Grawitacja = Geometria czasoprzestrzeni

Często czytamy ,że ogólna teoria względności (OTW), to właściwie teoria grawitacji. I jest to prawdą.Szczególna teoria względności (STW) wykryła niezmienniczość (symetrię ) praw fizyki względem transformacji Lorentza dotyczącej układów inercjalnych czyli układów (i obserwatorów z nimi związanych) poruszających się ruchem prostoliniowym jednostajnym. Konsekwencją tej symetrii była np. relatywność czasu i przestrzeni traktowanych odrębnie.4 Geometria Minkowskiego (M) jest płaską geometrią euklidesową o zmienionej jedynie metryce względem metryki euklidesowej. Element liniowy czyli odległość dwóch zdarzeń w czasoprzestrzeni M jest obliczany twierdzeniem pseudopitagorasa ze specyficznym unormowaniem jednostek miary wszystkich współrzędnych(jedna czasowa, pozostałe przestrzenne)s^2 = t^2 –x^2 –y^2 –z^2Z każdym punktem przestrzeni M związany jest stożek świetlny(zerowy), a nieskończony zbiór tych stożków jest jednorodny w świetle zasady względności (rys.1), rysnek

gdyż stożki podlegają jedynie jednostajnej translacji w czasoprzestrzeni. Odpowiada to fizycznej zasadzie: niemożliwości odróżnienia dowolnego układu inercjalnego od innego układu inercjalnego. W OTW, taka sytuacja jest fizycznie niemożliwa, gdyż w obecności pól grawitacyjnych zbiór stożków zerowych jest niejednorodny, ruchy cząstek są na ogół niejednostajne i ich czasopodobne linie świata leżą wprawdzie nadal wewnątrz stożków, ale są krzywymi liniami.Nie można w takiej czasoprzestrzeni wprowadzić globalnie układu inercjalnego, lecz tylko lokalnie . Wobec tego rys.1 musi być zastąpiony rys.2, na którym widać różnorodne pozycje stożków świetlnych. rysunek

Przestrzeń o takiej strukturze, nazwę przestrzenią R.W takim świecie relacje przyczynowe mogą być całkiem inne, niż w świecie M.Można nawet narysować krzywe czasopodobne zamknięte (!), które prowadzą do przerażającego świata: powrót obiektu do własnej przeszłości i asysta przy własnych narodzinach ! Z oczywistych powodów fizykalnych odrzucamy takie linie świata. 4 geometria czasoprzestrzeni R (z grawitacją) zawiera tzw. niezerową krzywiznę, czyli nie jest geometrią płaską.Na ogół posiadamy intuicyjne pojęcie krzywizny linii lub płaszczyzny. Obecnie określimy go przez dwa fundamentalne pojęcia: przesunięcia równoległego wektorów i dewiacji linii geodezyjnych.W płaskiej geometrii E lub M, jeżeli przesuwamy równolegle dwa wektory tworzące ze sobą kąt alfa, to kąt ten nie ulega zmianie. Inaczej jest w przestrzeni R.Na rys.3 dana jest powierzchnia kuli S^2 i na niej krzywoliniowy trójkąt. rysunek

Wzdłuż jego boków przesuwamy styczny wektor V wychodząc z punktu p leżącym na równiku i dochodząc do bieguna n wzdłuż południka. Po drodze wektor V był zwrócony cały czas na zachód, a kiedy wracamy do równika po innym południku, to jest zwrócony na północ. Ta sama orientacja jest zachowana przy przesuwaniu po równiku. Po odbyciu tej wędrówki wektor V doznał obrotu o kąt prosty względem położenia początkowego !Zjawisko powyższe dowodzi ,że powierzchnia kuli posiada wewnętrzną krzywiznę, której miarą może być kąt obrotu przy równoległym przesunięciu wektora. Kładę akcent na słowie “wewnętrzna” krzywizna dlatego ,że 4 geometria R nie jest zanurzona w 5 geometrii, tak jak S^2 (z przykładu)zanurzona jest w 3 geometrii euklidesowej.Czyli błędem jest pytać : w jakiej przestrzeni jest zakrzywiony dany obiekt geometryczny(linia, płaszczyzna):jego krzywizna ,jest wewnętrzną cechą jego geometrii.Inną miarą krzywizny przestrzeni R (matematyk by powiedział: rozmaitości różniczkowej Riemanna) jest tzw. dewiacja geodetyk. Cóż to jest geodetyka?W geometrii z krzywizną różną od zera, najkrótszą linią łączącą dwa dowolne i różne punkty , nie jest linia prosta. Na przykład ,na powierzchni kuli każda narysowana linia jest linią krzywą. Wobec tego, jeśli narysujemy dwie linie południkowe prostopadłe do równika, to przecież zbiegają się one w dwóch punktach – na biegunach (rys.4). rysunek

