywistych. Przedział domknięty [0,1] ma również moc continuum! Gdyż:

(0,1)⊂[0,1]⊂R

Dowód? Weźmy przedział [a,b],a<b i funkcję tangens. Ze szkolnej matematyki: tangens odwzorowuje przedział (zbiór) A= [-π/2,π/2] w przedział (zbiór) B= [-∞,∞] i jest to funkcja różnowartościowa: jeden na jeden. Dzięki złożeniu funkcji liniowej z tangensem otrzymam dowolny przedział: (a,b), czy (0,1). Zatem wykazaliśmy, że przedział (a,b) czy (0,1) jest równoliczny z osią rzeczywistą! Nawiasem: warto polubić funkcje tangens. Kryje w sobie prawdziwe skarby. 

 Moim zdaniem twierdzenie o równoliczności odcinka [0,1] z całą osią rzeczywistą {R;(-∞,+∞)} to najbardziej wstrząsające twierdzenie matematyczne. Z pozoru sprzeczne z naszym rozumieniem i z tzw. zdrowym rozsądkiem. Z jednej strony mamy oś rzeczywistą od minus do plus nieskończoności, nieskończony zbiór ,liczb rzeczywistych, z drugiej drobinę wielkości atomu czy elektronu – odcinek (0,1). Na odcinku (0,1) jest tyle samo punktów co na całej osi rzeczywistej R rozciągającej się od minus do plus nieskończoności! Nie do uwierzenia, ale tak twierdzi teoria mnogości i twierdzenie Cantora! Zatem tak jest. Matematyka nie może się mylić.