Jak to jest z tym V=V1+V2?

Obiecałem notkę na temat prędkości, pomiaru odległości i czasu oraz dodawania prędkości.Słowo się rzekło, a więc kobyłka u płota!

Dla prostoty ograniczę się do ruchu jednostajnego po prostej – a więc zagadnienia, którego opis wydaje się nie budzić żadnych kontrowersji. Załóżmy, że ruch odbywa się wzdłuż osi Ox bez prędkości początkowej, a więc jego przedstawienie na wykresie x(t) to po prostu linia prosta o równaniu x=vt, gdzie wartość v jest współczynnikiem kierunkowym.

Niby wszystko jest OK, ale przecież w szkole na matematyce uczą, że dla prostej o równaniu:

y= ax + b

a - współczynnik kierunkowy, jest równy tangensowi kąta między prostą a osią odciętych (OX) nazywanego kątem nachylenia prostej.

Chwileczkę, ale co z jednostkami? Przecież na I Labie z fizyki łapie się „lufę” za brak jednostek! Czas mierzymy w sekundach, odległość w metrach, a więc:

[v]=m/s

a więc nasz współczynnik kierunkowy ma wymiar! Wynika to z faktu, że ludzie określili jednostki czas i długości zależnie „ze swego punktu widzenia”. Jednostkę czasu – korzystając z parametrów ruchu Ziemi, zaś długości z jej wymiarów. W XX w. usiłowano oderwać te jednostki od układu odniesienia wprowadzając dość sztuczne wielokrotności właściwości drgań atomów. Dopiero w 1983 zdecydowano się na uzależnienie jednostek czasu i odległości od siebie:

1 metr jest równy drodze jaka przebywa w próżni światło w ciągu czasu 1/299792458 sekundy.

A więc decyzją Generalnej Konferencji Miar i Wag z 1983 metr stracił de-facto status jednostki podstawowej, uznano bowiem, że odległość należy mierzyć za pomocą jednostki czasu (sekunda) pomnożonej przez stałą uważaną za uniwersalną i niezależną od układu (prędkość światła).

Jeśli będziemy postępować konsekwentnie, to problem „tangensa z wymiarem” znika, gdyż zarówo drogę, jak i czas mierzymy w tych samych jednostkach czasu (sekundach). Ta „sekunda drogi” to bardzo daleko ~300 000 km w skali ludzkiej lecz bardzo blisko w skali kosmicznej.

Chciałbym, aby zauważyli Państwo, że tak określona bezwymiarowa prędkość to po prostu dobrze znana wszystkim z transformacji Lorentza i teorii względności beta=v/c !

Zastanówmy się teraz nad dodawaniem prędkości – pomoże nam w tym tytułowy rysunek.

Najpierw ciało wykonywało w układzie x(t) ruch (1), którego prędkość wynosiła V1=tg(alfa). Oczywiście w układzie x'(t') ciało spoczywało. Następnie przyspieszyło i zaczęło się poruszać względem układu x'(t') z prędkością V2=tg(beta).

Z rysunku wynika w sposób oczywisty, że prędkość tego ciała po przyspieszeniu względem układu x(t) określa kąt (alfa + beta), a więc:

V = tg(alfa+beta)=[tg(alfa)+tg(beta)] / [1 – tg(alfa)*tg(beta)]

Podstawiamy więc prędkości i...

V = [ V1 + V2] / [ 1 – V1*V2] !!!

Przypominam – rozważenie prowadzimy w oparciu o czystą geometrię Euklidesa oraz nie zakładamy, że nie można przekroczyć prędkości światła. I okazuje się, że wzór V=V1+V2 nie jest prawdziwy – na rysunku widać, że dodają się kąty, a nie ich tangensy!

Dlaczego więc w tak zwanym „potocznym życiu” V=V1+V2 się znakomicie sprawdza? Otóż dlatego, że prędkości w „potocznym życiu” są baaaaaardzo małe i V << 1 (przypominam, że odległość mierzymy w sekundach światła, a więc przy V=1 lot na Księżyc trwałby niewiele dłużej niż jedną sekundę! Przy małych prędkościach np. ok. 10 km/s, czyli ~0,00003 prędkości bezwymiarowej iloczyn V1*V2 będzie rzędu 0,000000001 i można go bez większej szkody pominąć. A więc fizyka nie musi być tak prosta i oczywista jak się na pozór wydaje! Przyjęty układ jednostek może w znacznym stopniu wpłynąć na postrzeganie rzeczywistości.

Rozważania w rodzaju cytowanego niedawno „zraszacza Feynmana” szalenie rozwijają wyobraźnię oraz intuicję – a bez nich fizyk bardzo łatwo może wpaść w pułapkę „przematyzowania”. Z drugiej strony bez matematyki też się nie da.