Otóż krzywizna rozmaitości riemanowskiej R powoduje ,że wzajemna odległość geodetyk nie jest stała.W elementarnym ujęciu ,ciała A,B,C,D spadają swobodnie w polu grawitacyjnym Ziemi (rys.5).Jeśli wycinek czasoprzestrzeni jest nieskończenie mały, rysunek

to geodetyki są w przybliżeniu liniami prostymi skierowanymi do środka Ziemi i układ można traktować jako inercjalny ,a obserwator z nim związany nie wykryje żadnych przyspieszeń. Lokalnie, układ swobodnie spadający w polu grawitacyjnym, może być uznany za układ inercjalny. Wobec tego, w miarę upływu czasu ruchu i zbliżania się do środka Ziemi, ciała C i D dla obserwatora związanego z układem spadającym, będą się zbliżały do siebie .Ta dewiacja geodetyk jest dowodem krzywizny przestrzeni R w pobliżu astronomicznych mas i może być interpretowana, jako siła przyciągania grawitacyjnego pomiędzy C i D.Z powyższego przykład można wyprowadzić bardziej ogólny wniosek:Układ odniesienia nieinercjalny poruszający się po linii prostej z przyspieszeniem a, jest równoważny jednorodnemu polu grawitacyjnemu o natężeniu równym.Jest to słynna zasada równoważności sił bezwładności i sił grawitacyjnych pola jednorodnego. Prawdziwość tej zasady wynika z eksperymentalnego faktu równości masy bezwładnej i ciężkiej tego samego ciała.Dodatkowymi własnościami 4 geometrii rozmaitości różniczkowej R ,bezpośrednio związanymi z krzywizną czasoprzestrzeni są: niemożliwość zbudowania zamkniętego równoległoboku oraz twierdzenie o sumie kątów w trójkącie (mniejszej lub większej od 180 stp.).Stosując pojęcia tensora, metryka przestrzeni M jest określona elementem liniowym ds. i tensorem metrycznym 16-to elementowym, w którym na diagonali są współczynniki[1,-1,-1,-1], a wszystkie pozostałe są zerami.(rys.6 a)

Natomiast, metryka przestrzeni R i element liniowy ds jest określona tensorem, w którym na diagonali są różne wartości potencjałów grawitacyjnych lub ich pochodnych.(rys.6 b)Powstaje zasadnicze pytanie : jaki model geometrii spełnia fizycznie dostępna czasoprzestrzeń, to znaczy ta czasoprzestrzeń, w której przebiegają zjawiska fizyczne, działają prawa fizyki, wykonujemy eksperymenty fizyczne itd.? Odpowiedź A.Einsteina brzmiała: Geometrycznym modelem tego świata jest czterowymiarowa rozmaitość różniczkowa Riemanna. OTW przewiduje więc np. zależność upływu czasu od potencjału pola grawitacyjnego w danym punkcie pola( pięciu innych przewidywań nowych zjawisk fizycznych). Tam, gdzie wartość potencjału pola grawitacyjnego jest duża, tam zegary tykają wolniej ( i odwrotnie).Przewidywane zjawisko spowolnienia chodu zegara w silnym polu grawitacyjnym zostało potwierdzone w słynnym eksperymencie Pounda i Rebki(1960)i powtórzone w 1965 przez Pounda i Snidera. W roli “zegara” wystąpił foton promieniowania gamma, którego częstotliwość uległa zmianie przy pionowym ruchu do góry na wysokość 22,5 m (rys.7).

Zmianę częstotliwości zmierzono wykorzystując efekt Moessbauera.Inną hipotezą wynikającą z OTW, jest ugięcie promieni świetlnych w pobliżu wielkich mas, potwierdzone eksperymentalnie po raz pierwszy w roku 1919 i powtórzone dla fal radiowych w 1972.A co z czterowymiarową przestrzenią Minkowskiego? Jest nieprawdziwym modelem świata? Dla małych obszarów przestrzeni, w każdym punkcie przestrzeni ogólniejszej R, przestrzeń M z metryką Lorentza jest lokalnie przestrzenią styczną do R. Oznacza to, że małe otoczenie dowolnego punktu rozmaitości R można w pewnym sensie utożsamić z małym obszarem przestrzeni stycznej do R.Jest to analogiczne, do zaniedbywania niewielkich odchyleń powierzchni od płaszczyzny stycznej, blisko punktu styczności. Przestrzeń styczna M jest areną działania STW, a przestrzeń R areną działania OTW.Obydwie przestrzenie są rozmaitościami różniczkowymi Riemanna z metryką Lorentza, ale tensory metryczne - różnią się między sobą.W przestrzeni M istnieje globalny układ współrzędnych, w którym tensor metryczny przybiera postać podaną na rys.6a i układ ten nazywa się układem inercjalnym.W przestrzeni R taki układ współrzędnych może być określony tylko lokalnie. Aby w OTW używać globalnie dowolnych współrzędnych i dowolnych układów, równania fizyki muszą mieć postać tensorową.Ta jednak kwestia wykracza znacznie poza temat aktualnego postu, który jest poświęcony podstawowym ideom OTW ,możliwym do przedstawienia bez zbyt abstrakcyjnych formalizmów, a nie zagadnieniom ściśle technicznym czyli rachunkowym. Literatura[1] R.Penrose,Droga do rzeczywistości,Warszawa,2007,s.366-421[2] B.F.Schutz,Wstęp do ogólnej teorii względności,Warszawa,1995,s.184-196